Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид y = f (x) . Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар (х; у) ,которые необходимо вычислять для параметра t по промежутку (а; b) . Для решения системы x = 3 · cos t y = 3 · sin t с 0 ≤ t < 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Определение параметрической функции
Отсюда имеем, что x = φ (t) , y = ψ (t) определены на при значении t ∈ (a ; b) и имеют обратную функцию t = Θ (x) для x = φ (t) , тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида y = ψ (Θ (x)) .
Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по х. Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида y x " = ψ " (t) φ " (t) , поговорим о производной 2 и n -ого порядка.
Вывод формулы производной параметрически заданной функции
Имеем, что x = φ (t) , y = ψ (t) , определенные и дифферецируемые при значении t ∈ a ; b , где x t " = φ " (t) ≠ 0 и x = φ (t) , тогда существует обратная функция вида t = Θ (x) .
Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , где имеется аргумент x .
Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .
Отсюда видно, что t = Θ (x) и x = φ (t) являются обратными функциями из формулы обратной функции Θ " (x) = 1 φ " (t) , тогда y " x = ψ " Θ (x) · Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .
Перейдем к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.
Пример 1
Найти производную для функции x = t 2 + 1 y = t .
Решение
По условию имеем, что φ (t) = t 2 + 1 , ψ (t) = t , отсюда получаем, что φ " (t) = t 2 + 1 " , ψ " (t) = t " = 1 . Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
Ответ: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
При работе с производной функции ч параметром t указывается выражение аргумента x через этот же параметр t , чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.
Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка на полученной функции, тогда получаем, что
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
Пример 2
Найти производные 2 и 2 порядка заданной функции x = cos (2 t) y = t 2 .
Решение
По условию получаем, что φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .
Тогда после преобразования
φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) · 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
Отсюда следует, что y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
Получим, что вид производной 1 порядка x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .
Для решения нужно применить формулу производной второго порядка. Получаем выражение вида
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 · sin (2 t) - t · cos (2 t) · (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Тогда задание производной 2 порядка с помощью параметрической функции
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Аналогичное решение возможно решить другим методом. Тогда
φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) · 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 · sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = (2 t) " = 2
Отсюда получаем, что
y "" x = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 · - 2 sin (2 t) - 2 t · (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Ответ: y "" x = sin (2 t) - 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
До сих пор рассматривались уравнения линий на плоскости, связывающие непосредственно текущие координаты точек этих линий. Однако часто применяется другой способ задания линии, в котором текущие координаты рассматриваются как функции третьей переменной величины.
Пусть даны две функции переменной
рассматриваемые для одних и тех же значений t. Тогда любому из этих значений t соответствует определенное значение и определенное значение у, а следовательно, и определенная точка . Когда переменная t пробегает все значения из области определения функций (73), точка описывает некоторую линию С в плоскости Уравнения (73) называются параметрическими уравнениями этой линии, а переменная - параметром.
Предположим, что функция имеет обратную функцию Подставив эту функцию во второе из уравнений (73), получим уравнение
выражающее у как функцию
Условимся говорить, что эта функция задана параметрически уравнениями (73). Переход от этих уравнений к уравнению (74) называется исключением параметра. При рассмотрении функций, заданных параметрически, исключение параметра не только не обязательно, но и не всегда практически возможно.
Во многих случаях гораздо удобнее, задаваясь различными значениями параметра вычислять затем по формулам (73) соответствующие значения аргумента и функции у.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Пусть - произвольная точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. Декартовы координаты х и у этой точки выражаются через ее полярный радиус и полярный угол, который мы здесь обозначим через t, следующим образом (см. гл. I, § 3, п. 3):
Уравнения (75) называются параметрическими уравнениями окружности. Параметром в них является полярный угол , который меняется в пределах от 0 до .
Если уравнения (75) почленно возвести в квадрат и сложить, то в силу тождества параметр исключится и получится уравнение окружности в декартовой системе координат определяющее две элементарные функции:
Каждая из этих функций задается параметрически уравнениями (75), но области изменения параметра для этих функций различны. Для первой из них ; графиком этой функции служит верхняя полуокружность. Для второй функции графиком ее является нижняя полуокружность.
Пример 2. Рассмотрим одновременно эллипс
и окружность с центром в начале координат и радиусом а (рис. 138).
