Очень часто в задачах C1 из ЕГЭ по математике ученикам предлагают решить тригонометрическое уравнение, содержащее формулу двойного угла.

Сегодня мы вновь будем разбирать задачу С1 и, в частности, разберем довольно нестандартный пример, который одновременно вместил в себе и формулу двойного угла, и даже однородное уравнение. Итак:

Решите уравнение. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:

sinx+sin 2 x 2 −cos 2 x 2 ,x∈[ −2 π ;− π 2 ]

\sin x+\frac{{{\sin }^{2}}x}{2}-\frac{{{\cos }^{2}}x}{2},x\in \left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]

Полезные формулы для решения

Прежде всего, хотел бы напомнить, что все задания С1 решаются по одной и той же схеме. В первую очередь, исходную конструкцию нужно преобразовать в выражении, в котором содержится синус, косинус или тангенс:

sinx=a

cosx=a

tgx=a

Именно в этом состоит основная сложность задания С1. Дело в том, что для каждого конкретного выражения требуются свои выкладки, с помощью которых можно перейти от исходника к таким простейшим конструкциям. В нашем случае это формула двойного угла. Давайте я запишу ее:

cos2x=cos 2 x−sin 2 x

\cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x

Однако в нашем задании нет cos 2 x {{\cos }^{2}}x или sin 2 x {{\sin }^{2}}x, зато естьsin 2 x 2 \frac{{{\sin }^{2}}x}{2} и cos 2 x 2 \frac{{{\cos }^{2}}x}{2}.

Решаем задачу

Что же делать с этими выкладками? Давайте мы немножко схитрим, и в наши формулы синуса и косинуса двойного угла введем новую переменную:

x=t 2

Мы запишем такую конструкцию с синусом и косинусом:

cos2⋅t 2 =cos 2 t 2 −sin 2 t 2

\cos 2\cdot \frac{t}{2}=\frac{{{\cos }^{2}}t}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}t}{2}

Или другими словами:

cost=cos 2 t 2 −sin 2 t 2

\cos t=\frac{{{\cos }^{2}}t}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}t}{2}

Возвращаемся к нашему исходному заданию. Давайте sin 2 x 2 \frac{{{\sin }^{2}}x}{2} перенесем вправо:

sinx=cos 2 x 2 −sin 2 x 2

\sin x=\frac{{{\cos }^{2}}x}{2}-\frac{{{\sin }^{2}}x}{2}

Справа стоит именно те самые выкладки, которые мы только что записали. Давайте мы преобразуем их:

sinx=cosx

А теперь внимание: перед нами однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Смотрите, у нас нет никаких слагаемых, состоящих просто из чисел и просто из x x, у нас есть только синус и косинус. Также у нас нет квадратных тригонометрических функций, все функции идут в первой степени. Как решаются такие конструкции? В первую очередь, давайте предположим, что cosx=0 \cos x=0.

Подставим это значение в основное тригонометрическое тождество:

sin 2 x+cos 2 x=1

{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1

sin 2 x+0=1

{{\sin }^{2}}x+0=1

sinx=±1

Если эти числа, 0 и ±1, мы подставим в исходную конструкцию, то получим следующее:

±1 = 0

\pm 1\text{ }=\text{ }0

Мы получили полный бред. Следовательно, наше предположение, что cosx=0 \cos x=0 неверно, cosx \cos x не может быть равен 0 в данном выражении. А если cosx \cos x не равен 0, то давайте разделим обе стороны на cosx \cos x:

sinx cosx =1

\frac{\sin x}{\cos x}=1

sinx cosx =tgx

\frac{\sin x}{\cos x}=tgx

tgx=1

И вот мы получили долгожданное простейшее выражение вида tgx=a tgx=a. Прекрасно, решаем его. Это табличное значение:

x= π 4 + π n,n˜ ∈Z

x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n˜\in Z

Мы нашли корень, мы решили первую часть задачи, т. е. честно заработали один первичный балл из двух.

Переходим ко второй части: найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку, а, точнее, отрезку

[\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]\]. Предлагаю, как и в прошлый раз решать это выражение графически, т. е. нарисовать окружность, отметить в ней начало, т. е. 0, а также концы отрезка:

На отрезке

−2 π ;−π 2

2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\pi }{2} нужно найти все значения, которые принадлежат

π 4 + π n

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n. А теперь самое веселое: дело в том, что сама точка π 4 \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} не принадлежит отрезку

[ −2 π ;− π 2 ] ,

\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right], это очевидно:

π 4 ∉˜ [ −2 π ;− π 2 ]

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\notin ˜\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\text{ }\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]

Уже хотя бы потому, что оба конца этого отрезка отрицательные, а число π 4 \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} положительное, но с другой стороны, какие-то значения вида

π 4 + π n

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n все-таки принадлежат нашему отрезку. Так как же их выделить? Очень просто: берем конец отрезка

−2 π

2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } и прибавляем π 4 \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} , т. е. все происходит то же самое, как если бы мы начали отчет не от 0, а от −2 π -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }, и у нас найдется первая точка:

x=−2 π + π 4 =−7 π 4

x=-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}

Теперь второе число:

x=−2 π + π 4 + π =−3 π 4

x=-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}

Это и есть второе значение. Других корней нет, потому что мы сами при их разметке и при отметке нашего отрезка ограничения обнаружили, что внутри этого отрезка лежат лишь два вида — π 4 \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} и π 4 + π \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }. Эти точки мы и наши. Выписываем ответ:

−7 π 4 ;−3 π 4

-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4};-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}

За такое решение вы получите два первичных балла из двух возможных.

