Назначение способов преобразования чертежа состоит в том, чтобы геометрическую фигуру общего положения расположить в частное положение относительно плоскостей проекций с целью использования свойств ее проекций. Например, преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня позволит определить по соответствующей проекции ее натуральную величину.
Способы преобразования комплексного чертежа разделяют на две группы по признаку, определяющему положение фигуры и плоскостей проекций друг относительно друга или направление проецирования:
1. Изменяют положение плоскостей проекций или направление проецирования так, чтобы неподвижная в пространстве фигура оказалась в частном положении. К этой группе относят:
способ замены плоскостей проекций;
способ дополнительного проецирования.
2. Изменяют положение геометрической фигуры в пространстве так, чтобы она оказалась в частном положении относительно фиксированной системы плоскостей проекций. В эту группу включают:
способ плоскопараллельного перемещения;
способ вращения.
Задачи, решаемые с помощью способов преобразования комплексного чертежа, сводятся к следующим основным задачам, в которых необходимо преобразовать:
прямую (плоскость, цилиндрическую или призматическую поверхности) в проецирующую фигуру;
прямую (плоскую линию или плоскость) в фигуру уровня.
Рассмотрим последовательно все способы преобразования, за исключением способа дополнительного проецирования, с которым рекомендуется ознакомиться самостоятельно по учебнику .
Способ замены плоскостей проекций
Сущность способа состоит в замене первоначальной системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций новой системой взаимно перпендикулярных плоскостей проекций при неизменном положении геометрической фигуры в пространстве.
Для решения конкретной задачи выполняют одно или два последовательных преобразования способом замены, например, Π 1 Π 2 →Π 1 Π 4 илиΠ 1 Π 2 →Π 1 Π 4 →Π 5 Π 4 . Во втором случае преобразование называют композицией преобразований. При каждом шаге в данном способе заменяется только одна плоскость проекций, а другая остается общей для двух систем.
Рассмотрим механизм и особенности способа замены плоскостей проекций на примере преобразования комплексного чертежа точки (рис. 28).
При замене, например, фронтальной плоскости проекций Π 2 новой вертикальной плоскостьюΠ 4 горизонтальная плоскостьΠ 1 в данном случае является общей для двух систем плоскостей проекций, вследствие чего проекцияА 1 точкиА на эту плоскость является также общей для этих систем. При этом сохраняется неизменной величина расстояния (АА 1 ) от заданной точки до этой плоскости проекций и, как следствие, равенство ее проекций на плоскостиΠ 2 иΠ 4 , т. е.АА 1 =А 2 А 12 =А 4 А 14 , что позволяет выполнять на комплексном чертеже построение новой проекцииА 4 заданной точки (см рис. 28).
Еще одна особенность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что комплексный чертеж образуется совмещением плоскостей проекций с той плоскостью, которая является общей для двух систем. В рассматриваемом на рис. 28 примере такой плоскостью является горизонтальная плоскость проекций.
В качестве примера рассмотрим задачу преобразования прямой общего положения в проецирующую. Для достижения конечного результата необходимо провести замену двух плоскостей проекций, используя композицию преобразований, т. е. два последовательных преобразования (рис. 29).
Замена одной плоскости проекций, например, Π 2 наΠ 4 позволяет преобразовать прямую общего положения только в прямую уровня, так как невозможно сразу расположить новую вертикальную плоскость проекцийΠ 4 перпендикулярно заданной прямой. Далее, заменяя последовательно вторую плоскость проекцийΠ 1 наΠ 5 и располагая ее перпендикулярно прямойАВ , получаем конечный результат (см. рис. 29).
Задача 1. Преобразовать эпюр, изображенный на рис. 9.9 так, чтобы прямая общего положения оказалась параллельной одной из плоскостей проекций новой системы.
Для решения задачи необходимо расположить новую плоскость проекций параллельно заданному отрезку (П 4 ║АВ). Тогда на эту плоскость проекций отрезок проецируется без изменений.
Решение этой задачи показано на рис. 9.9,б. Параллельно А 1 В 1 проведена ось Х 1 , и в системе плоскостей проекций построена новая фронтальная проекция отрезка А 4 В 4 . Очевидно, что /А 4 В 4 /=/АВ / и угол φ , образованный проекцией А 4 В 4 с осью Х 1 равен углу наклона прямой АВ к плоскости П 1 .
Задача 2. Преобразовать эпюр, изображенный на рис. 9.10 так, чтобы отрезок АВ прямой линии общего положения оказался перпендикулярным одной из плоскостей проекций.
Для решения задачи нужно произвести последовательно две замены плоскостей проекций:
1) систему заменяем системой , расположив плоскость П 4 параллельно АВ ;
2) от системы переходим к , расположив плоскость П 5 перпендикулярно прямой АВ . Выполненные построения приведены на рис. 9.10.
Задача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую.
Для решения данной задачи необходимо ввести новую плоскость проекций так, чтобы она была перпендикулярна заданной плоскости Γ(АВС) и одной из плоскостей проекций, т.е. перпендикулярна линии их пересечения. Линией пересечения плоскости Γ с плоскостью проекций является соответствующий след плоскости Γ. Поэтому новая плоскость проекций должна быть перпендикулярна одному из следов данной плоскости или одной из ее линий уровня, которая параллельна соответствующему следу.
На рис.9.11 показано преобразование плоскости Γ(АВС) в проецирующую. Для этого в плоскости Γ проведена горизонталь h(h 2 h 1) и перпендикулярно к ней, а, следовательно, и ко всей плоскости Γ введена новая плоскость П 4 , для чего ось Х 1 новой системы плоскостей проекций проведена перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали Х 1┴ h 1, и в соответствии с известным правилом построена новая проекция А 4 В 4 С 4 треугольника АВС , представляющая отрезок прямой линии. После проведенных построений плоскость Γ(АВС) П 4 и с плоскостью П 1 составляет угол a.
Задача 4. Преобразовать плоскость общего положения Γ(АВС) в плоскость уровня.
Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня производится последовательно двумя заменами плоскостей проекций - вначале плоскость общего положения преобразуется в проецирующую, затем полученная проецирующая плоскость преобразуется в плоскость уровня.
На рис.9.12 для преобразования плоскости Γ в проецирующую введена новая плоскость проекций П 4 , перпендикулярная плоскости Γ . Ось новой системы плоскостей проведена перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали. Полученная проекция А 4 В 4 С 4 является вырожденной проекцией плоскости Γ, т.к. плоскость Γ является проецирующей по отношению к плоскости П 4 .
Для преобразования проецирующей плоскости в плоскость уровня введена новая плоскость проекций П 5 , параллельная плоскости Γ . Ось Х 2 новой системы плоскостей проекций параллельна вырожденной проекции А 4 В 4 С 4 плоскости Γ . При построении новой проекции А 5 В 5 С 5 использованы расстояния от заменяемых проекций А 1 В 1 С 1 до оси Х 1. Так как в новой системе плоскостей проекций плоскость Γ(АВС) является параллельной плоскости П 5 , то на эту плоскость проекций она проецируется в натуральную величину.
Рассмотренные четыре основные задачи лежат в основе решения многих других задач способом замены плоскостей проекций. Рассмотрим примеры решения некоторых задач.
Пример 1. Преобразовать плоскость Γ общего положения, заданную следами, в проецирующую (рис. 9.13).
Плоскость Γ преобразуем во фронтально-проецирующую. Известно, что горизонтальный след фронтально-проецирующей плоскости перпендикулярен оси Х, следовательно новую ось Х 1 проводим перпендикулярно к Γ П1 . Через точку, в которой Γ П1 ∩ Х 1 = Γ Х1 пройдет фронтальный след Γ П4 . Для определения его направления достаточно найти одну точку. В качестве такой точки можно взять произвольную точку 1∈Γ и указать ее фронтальную проекцию 1 4 на новой плоскости П 4. Через Γ Х1 и 1 4 проводим Γ П4 .
Пример 2. Определить расстояние от точки Т до плоскости Σ общего положения, заданной DАВС (рис. 9.14)
Плоскость Σ(АВС) преобразуем в проецирующую, для чего в плоскости построим горизонталь h(h 2 h 1) . Перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали проведем ось Х 1 новой системы плоскостей проекций . Строим новые проекции точек А 4 В 4 С 4 , откладывая расстояния от оси Х 1 , равные расстояниям от заменяемых проекций А 2 В 2 С 2 до оси Х.
Плоскость Σ(АВС) оказалась перпендикулярной плоскости проекций П 4 и спроецировалась на эту плоскость в прямую линию. На плоскость П 4 переносим точку Т(Т 4) и опускаем перпендикуляр на плоскость D (АВС) . Т 4 К 4 ┴ (А 4 В 4 С 4) , где К – основание перпендикуляра. Расстояние от точки Т до плоскости DАВС на плоскости П 4 проецируется без искажения. |Т 4 К 4 |= |ТК|. Возвращаем проекции перпендикуляра на плоскость , для этого из точки Т 1 проводим проекцию перпендикуляра Т 1 К 1 параллельно оси Х 1 и перпендикулярно h 1 . Дальнейшие выполненные построения показаны на рис. 9.14.
Способы преобразования проекций и их
применение к решению задач
Введем новую плоскость проекций П 4 параллельно отрезку АВ (рис. 32) и перпендикулярно П 1 . При этом новая ось x 14 будет параллельна А 1 В 1 (в противном случае прямая АВ и плоскость П 4 пересекутся). Угол наклона отрезка АВ к плоскости П 4 равен нулю, и АВ на П 4 проецируется в натуральную величину, т.е. А 4 В 4 = АВ . Измерив отрезок А 4 В 4 , получим длину отрезка АВ .
Выявление натуральной величины плоской фигуры
методом замены плоскостей проекций
Пусть ∆ABC – плоскость общего положения (рис. 33). В плоскости треугольника проведем горизонталь h , спроецируем горизонталь h в точку h 4 на плоскость П 4 (x 14 ⊥ h 1 , П 4 ⊥ h ), построим новые проекции точек А 4 , В 4 , С 4 . Плоскость ∆ABC проецируется в прямую, проходящую через точки А 4 , В 4 , С 4 . Плоскость треугольника в системе (П 1 П 4) является проецирующей плоскостью, она перпендикулярна П 4 . Треугольник АВС проецируется на П 4 в отрезок В 4 С 4 .
Для нахождения натуральной величины ∆АВС введем плоскость проекций П 5 параллельно плоскости треугольника и перпендикулярно П 4 . Новая ось x 45 параллельна отрезку D 4 C 4 (в противном случае ∆ABC и П 5 пересекутся). Треугольник АВС проецируется на плоскость П 5 в натуральную величину ΔА 5 В 5 С 5 = ΔАВС .
Аналогично находится натуральная величина любой плоской фигуры.
Практическое задание № 3. Выполните чертеж двух пересекающихся плоскостей (формат А4).
Тема 4
ПОВЕРХНОСТИ
Начертательная геометрия изучает кинематический способ образования и задания поверхностей. При этом поверхность рассматривают как множество последовательных положений движущейся линии или другой поверхности в пространстве. Линию, перемещающуюся в пространстве и образующую поверхность, называют образующей . Образующие могут быть прямыми и кривыми. Кривые образующие могут быть постоянными и переменными, например, закономерно изменяющимися.
Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями, называемыми направляющими , по которым скользит образующая при своем движении, а также характером движения образующей. В некоторых случаях одна из направляющих может превращаться в точку, например, вершина у конической поверхности, или находиться в бесконечности, например, у цилиндрической поверхности.
Совокупность геометрических элементов, определяющих поверхность, называют определителем поверхности, учитывая, что закон перемещения образующей определяется названием поверхности.
Задание поверхности проекциями ее определителя не всегда обеспечивает наглядность, а это, в свою очередь, затрудняет чтение чертежа, поэтому для получения наглядного изображения поверхности на комплексном чертеже следует указывать очерк этой поверхности. Очерк проекции поверхности является проекцией соответствующей линии видимого контура. Линия видимого контура поверхности разделяет ее на две части – видимую, обращенную к наблюдателю, и невидимую.
Классификация поверхностей
Классифицируют поверхности, как правило, в зависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве (рис. 35):
Поверхность называется линейчатой , если она может быть образована перемещением прямой линии. Поверхность, которая не может быть образована движением прямой линии, называется нелинейчатой . Например, конус вращения – линейчатая поверхность, а сфера – нелинейчатая . Через любую точку линейчатой поверхности можно провести, по крайней мере, одну прямую, целиком принадлежащую поверхности. Множество таких прямых представляет собой непрерывный каркас линейчатой поверхности. Линейчатые поверхности разделяются на два вида:
– развертывающиеся поверхности;
– неразвертывающиеся , или косые поверхности.
Неразвертывающиеся поверхности невозможно совместить с плоскостью без образования складок и разрывов.
Гранные поверхности
Поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, называется многогранной . На рис. 36 изображены некоторые виды гранных поверхностей.
а б в
Рис. 36 Гранные поверхности
Их элементами являются грани , ребра и вершины . Плоскости, образующие многогранную поверхность, называются гранями , линии пересечения смежных граней – ребрами , точки пересечения не менее чем трех граней – вершинами .
Гранная поверхность называется пирамидальной , если все ее ребра пересекаются в одной точке – вершине (рис. 36 а ). Гранная поверхность называется призматической , если все ее ребра параллельны между собой (рис. 36 б ). Геометрическое тело, со всех сторон ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником . Призматоидом называется многогранник, у которого верхнее и нижнее основания – многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой треугольники или трапеции (рис. 36 в ).
Торсовые поверхности
Торсовой называют поверхность, образованную при движении прямолинейной образующей по криволинейной направляющей.
Цилиндрическая поверхность (рис.37 а ) образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая.
а б в
Рис. 37 Поверхности: торсовая цилиндрическая, торсовая коническая, торс
Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром , а фигуры сечения – его основаниями .
Коническая поверхность (рис.37 б ) образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и проходящей во всех своих положениях через неподвижную точку.
Конусом называется Часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все ее образующие. Фигура сечения конической поверхности этой плоскостью называется основанием конуса.
Поверхности с плоскостью параллелизма в общем случае образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим линиям, которые однозначно задают закон ее перемещения.
Направляющие линии могут быть кривыми и прямыми . Разновидностями косых поверхностей являются линейчатые поверхности с направляющей плоскостью и частные их виды - линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана).
Поверхности с плоскостью параллелизма в аналогичных случаях соответственно называются прямыми цилиндроидами , прямыми коноидами и косой плоскостью .
Прямым цилиндроидом (рис. 38) называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум криволинейным направляющим, не принадлежащим одной плоскости, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой заданной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью параллелизма.
Рис. 38 Прямой цилиндроид Рис. 39 Прямой коноид Рис. 40 Косая плоскость
Косой плоскостью (рис. 40) называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум скрещивающимся прямым и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой плоскости параллелизма.
Винтовые поверхности
Поверхность, образованная винтовым движением прямой линии, называется линейчатой винтовой поверхностью – геликоидом (винтовое движение характеризуется вращением вокруг некоторой оси i и поступательным перемещением, параллельным этой оси).
а б
Рис. 41 Винтовые поверхности
Наклонным геликоидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, cкользящей по двум направляющим (одна из них цилиндрическая винтовая линия, а вторая – ось винтовой линии) и сохраняющей во всех положениях постоянный угол β С направляющей плоскостью, которую располагают перпендикулярно оси винтовой поверхности. При построении проекций наклонного геликоида удобно пользоваться направляющим конусом (рис. 41 б ).
Поверхности вращения
Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения .
Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой. Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 42).
Эти окружности называются параллелями . Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям . Линия пересечения поверхности вращения плоскостью Σ , проходящей через ось, называется меридианом .
Меридиан, который является результатом пересечения поверхности вращения с плоскостью уровня, называется главным
. Проекция главного меридиана
на плоскость, которой параллельна плоскость уровня, является очерковой линией
соответствующей проекции поверхности вращения.
При проектировании различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшее распространение получили поверхности, образующиеся вращением прямой линии и кривых второго порядка.
Вращением прямой линии образуются:
–цилиндр вращения , если прямая l параллельна оси i (рис. 43 а );
– конус вращения , если прямая l пересекает ось i (рис. 43 б );
– однополостный гиперболоид , если прямая l скрещивается с осью i (рис. 43 в ).
 |
||
| а | б | в |
| Рис. 43 Линейчатые поверхности вращения | ||
К поверхностям вращения, образованным вращением кривых второго порядка вокруг оси относятся:
– сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 44 а );
– эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси (44 б , в );
– тор образуется вращением окружности вокруг внешней оси (рис. 44 г );
 |  |  |
| а | б | в |
 |  |  |
| г | д | е |
| Рис. 44 Поверхности вращения второго порядка |
– однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой (рис. 44 е ).
Каналовые и циклические поверхности
Каналовой называют поверхность, образованную непрерывным каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве. Площади этих сечений могут оставаться постоянными или монотонно изменяться в процессе перехода от одного сечения к другому. На рис. 45 приведены два изображения каналовой поверхности. В инженерной практике наибольшее распространение получили два способа ориентирования плоскостей образующих:
– параллельно какой-либо плоскости – каналовые поверхности с плоскостью параллелизма ;
– перпендикулярно к направляющей линии – прямые каналовые поверхности .
Каналовая поверхность может быть использована для создания переходных участков между двумя поверхностями типа трубопроводов, имеющих:
– различную форму, но одинаковую площадь нормального сечения;
– одинаковую форму, но различные площади сечения;
– различную форму и различные площади поперечных сечений.
Циклическую поверхность можно рассматривать как частный случай каналовой поверхности. Она образуется с помощью окружности, центр которой перемещается по криволинейной направляющей. В процессе движения радиус окружности монотонно меняется. Пример циклической поверхности показан на рис. 46.
Графические поверхности
Графические поверхности задаются конечным множеством линий уровня, образующих каркас этих поверхностей. Примеры графических поверхностей представлены на рис. 48.
 |
| Рис. 48 Графические поверхности |
Пересечение поверхности и плоскости
Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой линию, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью.
Отсюда следуют два варианта построения сечения:
1) выбираем конечное число линий на поверхности и определяем точки пересечения их с плоскостью;
2) выделяем конечное число прямых на плоскости и строим точки пересечения их с поверхностью.
Заметим, что возможно решение, представляющее собой комбинацию этих вариантов. В любом случае построение сечения сводится к многократному применению алгоритма решения задачи на пересечение линии и поверхности.
Построение сечения существенно упрощается, если плоскость занимает проецирующее положение. Это связано с тем, что проецирующая плоскость характеризуется собирательным свойством. В этом случае одна из проекций сечения находится на следе плоскости, т.е. известна.
В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники (рис. 49 а ). Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью. Секущая плоскость Σ является фронтально-проецирующей, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости, совпадут с фронтальным следом Σ 2 плоскости Σ. Следовательно, фронтальная проекция 1 2 2 2 3 2 сечения определится при пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды со следом Σ(Σ 2). Горизонтальные проекции точек 1(1 1), 2(2 1) и 3(3 1) находим из условия принадлежности точек ребрам пирамиды.
Рис. 49 Построение линии пересечения поверхности с плоскостью
Рассмотрим построение выреза сферы, образованного с помощью четырех проецирующих секущих плоскостей (рис.51, а ). Каждая из них пересекает сферу по линии, являющейся частью окружности. Кроме того, Г и Р являются горизонтальной и профильной плоскостями уровня соответственно. Проекции выреза на П 1 и П 3 будут симметричными.
 |  |
|
| а | б | |
 |  |
|
| в | г | |
На плоскостях проекций П 1 и П 3 ветви выреза от плоскостей Q и Т будут проецироваться в виде частей эллипсов. Точки А и В являются концами осей этих эллипсов.
Отметим опорные точки в плоскостях уровня: 1, 2 и 4 конечные точки ветвей выреза; 5 и 3 точки перемены видимости на плоскостях П 1 и П 3 соответственно.
Построим проекции опорных точек частей выреза от секущих плоскостей Г и Р на плоскостях проекций П 1 и П 3 (рис. 51, б ).
Q . Опорные точки 6 перемена видимости на П 1 . Опорная точка 7 низшая точка (рис. 51, в ).
Построим ветвь выреза от плоскости Т . Опорные точки 8 перемена видимости на П 3 . Опорная точка 9 низшая точка (рис. 51, г ).
Очерки сферы и видимость линии выреза на плоскостях П 1 и П 3 определяются с учетом сквозного выреза.
Взаимодействие поверхностей между собой
Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую. Любая точка этой линии принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, проведенных на этих поверхностях. Тогда имеем следующие варианты решения данной задачи:
1) выбирают на одной из поверхностей конечное число линий и строят точки пересечения их с другой поверхностью;
2) выделяют на заданных поверхностях два семейства линий и находят их точки пересечения. Во втором варианте выделение пересекающихся пар кривых выполняют с помощью вспомогательных поверхностей посредников.
В качестве поверхностей посредников наиболее часто применяют плоскости или сферы. В зависимости от вида посредников выделяют следующие наиболее часто применяемые способы построения линии пересечения двух поверхностей:
а) способ секущих плоскостей;
б) способ сфер.
Способ вспомогательных секущих плоскостей
Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения (рис. 52).
Характерными точками проекций линии пересечения поверхностей являются точки Α , Β и С , D . Точки Α , Β находятся в пересечении очерковых образующих поверхностей, т.к. эти образующие расположены в одной секущей плоскости Ф , проходящей по плоскости симметрии поверхностей. Α и Β высшая и низшая точки линии пересечения. Точки С и D являются точками видимости горизонтальной проекции линии пересечения. Их построения выполнены в такой последовательности:
1) через центр сферы О проведена горизонтальная плоскость уровня Θ;
2) построена горизонтальная проекция окружности радиуса R
Рис. 52 Применение способа вспомогательных секущих плоскостей
3) построена горизонтальная проекция окружности радиуса R 1 , по которой плоскость Θ пересекает коническую поверхность; эта же плоскость пересекает сферу по экватору (окружности максимального радиуса);
4) определены точки C 1 , D 1 пересечения окружности радиуса R 1 с очерком сферы;
5) установлены фронтальные проекции точек С (С 2), D (D 2) из условия принадлежности их плоскости Θ.
Для построения промежуточных точек 1(1 1 ,1 2), 2(2 1 ,2 2), …, 6(6 1 ,6 2) линии пересечения заданных поверхностей используем плоскости , и .
Полученные точки соединим плавной кривой линией. Видимость линии пересечения определяется в каждой плоскости проекций.
Затем устанавливаются участки, видимые одновременно для обеих поверхностей. Так, при проецировании коническая поверхность своих точек не закрывает, а сфера закрывает точки, расположенные ниже горизонтального контура. Точки С и D , расположенные на горизонтальном очерке, отделяют видимую часть линии от невидимой. Невидимая часть показана штриховой линией. На П 2 проекции видимой части линии пересечения совпадает с проекцией невидимой, так как фронтальные очерки обеих поверхностей расположены в плоскости симметрии поверхностей.
Способ концентрических сфер
Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их полумеридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям.
а б в
Рис. 53 Пересечение соосных поверхностей вращения
Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер − сфер с постоянным центром. Этот способ применяют при выполнении следующих условий:
а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;
в) плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой-либо плоскости проекций (в противном случае применяют преобразование чертежа).
Рассмотрим построение линии пересечения конических поверхностей вращения (рис. 54). Поверхности и их расположение удовлетворяют приведенным выше условиям.
Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точки линии пересечения. Точки А , В , K и L , а также E , F , С и D – это точки, принадлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентрических сфер или с помощью плоскостей посредников Σ(Σ 2) и Δ(Δ 1).
Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Θ(Θ 2) с центром в точке О
(О
2) пересекает конические поверхности по окружностям, которые на П
2 проецируются в отрезки 
и 
(проекции двух других окружностей не показаны). Точки 5 2 = 6 2 их пересечения являются фронтальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения поверхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей.
Радиус максимальной сферы равен расстоянию от точки пересечения осей поверхностей до самой удаленной точки пересечения контурных образующих этих поверхностей. На рис 54 – сфера R max =[O 2 L 2 ].
Для установления видимости проекций линии пересечения анализируем расположение точек относительно контуров поверхностей. Так, относительно П 1 , видимым будет участок кривой, расположенный выше контура горизонтальной конической поверхности (вторая поверхность на видимость на П 1 не влияет). Горизонтальная проекция невидимой части линии показана штриховой линией.
Точки А , В и K , L принадлежат фронтальным контурам поверхностей и отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой при проецировании на П 2 . Фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения на рис. 54 совпадают.
Практическое задание № 5. Выполните чертеж двух пересекающихся поверхностей. Линию их пересечения определите методом вспомогательных плоскостей (формат А4).
Работу выполняют в следующей последовательности (рис. 55):
1) определяют точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой;
2) определяют наивысшие и наинизшие точки линии пересечения;
3) определяют промежуточные точки линии пересечения с помощью вспомогательных плоскостей;
4) все найденные точки пересечения последовательно соединяют кривой линией, учитывая их видимость.
При выборе вспомогательных секущих плоскостей необходимо помнить, что они должны пересечь одновременно обе поверхности и дать наипростейшие фигуры сечения. Для всех вариантов заданий вспомогательными секущими плоскостями могут быть выбраны плоскости уровня: для одних – горизонтальные, для других – вертикальные или те и другие. Точками пересечения поверхностей являются точки пересечения контуров фигур сечения поверхностей, лежащих в одной и той же вспомогательной секущей плоскости. Каждая секущая плоскость может определить от одной до четырех точек линии пересечения в зависимости от характера пересекающихся поверхностей, их расположения относительно друг друга и положения самой секущей плоскости.
Тема 5
ИЗОБРАЖЕНИЯ: ВИДЫ, РАЗРЕЗЫ, СЕЧЕНИЯ
Чертежи выполняют в строгом соответствии с правилами проецирования с соблюдением установленных требований и условностей.
Требования, предъявляемые к чертежу: обратимость, точность, наглядность, простота.
Чертеж называется обратимым , если по изображению фигуры можно восстановить ее форму, размеры и положение в пространстве. Чертеж должен быть наглядным и давать четкое представление об изображаемом предмете. Чертеж должен быть простым для графического исполнения .
Общие требования к содержательной части чертежа установлены ГОСТ 2.109-73.
При выполнении чертежей в электронном виде необходимо руководствоваться ГОСТ 2.051-2006, ГОСТ 2.052-2006, ГОСТ 2.053-2006.
Правила выполнения изображений на чертежах установлены ГОСТ 2.305-2008.
При выполнении графических документов в форме электронных моделей для получения соответствующих изображений следует применять сохраненные виды.
Изображение на фронтальной плоскости проекций принимается на чертеже в качестве главного. Главное изображение выбирают таким образом, чтобы оно давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета.
Изображением является любой чертеж. В зависимости от содержания изображения разделяют на виды, разрезы и сечения.
Виды
Вид – это изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета. Для сокращения количества изображений допускается на видах показывать штриховыми линиями невидимые поверхности предмета (см. рис. 56).
Виды разделяют на основные, дополнительные и местные.
Основными называются виды, расположенные на любой из шести основных плоскостей с сохранением проекционной связи между ними. Вид спереди – главный вид; вид сверху – под видом спереди; вид слева – справа от главного; вид справа – слева от главного; вид снизу – над главным видом; вид сзади – справа от вида слева или слева от вида справа (см. рис. 56). Названия видов на чертеже не надписываются.
Если какой-либо вид расположен вне проекционной связи с главным изображением или отделен от него другими изображениями, то стрелкой указывают направление проецирования. Над стрелкой указывают прописную букву кириллицы. Той же буквой обозначают построенный вид (рис. 57).
Сущность метода замены плоскостей проекций состоит по сути в том, что одна из плоскостей проекций системы П! /П 2 (или последовательно обе) заменяется новой плоскостью, перпендикулярной к плоскости оставшейся. Положение заданных геометрических элементов в пространстве при этом не изменяется. Образуется новая система плоскостей проекций П 1 /П 4 (П 2 /П 5).
На рисунке 75 показано проецирование точки на плоскости П 4 и П 5 . Плоскость П 4 перпендикулярна плоскости П 1 .
[АА 1 ]=[А 2 А х ]=[А 4 А х1 ],ᴛ.ᴇ.
расстояние от новой фронтальной проекции до новой оси равно расстоянию от старой фронтальной проекции точки до старой оси.
Рисунок 75 Рисунок 76
При построении эпюра в новой системе, новая проекция точки А 4 и старая проекция точки А 1 (или А 5 и А 2) расположены на одном перпендикуляре к новой оси.
Пример 1. Определить длину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости П 1 и П 2.
Решение задачи показано на рисунке 76.
Введена плоскость П 4 перпендикулярно П 1 и параллельно отрезку АВ, т. к. Х 1 параллелен А 1 В 1 . А 1 А 4 и В 1 В 4 находятся на одной линии связи перпендикулярной новой оси Х 1 . Отрезки А 2 А х =А 4 А х1 ; В 2 В х =В 4 В х1 . Отрезок[А 4 В 4 ] =[АВ] –длина отрезка.
Углы наклона показаны на чертеже. a - угол наклона к П 1; b- угол наклона к П 2.
Для решения некоторых задач требуется вводить поочередно замены двух плоскостей проекций.
Пример 2. Определить истинную величину треугольника АВС.
Последовательность решения задачи на рисунке 77.
Рисунок 77
1) Введена плоскость П 4 ┴ П 1 ; П 2 /П 1 П 4 /П 1
Плоскость П 4 перпендикулярна плоскости треугольника АВС, так, как она перпендикулярна горизонтали, проведенной в треугольнике. На плоскости П 4 проекция треугольника А 4 В 4 С 4 - прямая линия, угол - угол наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций П 1 .
[А 2 А х ]=[А 4 А х1 ]; [В 2 В х ]=[В 4 В х1 ]; [С 2 С х ]=[С 4 С х1 ].
2) Введена плоскость П 5 ┴ П 4 . П 4 /П 1 П 5 /П 4
Плоскость треугольника АВС стала параллельна плоскости П 5 т.к. Х 2 параллельна А 4 В 4 С 4 .
[А 1 А х1 ]=[А 5 А х2 ]; [В 1 В х1 ]=[В 5 В х2 ] ; [С 1 С х1 ]=[С 5 С х2 ]
Треугольник А 5 В 5 С 5 -натуральная величина треугольник а АВС.
Пример 3. Определить точку пересечения прямой МЕ с плоскостью общего положения, заданной треугольником АВС.
Последовательность решения задачи на рисунке 78.
Рисунок 78
Так как прямая ВС является горизонталью, то вспомогательная плоскость П 4 проводится перпендикулярно П 1 , а новая ось Х 1 будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали В 1 С 1 . Плоскость АВС станет проецирующей относительно плоскости П 4 и проецируется на нее в прямую линию А 4 В 4 С 4 . По этой причине проекция точки К 4 искомой точки пересечения прямой МЕ с плоскостью АВС будет находиться на проекции А 4 В 4 С 4 или ее продолжении. Обратный переход от системы П 1 /П 4 к исходной системе П 1 /П 2 позволяет определить проекции К 1 и К 2 точки пересечения прямой МЕ с плоскостью АВС. Относительная видимость прямой и плоскости определяется методом конкурирующих точек.
Сущность метода замены плоскостей проекций заключается в том, что одна из плоскостей проекций системы П!/П2 (или последовательно обе) заменяется новой плоскостью, перпендикулярной к плоскости оставшейся. Положение заданных геометрических элементов в пространстве при... [читать подробенее]
МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА При решении многих задач начертательной геометрии бывает целесообразно преобразовать проекции одной или нескольких фигур таким образом, чтобы они заняли частное положение относительно плоскостей: параллельное либо... [читать подробенее]
[читать подробенее]
Этот метод заключается в том, что заданные в пространстве геометрические фигуры не изменяют своего положения, а в системе плоскостей проекций V и H последовательно заменяют одну, две и более плоскостей проекций. При этом вновь введёная плоскость проекций должна быть... [читать подробенее]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА Лекция 4Решение ряда задач в начертательной геометрии значительно упрощается, когда геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Задачи на определение взаимного... [читать подробенее]
Суть метода заключается в замене одной плоскости проекции на другую. При этом сам объект четко зафиксирован в пространстве. При такой замене величина координаты любой точки на вводимой плоскости будет такой же, как координаты той же точки на заменяемой плоскости. ...
Сущность способа заключается в том, что на чертеже вводится новая плоскость проекций таким образом, что предмет по отношению к ней занимает частное положение.
Рассмотрим применение этого способа к решению четырех основных задач на преобразование.
П е р в а я з а д а ч а: прямая общего
положения преобразуется в прямую уровня (рис. 5.1).
Чтобы преобразовать прямую AB общего положения в прямую уровня, необходимо ввести новую плоскость проекций параллельно АВ, т. е. на чертеже провести новую координатную ось параллельно А 1 В 1 или А 2 В 2 . В рассматриваемом случае координатная ось П 1 проведена параллельно А 1 В 1 , таким образом введена новая фронтальная плоскость проекций. Для построения проекции отрезка на этой плоскости нужно из А 1 и В 1 провести линии связи, перпендикулярные координатной осиП 1 /П 4 .
Так как высота прямой в пространстве не изменилась, то от оси П 1 /П 4 на соответствующих линиях связи откладываем высоту точек А и В, получаем А 4 и В 4 . Проекции прямой А 1 В 1 и А 4 В 4 дают положение прямой АВ, параллельное новой фронтальной плос-
кости проекций. Проекция А 4 В 4 – натуральная величина отрезка АВ. Угол между натуральной величиной прямой и горизонтальной проекцией – это угол наклона АВ к горизонтальной плоскости проекций П 1 . Если есть необходимость определить угол наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций, тогда координатную ось П 2 /П 5 необходимо провести параллельно А 2 В 2 и на линиях связи от этой оси отложить А у и В у.
Угол между натуральной величиной и фронтальной проекцией и есть угол (β) наклона прямой АВ к П 2 .
Часто для определения натуральной величины отрезка и углов наклона прямой к плоскостям проекций пользуются способом прямоугольного треугольника, который является следствием из решения первой задачи на преобразование (рис. 5.2).
Натуральная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого – сама проекция отрезка, другой катет по величине является разностью координат концов отрезка, взятой на другой плоскости проекций.
В т о р а я з а д а ч а: прямая уровня преобразуется в прямую проецирующую (рис. 5.3).
Для решения этой задачи необходимо новую плоскость проекций провести перпендикулярно натуральной величине прямой А 1 В 1 . Проекции А 1 В 1 и А 4 В 4 дают положение прямой АВ, перпендикулярное новой фронтальной плоскости проекций П 4 .
Т р е т ь я и ч е т в е р т а я з а д а ч и: плоскость общего положения преобразуется в плоскость проецирующую, и плоскость проецирующая – в плоскость уровня.
Решение этих двух задач приведено на рис. 5.4. Пусть дана плоскость общего положения – задана треугольником АВС. Чтобы преобразовать ее в проецирующую, нужно ввести новую плоскость проекций перпендикулярно треугольнику АВС, но на комплексном чертеже это возможно в том случае, если провести плоскость проекций перпендикулярно линиям уровня или следам плоскости.
С этой целью проведем в плоскости треугольника АВС горизонталь. Перпендикулярно h 1 проведем координатную ось (П 1 /П 2). Прямая уровня h преобразовалась в прямую проецирующую h(h 1 h 4). Из проекции вершин треугольника А 1 ,В 1 ,С 1 проведем линии связи и от (П 1 /П 4) отложим соответствующие координаты А 2 ,В 2 ,С 2 . Проекция треугольника А 4 ,В 4 ,С 4 представляет собой прямую линию.
Таким образом, плоскость общего положения преобразована в плоскость проецирующую. Угол между проекцией треугольника А 4 В 4 С 4 и координатной осью является углом наклона плоскости к П 1 .