Каждой точке М эллипса сопоставим точку N окружности, имеющую ту же абсциссу, что и точка М, и расположенную с ней по одну сторону от оси Ох. Положение точки N, а следовательно, и точки М, вполне определяется полярным углом t точки При этом для их общей абсциссы получим следующее выражение: х = a. Ординату у точки М найдем из уравнения эллипса:
Знак выбран потому, что ордината у точки М и ордината точки N должны иметь одинаковые знаки.
Таким образом, для эллипса получены следующие параметрические уравнения:
Здесь параметр t изменяется от 0 до .
Пример 3. Рассмотрим окружность с центром в точке а) и радиусом а, которая, очевидно, касается оси абсцисс в начале координат (рис. 139). Предположим, это эта окружность катится без скольжения по оси абсцисс. Тогда точка М окружности, совпадавшая в начальный момент с началом координат, описывает линию, которая называется циклоидой.
Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв за параметр t угол МСВ поворота окружности при перемещении ее фиксированной точки из положения О в положение М. Тогда для координат и у точки М мы получим следующие выражения:
Вследствие того что окружность катится по оси без скольжения, длина отрезка ОВ равна длине дуги ВМ. Так как длина дуги ВМ равна произведению радиуса а на центральный угол t, то . Поэтому . Но Следовательно,
Эти уравнения и являются параметрическими уравнениями циклоиды. При изменении параметра t от 0 до окружность совершит один полный оборот. Точка М при этом опишет одну арку циклоиды.
Исключение параметра t приводит здесь к громоздким выражениям и практически нецелесообразно.
Параметрическое задание линий особенно часто используется в механике, причем роль параметра играет время.
Пример 4. Определим траекторию снаряда, выпущенного из орудия с начальной скоростью под углом а к горизонту. Сопротивлением воздуха и размерами снаряда, считая его материальной точкой, пренебрегаем.
Выберем систему координат. За начало координат примем точку вылета снаряда из дула. Ось Ох направим горизонтально, а ось Оу - вертикально, расположив их в одной плоскости с дулом орудия. Если бы не было силы земного тяготения, то снаряд двигался бы по прямой, составляющей угол а с осью Ох и к моменту времени t прошел бы путь Координаты снаряда в момент времени t были бы соответственно равны: . Вследствие земного тяготения снаряд должен к этому моменту вертикально опуститься на величину Поэтому в действительности в момент времени t координаты снаряда определяются по формулам:
В этих уравнениях - постоянные величины. При изменении t будут изменяться также координаты у точки траектории снаряда. Уравнения являются параметрическими уравнениями траектории снаряда, в которых параметром является время
Выразив из первого уравнения и подставив его во
второе уравнение, получим уравнение траектории снаряда в виде Это - уравнение параболы.
Производная функции, заданной неявно.
Производная параметрически заданной функции
В данной статье мы рассмотрим еще два типовых задания, которые часто встречаются в контрольных работах по высшей математике. Для того чтобы успешно освоить материал, необходимо уметь находить производные хотя бы на среднем уровне. Научиться находить производные практически с нуля можно на двух базовых уроках и Производная сложной функции . Если с навыками дифференцирования всё в порядке, тогда поехали.
Производная функции, заданной неявно
Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Давайте сначала вспомним само определение функции одной переменной :
Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .
Переменная называется независимой переменной
или аргументом
.
Переменная называется зависимой переменной
или функцией
.
До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.
Рассмотрим функцию 
Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек», а справа – только «иксы» . То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .
Рассмотрим другую функцию:
Здесь переменные и расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.
Разрешите познакомить: – пример неявной функции .
В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.
И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.
Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками.
Пример 1
1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:
2) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную? Примеры решений
):
3) Непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать и совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?
– просто до безобразия, производная от функции равна её производной : .
Как дифференцировать
Здесь у нас сложная функция
. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ
(см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция, – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции 
:
Произведение дифференцируем по обычному правилу 
:
Обратите внимание, что – тоже сложная функция, любой «игрек с наворотами» – сложная функция :
Само оформление решения должно выглядеть примерно так:
Если есть скобки, то раскрываем их:
4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:
5) В левой части выносим производную за скобки:
6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:
Производная найдена. Готово.
Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию 
можно переписать так: 
. И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» более общая и корректная, 
– эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под фразой «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.
Второй способ решения
Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные . Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт , иначе в голове будет полная каша.
Найдем производную неявной функции вторым способом.
Переносим все слагаемые в левую часть:
И рассматриваем функцию двух переменных:
Тогда нашу производную можно найти по формуле
Найдем частные производные:
Таким образом:
Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 2
Найти производную от функции, заданной неявно
Навешиваем штрихи на обе части:
Используем правила линейности:
Находим производные:
Раскрываем все скобки:
Переносим все слагаемые с в левую часть, остальные – в правую часть:
Окончательный ответ:
Пример 3
Найти производную от функции, заданной неявно 
Полное решение и образец оформления в конце урока.
Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.
Пример 4
Найти производную от функции, заданной неявно 
Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности:
Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции 
и правило дифференцирования частного 
:
Раскрываем скобки:
Теперь нам нужно избавиться от дроби. Это можно сделать и позже, но рациональнее сделать сразу же. В знаменателе дроби находится . Умножаем на . Если подробно, то выглядеть это будет так:
Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например, , то операцию нужно было бы повторить – умножить каждое слагаемое каждой части на
В левой части выносим за скобку:
Окончательный ответ:
Пример 5
Найти производную от функции, заданной неявно
Это пример для самостоятельного решения. Единственное, в нём, перед тем как избавиться от дроби, предварительно нужно будет избавиться от трехэтажности самой дроби. Полное решение и ответ в конце урока.
Производная параметрически заданной функции
Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: , .
Переменная называется параметром
и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение и подставим его в оба уравнения: 
. Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку , и эта точка будет соответствовать значению параметра . Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для американских индейцев параметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д. Кстати, если есть надобность построить график параметрически заданной функции, можете воспользоваться моей программой .
В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр: 
– и подставим его во второе уравнение: 
. В результате получена обыкновенная кубическая функция.
В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:
Находим производную от «игрека по переменной тэ»:
Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет . Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».
Находим производную от «икса по переменной тэ»:
Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:
Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра .
Что касается обозначений, то в формуле вместо записи можно было просто записать без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому я не буду отклоняться от стандарта.
Пример 6
Используем формулу
В данном случае:
Таким образом:
Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать . Так, в рассмотренном примере при нахождении я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке и в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами.
Пример 7
Найти производную от функции, заданной параметрически 
Это пример для самостоятельного решения.
В статье Простейшие типовые задачи с производной мы рассматривали примеры, в которых требовалось найти вторую производную функции. Для параметрически заданной функции тоже можно найти вторую производную, и находится она по следующей формуле: . Совершенно очевидно, что для того чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную.
Пример 8
Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически
Сначала найдем первую производную.
Используем формулу
В данном случае:
Подставляем найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу :
Пусть функция задана параметрическим способом:
(1)
где некоторая переменная, называемая параметром. И пусть функции и имеют производные при некотором значении переменной .
Причем и функция имеет обратную функцию в некоторой окрестности точки .
Тогда функция (1) имеет в точке производную ,
которая, в параметрическом виде, определяется по формулам:
(2)
Здесь и - производные функций и по переменной (параметру) .
Их часто записывают в следующем виде:
;
.
Тогда систему (2) можно записать так:
Доказательство
По условию, функция имеет обратную функцию. Обозначим ее как
.
Тогда исходную функцию можно представить как сложную функцию:
.
Найдем ее производную, применяя правила дифференцирования сложной и обратной функций:
.
Правило доказано.
Доказательство вторым способом
Найдем производную вторым способом, исходя из определения производной функции в точке :
.
Введем обозначение:
.
Тогда и предыдущая формула принимает вид:
.
Воспользуемся тем, что функция имеет обратную функцию ,
в окрестности точки .
Введем обозначения:
;
;
;
.
Разделим числитель и знаменатель дроби на :
.
При ,
.
Тогда
.
Правило доказано.
Производные высших порядков
Чтобы найти производные высших порядков, надо выполнять дифференцирование несколько раз. Допустим, нам надо найти производную второго порядка от функции, заданной параметрическим способом, следующего вида:
(1)
По формуле (2) находим первую производную, которая также определяется параметрическим способом:
(2)
Обозначим первую производную, посредством переменной :
.
Тогда, чтобы найти вторую производную от функции по переменной ,
нужно найти первую производную от функции по переменной .
Зависимость переменной от переменной также задана параметрическим способом:
(3)
Сравнивая (3) с формулами (1) и (2), находим:
Теперь выразим результат через функции и .
Для этого подставим и применим формулу производной дроби :
.
Тогда
.
Отсюда получаем вторую производную функции по переменной :
Она также задана в параметрическом виде. Заметим, что первую строку также можно записать следующим образом:
.
Продолжая процесс, можно получить производные функции от переменной третьего и более высоких порядков.
Заметим, что можно не вводить обозначение для производной .
Можно записать так:
;
.
Пример 1
Найдите производную от функции, заданной параметрическим способом:
Решение
Находим производные и по .
Из таблицы производных находим:
;
.
Применяем :
.
Здесь .
.
Здесь .
Искомая производная:
.
Ответ
Пример 2
Найдите производную от функции, выраженной через параметр :
Решение
Раскроим скобки, применяя формулы для степенных функций и корней :
.
Находим производную :
.
Находим производную .
Для этого введем переменную и применим формулу производной сложной функции .
.
Находим искомую производную:
.
Ответ
Пример 3
Найдите производные второго и третьего порядков от функции, заданной параметрическим способом в примере 1:
Решение
В примере 1 мы нашли производную первого порядка:
Введем обозначение .
Тогда функция является производной по .
Она задана параметрическим способом:
Чтобы найти вторую производную по ,
нам надо найти первую производную по .
Дифференцируем по .
.
Производную по мы нашли в примере 1:
.
Производная второго порядка по равна производной первого порядка по :
.
Итак, мы нашли производную второго порядка по в параметрическом виде:
Теперь находим производную третьего порядка. Введем обозначение .
Тогда нам нужно найти производную первого порядка от функции ,
которая задана параметрическим способом:
Находим производную по .
Для этого перепишем в эквивалентном виде:
.
Из
.
Производная третьего порядка по равна производной первого порядка по :
.
Замечание
Можно не вводить переменные и ,
которые являются производными и ,
соответственно. Тогда можно записать так:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Ответ
В параметрическом представлении, производная второго порядка имеет следующий вид:
Производная третьего порядка.
Логарифмическое дифференцирование
Производные элементарных функций
Основные правила дифференцирования
Дифференциал функции
Главная линейная часть приращения функции A Dx в определении дифференцируемости функции
Df=f (x ) - f (x 0)=A (x - x 0)+o (x – x 0), x®x 0
называется дифференциалом функции f (x ) в точке x 0 и обозначается
df (x 0)=f¢ (x 0)Dx= A Dx.
Дифференциал зависит от точки x 0 и от приращения Dx. На Dx при этом смотрят, как на самостоятельное переменное, так что в каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения Dx.
Если в качестве функции рассмотреть f (x )=x , то получим dx= Dx, dy=Adx . Это согласуется с обозначением Лейбница
Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.
Рис. 4.3
1) f= const, f¢= 0, df= 0Dx= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
Следствие. (cf (x ))¢=cf¢ (x ), (c 1 f 1 (x )+…+c n f n (x ))¢= c 1 f¢ 1 (x )+…+ c n f¢ n (x )
4) f=u/v, v (x 0)¹0 и производная существует, то f¢= (u¢v-v ¢u )/v 2 .
Для краткости будем обозначать u=u (x ), u 0 =u (x 0), тогда
Переходя к пределу при Dx® 0 получим требуемое равенство.
5) Производная сложной функции.
Теорема. Если существуют f¢ (x 0), g¢ (x 0) и x 0 =g (t 0), то в некоторой окрестности t 0 определена сложная функция f (g (t )), она дифференцируема в точке t 0 и
Доказательство .
f (x ) - f (x 0)=f¢ (x 0)(x-x 0)+ a(x )(x-x 0), x ÎU (x 0).
f (g (t ))- f (g (t 0))= f¢ (x 0)( g (t )- g (t 0))+ a( g (t ))( g (t )- g (t 0)).
Поделим обе части этого равенства на (t - t 0) и перейдем к пределу при t®t 0 .
6) Вычисление производной обратной функции.
Теорема. Пусть f непрерывна и строго монотонна на [a,b ]. Пусть в точке x 0 Î(a,b ) существует f¢ (x 0)¹ 0, тогда обратная функция x=f -1 (y ) имеет в точке y 0 производную, равную
Доказательство . Считаем f строго монотонно возрастающей, тогда f -1 (y ) непрерывна, монотонно возрастает на [f (a ),f (b )]. Положим y 0 =f (x 0), y=f (x ), x - x 0 =Dx,
y - y 0 =Dy . В силу непрерывности обратной функции Dy ®0 Þ Dx ®0, имеем
Переходя к пределу, получим требуемое равенство.
7) Производная четной функции нечетна, производная нечетной функции четна.
Действительно, если x® - x 0 , то -x® x 0 , поэтому
Для четной функции для нечетной функции
1) f= const, f¢ (x )=0.
2) f (x )=x, f¢ (x )=1.
3) f (x )=e x , f¢ (x )= e x ,
4) f (x )=a x , (a x )¢ = a x ln a.
5) ln a.
6) f (x )=ln x ,
Следствие. (производная четной функции нечетна)
7) (x m )¢= mx m -1 , x >0, x m =e m ln x .
8) (sin x )¢= cos x,
9) (cos x )¢=- sin x, (cos x )¢= (sin(x+ p/2))¢= cos(x+ p/2)=-sin x.
10) (tg x )¢= 1/cos 2 x.
11) (ctg x )¢= -1/sin 2 x.
16) sh x, ch x .
f(x), , откуда следует, что f¢ (x )=f (x )(ln f (x ))¢ .
Ту же формулу можно получить иначе f (x )=e ln f (x ) , f¢=e ln f (x ) (ln f (x ))¢.
Пример. Вычислить производную функции f=x x .
=x x = x x = x x = x x (ln x + 1).
Геометрическое место точек на плоскости
будем называть графиком функции, заданной параметрически . Говорят также о параметрическом задании функции.
Замечание 1. Если x, y непрерывны на [a,b ] и x (t ) строго монотонна на отрезке (например, строго монотонно возрастает), то на [a,b ] , a=x (a), b=x (b) определена функция f (x )=y (t (x )), где t (x ) – обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком функции
Если область определения параметрически заданной функции можно разбить на конечное число отрезков , k= 1,2,…,n, на каждом из которых функция x (t ) строго монотонна, то параметрически заданная функция распадается на конечное число обычных функций f k (x )=y (t -1 (x )) с областями определения [x (a k ), x (b k )] для участков возрастания x (t ) и с областями определения [x (b k ), x (a k )] для участков убывания функции x (t ). Полученные таким образом функции называются однозначными ветвями параметрически заданной функции.
На рисунке показан график параметрически заданной функции
При выбранной параметризации область определения разбивается на пять участков строгой монотонности функции sin(2t ), именно: t Î t Î , t Î , t Î , и, соответственно, график распадется на пять однозначных ветвей, соответствующих этим участкам.
Рис. 4.4
Рис. 4.5
Можно выбрать другую параметризацию того же геометрического места точек
В этом случае таких ветвей будет только четыре. Они будут соответствовать участкам строгой монотонности t Î , t Î , t Î , t Î функции sin(2t ).
Рис. 4.6
Четыре участка монотонности функции sin(2t ) на отрезке длинной.
Рис. 4.7
Изображение обоих графиков на одном рисунке позволяет приблизительно изобразить график параметрически заданной функции, используя участки монотонности обеих функций.
Рассмотрим для примера первую ветвь, соответствующую отрезку t Î . На концах этого участка функция x= sin(2t ) принимает значения -1 и 1 , поэтому эта ветвь будет определена на [-1,1] . После этого нужно смотреть на участки монотонности второй функции y= cos(t ), у нее на два участка монотонности . Это позволяет сказать, что у первой ветви имеется два участка монотонности. Найдя концевые точки графика можно соединить их прямыми для того, чтобы обозначить характер монотонности графика. Проделав это с каждой ветвью, получим участки монотонности однозначных ветвей графика (на рисунке они выделены красным цветом)
Рис. 4.8
Первая однозначная ветвь f 1 (x )=y (t (x )) , соответствующая участку будет определена для x Î[-1,1]. Первая однозначная ветвь t Î , x Î[-1,1].
Все остальные три ветви будут иметь областью определения тоже множество [-1,1].
Рис. 4.9
Вторая ветвь t Î x Î[-1,1].
Рис. 4.10
Третья ветвь t Î x Î[-1,1]
Рис. 4.11
Четвертая ветвь t Î x Î[-1,1]
Рис. 4.12
Замечание 2. Одна и та же функция может иметь различные параметрические задания. Различия могут касаться, как самих функций x (t ), y (t ) , так и области определения этих функций.
Пример различных параметрических заданий одной и той же функции
и t Î[-1, 1].
Замечание 3. Если x,y непрерывны на , x (t)- строго монотонна на отрезке и существуют производные y¢ (t 0), x¢ (t 0)¹0, то существует f¢ (x 0)= .
Действительно, .
Последнее утверждение распространяется и на однозначные ветви параметрически заданной функции.
4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
Старшие производные и дифференциалы. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Формула Лейбница.