Что нужно помнить для правильного решения

Еще раз ключевые шаги, которые необходимо выполнить. В первую очередь, нужно знать выкладки двойного угла синуса или косинуса, в частности, именно в нашей задаче, косинус двойного угла. Кроме того, после его применения необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение. Решается оно довольно просто, однако необходимо написать и проверить, что cosx \cos x в нашей конструкции не равен 0. После тригонометрического уравнения мы получаем элементарное выражение, в нашем случае это tgx=1 tgx=1, которое легко решается по стандартным формулам, известным еще с 9-10 класса. Таким образом, мы решим пример и получим ответ на первую часть задания — множество всех корней. В нашем случае это

π 4 + π n,n∈Z

\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in ˜Z. Затем остается лишь отобрать корни, принадлежащие отрезку

[ −2 π ;− π 2 ]

\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right]. Для этого мы снова чертим тригонометрический круг, отмечаем на нем наши корни и наш отрезок, а затем отсчитываем от конца то самое π 4 \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} и π 4 + π \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }, которые получились во время отметки всех корней вида π 4 + π n \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n. После несложного счета мы получили два конкретных корня, а, именно,

−7 π 4

-\frac{7\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} и

−3 π 4

-\frac{3\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}, которые являются ответом ко второй части задачи, т. е. корнями, принадлежащими отрезку

[ −2 π ;− π 2 ]

\left[ -2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ };-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2} \right].

Ключевые моменты

Чтобы без проблем справиться с задачами C1 такого типа, запомните две основные формулы:

  1. Синус двойного угла:

    sin2 α =2sin α cos α

    \sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=2\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } — эта формула для синусов всегда работает именно в таком виде;

  2. Косинус двойного угла: cos2 α =cos 2 α −sin 2 α \cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ =}co{{s}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-si{{n}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ } — а вот тут возможны варианты.

С первой все понятно. Но что за варианты возможны во втором случае? Дело в том, что косинус двойного угла можно записать по-разному:

cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α

\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=2\cos 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-1=1-2\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }

Эти равенства следуют из основного тригонометрического тождества. Ну и какое равенство выбрать при решении конкретного примера C1? Все просто: если вы планируете свести конструкцию к синусам, то выбирайте последнее разложение, в котором присутствует только

sin2 α

\sin 2\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }. И наоборот, если хотите свести все выражение к работе с косинусами, выбирайте второй вариант — тот, где косинус является единственной тригонометрической функцией.

Тригонометрия - один из разделов математики, в центре изучения которого находятся углы и взаимосвязи между ними. Основы науки закладываются в школьные годы, когда вводятся определения функций угла. В дальнейшем полученная база используется при освоении астрономии, приборостроения, архитектуры и других областей знаний. Как и любая точная наука, тригонометрия не обходится без формул. Практическое применение нашли выражения для определения двойного аргумента. Например, прибегая к соответствующему уравнению, легко можно узнать двойной угол синуса.

Тригонометрическое выражение для расчёта

Выражение просто записывается и запоминается: синус двойного угла вычисляется как двукратное произведение синуса и косинуса одинарного аргумента.

Эта формула выводится на основе выражения синуса суммы углов (Q 1 + Q 2 ) :

sin(Q 1 + Q 2) = sin Q 1 * cos Q 1 + sin Q 2 * cos Q 2 .

Полагая, что заданные углы равны друг другу, формула записывается в привычной форме.

Использовать выражение можно при любых значениях аргумента функции. Вычислить двойной угол синуса по ней достаточно просто, убедиться в этом помогут примеры ниже.

Пример использования

Вот несколько иллюстраций применения полученной формулы. Пусть требуется рассчитать значение тригонометрической функции синуса угла равного 60 градусам. Соответствующий одинарный угол составит 30 градусов. Поскольку величины синуса и косинуса угла в 30 градусов известны, двойной угол синуса составит sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Формула используется не только для вычисления «вручную», найти значения по ней можно и с помощью математических пакетов или таблиц MS Excel.

Несмотря на простоту тригонометрического тождества, оно вызывает затруднения у выпускников школы. Именно на это рассчитывают разработчики заданий ЕГЭ, предлагая тесты на проверку основных формул. Вывод - формулу, чтобы подсчитать двойной угол синуса, нужно знать наизусть!

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Алексей:

Мне нужно было приобрести диплом для устройства на работу по профессии менеджер. И самое главное, что и опыт, и навыки у меня есть, но без документа я не могу, никуда устроится. Попав на ваш сайт, все-таки решился на покупку диплома. Диплом был выполнен за 2 дня!! Теперь у меня есть работа, о которой я раньше и не мечтал!! Спасибо!

Формулы двойного угласлужат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2 α , используя тригонометрические функции угла α . Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Список формул двойного угла

Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид n α записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin n α имеет то же значение, что и sin (n α) . При обозначении sin n α имеем аналогичную запись (sin α) n . Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n .

Ниже приведены формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 · c t g α

Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α . Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α , где t g 2 α имеет смысл, то есть α ≠ π 4 + π 2 · z , z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α , где c t g 2 α определен на α ≠ π 2 · z .

Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

Доказательство формул двойного угла

Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β и косинуса суммы cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β . Предположим, что β = α , тогда получим, что

sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α и cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - sin 2 α

Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2 α = 2 · sin α · cos α и cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α .

Остальные формулы cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 приводят к виду cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , при замене 1 на сумму квадратов по основному тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаем, что sin 2 α + cos 2 α = 1 . Так 1 - 2 · sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 · sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α и 2 · cos 2 α - 1 = 2 · cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α .

Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α . После преобразования получим, что t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделим выражение на cos 2 α , где cos 2 α ≠ 0 с любым значением α , когда t g α определен. Другое выражение поделим на sin 2 α , где sin 2 α ≠ 0 с любыми значениями α , когда c t g 2 α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим: