Постройте линию пересечения плоскостей авс. Построение линии пересечения поверхностей. Нефтяной технический университет»

3.6. Построение линии пересечения двух плоскостей

Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двухплоскостей, определяется двумя точками, каждая из которых одновременно принадлежит обеим плоскостям.

На рис. 3.37 плоскость общего положения, заданную тре-угольником АВС, пересекает фронтально - проецирующая плоскость, заданная треугольником DEF, Так как треугольник DEF проецируется на плоскость V в виде прямой линии D"F", то фронтальная проекция линии пересечения обеих плоскостей представляют собой отрезок K 1 "K2". Находим его горизонталь-ную проекцию и определяем видимость.

Рис.3.37 Рис.3.38

Горизонтально проецирующая плоскость а пересекает плоскость треугольника АВС (рис, 3.3 8), Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей представляет из себя отрезок M"N", который определяется на следе оси".

Е
сли плоскости заданы следами на плоскостях проекций, то, токи, определяющие прямую пересечения плоскостей} следует выбирать в точках пересечения одноименных следов плоскостей (рис.3.39); прямая, проходящая через эти точки, общие для обеих плоскостей, - их линия пересечения. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей  и  необходимо:

1) найти точку М" в пересечении следов н" и н" и точку N" в пересечении    и   , а по ним проекции М" и N".

2) провести прямые линии MN и M"N".

Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей.

Р
ис.3.40

На рис.3.40 пересекаются плоскости  и . Плоскость  плоскость общего положения, Плоскость  - горизонтальная плоскость. Для построения линии пересечения необходимо:

1) найти точку N" в пересечении следов  и v;

2) провести через эту точку прямую, исходя из положения

плоскостей и их следов.

На рисунках (3.40 - 3.42) показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лишь одну точку от пересечения следов и, затем, провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.

3.7.Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения выполняется по следующему алгоритму:

1) через данную прямую (MN) провести некоторую вспомогательную плоскость ();

2} построить прямую (ED), линию пересечения данной плоскости (АВС) и вспомогательной плоскости ();

3) определить положение точки (К) пересечения данной прямой (MN) и построенной линии пересечения (ED);

4) определить видимость прямой (MN) относительно плоскостей Н и V.

На рис.3.43 прямая MN пересекает плоскость, заданную треуголькомАВС. Через прямую MN проводим

ником АВС. Через прямую MN проводим

горизонтально проецирующую плоскость . Так как вспомогательная плоскость  горизонтально - проецирующая, то и горизонтальной проекцией плоскости  и треугольника АВС является прямая линия E"D". Находим ее фронтальную проекцию E"D". Затем построим К",в которой E " D " пересекает M"N" и определяем ее горизонтальную проекцию К". Определяем видимость отрезков МК и

K

N используя конкурирующие точки

Рис.3.44 Рис.3.45 3.46

На рис.3.44 прямая АВ пересекает плоскость а общего положения. Проводим через прямую АВ горизонтально - проецирующую плоскость , находим линию пересечения плоскости а и плоскости  (MN).

Определяем точку К" как точку пересечения M"N" и А"В". Находим точку К" и определяем видимость.

На рис. 3.45 плоскость а задана следами. Прямая, пересекающая плоскость , является горизонталью, Через прямую АВ проводим горизонтальную плоскость (||Н). Плоскость р пересекает плоскость а по горизонтали NK , принадлежащей плоскости  Затем определяем видимость. На рис. 3.46 плоскость а задана следами; прямая АВ, пересекающая плоскость а, горизонтально - проецирующая, на плоскость Н она проецируется в точку и, следовательно, горизонтальная проекция точки пересечения прямой АВ и плоскости (К) находится в этой точке.

A"=B=K", Положение К" определяется при помощи горизонтали.

3.8. Пересечение двух плоскостей общего положения

Рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей (рис.3.47).

Одна из пересекающихся плоскостей () задана двумя пере-секающимися прямыми (АВ  ВС). Вторая плоскость () задана двумя параллельными прямыми (DE FG). В результате взаимного пересечения плоскостей  и  получена прямая K 1 K 2 (== K 1 K 2). Для определения положения точек K 1 и К 2 возьмем две вспомогательные фронтально - проецирующие плоскости  1 и  2 пересекающие и плоскость , и плоскость . При пересечении плоскостью  1 плоскости  образуется прямая с проекциями 1"2" и 12". При пересечении плоскостью  1 плоскости  образуется прямая с проекциями 3"4" и 3"4". Пересечение линий12 и 34 определяет первую точку K 1 линии пересечения плоскостей  и .

Введя фронтально-проецирующую плоскость  2 , получаем в ее пересечении с плоскостями  и  прямые с проекциями 5 "б",5"б" и 7"8", 7"8". Эти прямые, расположенные в плоскости 2 , в

своем пересечении определяют вторую точку К 2 линии пересечения  и . Получив проекции K 1 " и К 2 " находим на следах  1 v" и  2 v"проекции K 1 " и К 2 ". Проекции K 1 "К 2  и K 1 "K 2 " являются проекциями искомой прямой пересечения плоскостей  и .

3.9. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пресечения прямых линий с плоскостью

Этот способ заключается в том, что находят точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Следовательно, необходимо уметь строить точку пересечения прямой с плоскостью общего положения (рис.3.43).

На рис. 3,48 дано построение линии пересечения двух треугольников АВС и DEF. Прямая K 1 K 2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника АВС с плоскостью треугольника DEF Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость  1 проведенная через АС, пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 1."2" и 1"2"; в пересечении проекций А"С" и 1"2" получаем горизонтальную проекцию точки K 1 " - пересечения

прямой АС и треугольника DEF. Затем строим фронтальную проекцию K 1 //

Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость  2 , проведенная через ВС, пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 3"4" и 3"4", В пересечении проекций 3"4" и В"С" получаем горизонтальную проекцию точки К 2 - пересечения прямой ВС и треугольника DEF. Затем строим фронтальную проекцию точки К 2 . Видимость на чертеже определяем методом конкурирующих точек (см, рис.3.36),

4. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Задание прямых линии и плоских фигур в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение задач, позволяет получить ответ или не- посредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений. Такое частное взаимное расположение прямых линий, плоских фигур и плоскостей проекций может быть обеспечено преобразованием чертежа. Достигается это:

1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказалась в каком - либо частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ перемены плоскостей проекций).

2) изменением положения прямой линии или плоской фигуры, путем поворота вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказалась в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ вращения и частный случаи его способ совмещения).

3) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем перемещения их в частное, положение так, чтобы траектории перемещения их точек находились в параллельных плоскостях при неизменной системе плоскостей проекций (способ параллельного перемещения).

4.1 Способ перемены плоскостей проекций

Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение точек, прямых линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система Н, V дополняется плоскостями, образующими с Н или с V, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций,

Каждая новая система выбирается таким образом, чтобы получить положение наиболее выгодное для выполнения требуемого построения.

4.1.1. Введение в систему Н, V одной дополнительной плоскости проекции

В большинстве случаев дополнительную плоскость в системуН, V вводят согласно определенному условию, отвечающему цели построения. Примером может служить плоскость V 1 на рис.4.1.

Т
ак как требовалось определить величину отрезка АВ и угол между АВ и плоскостью Н, то плоскость Vi расположена перпендикулярно к плоскости Н (образовалась система Н, V 1) и параллельно АВ

С
ледовательно в системе Н, V 1 отрезок АВ является фронталью (А"В" || оси X 1) и величина A 1 "B 1 " равна натуральной величине отрезка АВ, угол  1 равен углу наклона ка АВ к плоскости Н.

Рис.4.2 Рис.4.3

На рис.4.2 выбор плоскости H 1 также подчинен цели: определить угол между прямойCD и плоскостью V, а также натуральную величину отрезка CD. Поэтому плоскость H 1 выбрана перпендикулярно V и в тоже время параллельно отрезку CD (ось H 1 /V || C"D") Следовательно, в системе V, H 1 отрезок CD является горизонталью

(C"D" оси V/H 1), величина C 1 "D 1 " равна натуральной величине

отрезка CD , а угол ф 2 равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.

В случае, изображенном на рис. 4.3, выбор плоскости H 1 вполне зависит от задания.

Необходимо определить натуральный вид треугольника АВС. Так как в данном случае плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к плоскости V, то для изображения его без искажения необходимо ввести в систему H 1 , V дополнительную плоскость, отвечающую двум условиям: Н 1, V (для образования системы V,Н 1) и H 1 || АВС (H 1 || А"В"С"), что дает возможность изобразить треугольник АВС на плоскости Hiбез искажения. Новая ось V/H 1 || А"В"С". Для построения проекции A" 1 B 1 "C" 1 от новой оси откладываем отрезки, равные расстояниям точек А", В",С" от оси V/H. Натуральный вид треугольника АВС выражается новой его проекцией A" 1 B" 1 C" 1 .

Введение дополнительной плоскости проекции дает возможность преобразовать чертеж таким образом, что плоскость общего положения, заданная в системе Н, V, становиться перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций.

Рис.4.4 Рис.4.5

На рис.4.4 плоскость общего положения, заданная треугольником АВС в системе Н, V, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций V 1 . Для этого в треугольнике АВС проведена горизонталь AD, Плоскость, перпендикулярная к AD, перпендикулярна к АВС и в то же время к плоскости Н (так как.ADН). Этому соответствует плоскость V 1 и треугольник АВС проецируется на нее в отрезок B" 1 C" 1 , Угол ф 1 соответствует углу наклона треугольника АВС к плоскости Н.

Е
сли же взять плоскость H 1 (рис. 4.5), перпендикулярную к плоскости V и плоскости, заданной треугольником АВС (для чего необходимо провести ось V/H 1 перпендикулярно к фронтали треугольника АВС), то определим угол ф 2 - наклона плоскости треугольника АВС к плоскости V.

4.1.2.Введение в систему H . V двух дополнительных плоскостей проекций

Рассмотрим следующий пример (рис.4.б, 4.7): прямую общего положения АВ, заданную в системеН, V, требуется расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций.

В этом случае придерживаемся такой схемы:

1) от системы H,V переходим к системе Н, V 1 в которой дополнительная плоскость V 1  Н и V 1 || АВ,

2) от системы H,V 1 переходим к системе V 1 H 1 гдеH 1 V 1 и H 1 AB. Решение сводится к последовательному построению проекций А 1  и A 1 " точки.А, В 1  и B 1 " точки В.

Прямая АВ, общего положения в системе H,V, становится параллельной плоскости V 1 в системе Н, V 1 и проецируется в точку на плоскости H 1 в системе V 1 , H 1 т.е. АВ H 1 ,

На рис.4.8 дан пример построения натурального вида треугольника АВС.

Решение такой задачи проводится по следующей схеме:

1) от системы H,V переходим к системе H,V 1 , в которой V 1  Н и V 1  AD (AD - горизонталь треугольника АВС), V 1 АВС.

2) от системы Н, V 1 переходим к системе Vi, Hi, в которой H 1 1 V 1 и H 1 || АВС,

В первой части задачи дополнительная плоскость V 1 перпендикулярна плоскости треугольникаАВС. Это построение повторяет показанное на рис, 4.4.

Во второй части построения на рис.4.8 сводятся к проведению оси V 1 /H 1  C" 1 "A 1 "B 1 " т.е. плоскость H 1 проведена параллельно плоскости АВС, что приводит к определению натурального вида, выражаемого проекцией C" 1 "A 1 "B 1 ".

4.2.Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций

При вращении вокруг некоторой, неподвижной прямой i (ось вращения) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). При этом точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (цен m р вращения). Радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до центра (это радиус вращения). Если какая-либо точка данной системы находится на оси вращения i, то при вращении системы эта точка считается неподвижной. Ось вращения может быть, задана и выбрана. Если ось вращения выбирается, то ее выгодно располагать перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, так как при этом упрощаются построения.

4.2.1.Вращение вокруг заданной оси

Рис.4.9 Рис.4.10

Пусть точка А вращается вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости Н (рис.4.9). При вращении точка А описывает окружность радиуса R, плоскость которой находится в плоскости  и перпендикулярна к плоскости V, а, следовательно, параллельна плоскости Н Величина радиуса R выражается длиной перпендикуляра, проведенного из точки А на ось вращения. Окружность, описанная в пространстве точкой А, проецируется на плоскость Н без искажения, Так как плоскость а перпендикулярна к V, то проекции точек окружности на плоскость V расположатся на v" , т.е. на прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции

оси вращения. Нарис.4.9 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси i, спроецирована без искажения на плоскость Н. Из центра О проведена окружность радиуса R=OA. На плоскость V эта окружность спроецировалась в виде отрезка прямой, равного 2R,

На рис,4.10 изображено вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости V. Окружность, описанная точкой А, спроецирована без искажения на плоскость V. Из точки О проведена окружность радиуса R==OA". На плоскости Н эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R.

Из этого следует, что при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций, одна из проекций вращаемой точки перемещаетсяпо прямой, перпендикулярной к проекции оси вращения.

4.2.2.Вращение вокруг выбранной оси

В ряде случаев ось вращения может быть выбрана. При этом, если ось вращения выбрать проходящей через один из концов отрезка, то построение упрощается, так как точка, через которую проходит ось, будет неподвижной и для поворота отрезка необходимо будет построить новое положение проекции только одной точки - другого конца отрезка.

Рис.4.11 Рис.4.12

На рис. 4.11 необходимо определить натуральную величину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости Н. Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости Н и проходит через точку А. Поворачивая отрезок АВ вокруг оси i переводим его в положение,

параллельное плоскости V (т.е. АВ становится фронталью). Величина А В равна натуральной величине отрезка АВ, а угол А // В // В // равен углу наклона отрезка АВ к плоскости Н.

Аналогично определяется натуральная величина отрезка CD и угол наклона его к плоскости V (рис.89). Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости V и проходит через точку С. Поворачивая отрезок CD вокруг оси i переводим его в положение, параллельное плоскости Н (т.е. CD становится горизонталью). Величина С D равна натуральной величине отрезка CD и угол С / D равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.

На рис 4.13 необходимо определить натуральный вид треугольника АВС и угол наклона его к плоскости Н. Т.к.. плоскость треугольника АВС является плоскостью общего положения, то данную задачу решаем по схеме:

1 Вращением вокруг оси i , перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через точкуС, переводим треугольник АВС из общего положения в положение фронтально - проецирующей плоскости.

2.Вращением вокруг оси i 1 , перпендикулярной к плоскости V и проходящей через точку А, переводим треугольникАВС из положения фронтально- проецирующей плоскости в положение плоскости, параллельной плоскости Н.

Для того, чтобы треугольник АВС перевести в положение фронтально- проецирующей плоскости, в плоскости треугольника АВС проводим горизонталь плоскости СК, Ее фронтальная проекция С // К // параллельна оси X. Горизонтальная проекция С / К / равна натуральной величине отрезка СК. Ось вращения i выбираем перпендикулярно Н и проводим через точку С, Плоскость АВС становится в положение фронтально- проецирующей плоскости, если горизонталь данного треугольника (СК) займет положение, перпендикулярное к плоскости V и, следовательно, отрезок СК станет перпендикулярен к оси X, а фронтальная проекция С // К // проецируется в точку. Из центра i / С / радиусом, равным С / К / , проводим дугу и строим новую проекцию К.Т.к. при вращении любой точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, траектория перемещения точки расположена в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, то проекция К // расположена на прямой К // К // , параллельной оси X.

Методом засечек находим В / и А / . Фронтальная проекция В"" лежит на прямойВ // В // и параллельной оси X, фронтальная проекция А / лежит на прямой А / А / , параллельной оси X. В результате данного вращения плоскость АВС стала фронтально проецирующей и угол (р равен углу наклона плоскостиАВС к плоскости Н.

Ось вращения i 1 выбираем перпендикулярно V и проводим через точку А. Вращаем точку К и точку С радиусом А К, точку В радиусом А В до тех пор, пока плоскость АВС не займет положение, параллельное плоскости Н и, следовательно, отрезок А 1 // К 1 // В 1 // параллелен оси ОХ. Т.к. траектории перемещения точек С,В и К при этом на горизонтальную плоскость Н с проецировалась в прямые, параллельные

С / лежит на прямой С / С / ,

В / 1 лежит на прямой В / В / 1 ,

К / 1 лежит на прямой К / К / 1.

Проекция A / B / C / определяет натуральный вид треугольника АВС.

Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.

Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость, строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

На рисунке 5 показано наглядное изображение линии пересечения K 1 K 2 двух плоскостей Р и Q .

Рисунок 5

Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей Р и Q (рисунок 6) введена вспомогательная плоскость S . С плоскостью Р она пересекается по линии 1-2 , с плоскостью Q – по линии 3-4 . В пересечении линий 1-2 и 3-4 определена первая общая точка K 1 двух плоскостей Р и Q – первая точка линии их пересечения.

Аналогично вводят новую секущую плоскость и строят вторую точку линии пересечения.

Рисунок 6

Частный случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая. В этом случае построение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.

В качестве примера на рисунке 7 показано построение проекций m"n", mn линии пересечения MN фронтально-проецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника АВС .

Рисунок 7

На фронтальной проекции в пересечении проекций a"b" и а"с" со следом Р u находим фронтальные проекции m" и n" двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены горизонтальные проекции m и n на горизонтальных проекциях аb и ас сторон треугольника. Через точки m и n проводим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке S по фронтальной проекции очевидно, что часть треугольника левее линии пересечения MN (m"n" ) находится над плоскостью Р , т. е. видима, остальная часть - под плоскостью Р , т. е. невидима (участок mbcn показан штриховой линией).

Другой пример построения линии пересечения двух треугольных пластин АВС и DEF , одна из которых (DEF ) задана как горизонтально-проецирующая плоскость, приведен на рисунке 8.

Рисунок 8

На горизонтальной проекции в пересечении горизонтальных проекций ab и bc сторон DАВС с проекцией dfe второго треугольника находим горизонтальные проекции m и n точек их пересечения. По ним на фронтальных проекциях сторон а"b" и b"c" строим фронтальные проекции m" и n" точек линии пересечения MN . На фронтальной проекции отмечаем видимость частей треугольников, руководствуясь следующим: при взгляде по стрелке S по горизонтальной проекции очевидно, что сторона АС находится перед плоскостью треугольника DEF .

Следовательно, сторона АС и ограничиваемая ею часть треугольника АВС до линии пересечения MN видимы (т. е. видима фронтальная проекция четырехугольника a"c"n"m" ). Видимая часть фронтальной проекции DDEF на чертеже оттенена.

Построение линии пересечения плоскостей общего положения. На рисунке 9 приведено построение проекций m"n", mn линии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекци­ями а"b", b"c", ab, bc двух пересекающихся прямых, другая - проекциями d"e", f"g", de, fg двух параллельных прямых.

В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами R u и Т u .

Плоскость R пересекает первую заданную плоскость по прямой 1-2 , вторую – по прямой 3-4 . По фронтальным проекциям 1", 2" и 3", 4" находим с помощью линий связи горизонтальные проекции 1, 2 и 3, 4 на горизонтальных проекциях ab, bc, de, fg прямых. Через них проводим горизонтальные проекции линий 1-2 и 3-4 линий пересечения. Отмечаем точку m – горизонтальную проекцию общей точки M трех плоскостей – двух заданных и вспомогательной R . По ней определяем фронтальную проекцию m" на фронтальном следе R u вспомогательной плоскости.

Рисунок 9

Вспомогательные плоскости Т и R параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями также параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плоскости Т c заданными плоскостями проведены через проекцию b параллельно проекции 1-2 и через проекцию 5 параллельно проекции 3-4 . В их пересечении найдена горизонтальная проекция n второй общей точки трех плоскостей, т.е. линии пересечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе T u вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция n" . Через построенные проекции m", n" и m, n проводим фронтальную и горизонтальную проекции искомой линии пересечения MN .

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра технической механики

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Учебнометодическое пособие к решению домашнего задания № 3

для бакалавров всех специальностей

Стерлитамак 2011

Перед работой с методическими указаниями бакалавр обязан изучить материал по рекомендуемой литературе

Составители Валитова Э.Г., ст.преподаватель

Рецензент Иванов С.П., доц., канд. техн. наук

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2011

Методические указания предназначены для бакалавров всех специальностей при изучении темы "Взаимное пересечение поверхностей" и выполнении домашнего графического задания по этой теме.

Перед работой с методическими указаниями бакалавр обязан изучить материал по рекомендуемой литературе.

1.1 Целью задания является изучение способов построения линии пересечения поверхностей.

а) построить проекции линий пересечения заданных поверхностей способом плоскостейпосредников (формат A3);

б) построить проекции линий пересечения поверхностей способом сферических посредников (формат A3);

в) отметить характерные точки линий пересечения.

Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении.

2 МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

2.1 Произвести разметку (компоновку) формата, предусматривая рациональное использование поля чертежа.

2.2 Вычертить в тонких линиях карандашом исходные данные задачи, вспомогательные линии построения, найденную линию пересечения поверхностей.

2.3 Заполнить основную надпись (содержание и размеры приведены на рис.1)

Рис. 1. Основная надпись

2.4 Работа, выполненная в тонких линиях, должка быть представлена на проверку преподавателю.

2.5 После проверки произвести обводку чертежа, исходя из следующих требований:

2.5.1 Данные элементы выполняются черным цветом карандашом, тушью или пастой сплошной основной линией (S1 мм).

2.5.2 Линии проекционной связи и оси проекций выполняются черным цветом сплошной тонкой линией карандашом, тушью или пастой (S0,5 мм).

2.5.3 Линии вспомогательных построений, выполняются зеленым или синим цветом сплошной тонкой линией (S0,5 мм) также карандашом, тушью или пастой.

2.5.4 Искомые элементы выполняются сплошной основной линией красного цвета (карандаш, тушь, паста, фломастер,S1 мм),Sтолщина линии.

2.6 Представить работу для защиты. Защита работы фиксируется подписью преподавателя в графе «Принял» и сопровождается соответствующей оценкой, проставляемой в виде дроби: числитель оценка за глубину изучения темы, знаменательоценка за качество графического исполнения чертежа.

3 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Линия пересечения поверхностей это кривая, состоящая из точек, принадлежащих обеим поверхностям. Она представляет собой в общем случае пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми. Обычно линию пересечения строят по ее отдельным точкам.

Общим способом построения этих точек является способ поверхностей посредников. Пересекая данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью и определяя линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получим точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностейпосредников применяют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы построения точек линии пересечения двух поверхностей:

а) способ вспомогательных плоскостей;

б) способ вспомогательных сфер.

Применение того или иного способа построения линии пересечения поверхностей зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения.

4 СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

При нахождении точек линии пересечения поверхностей необходимо соблюдать определенную последовательность. У линии пересечения различают точки опорные (характерные) и промежуточные (случайные). В первую очередь определяют опорные точки, т.к. они позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где необходимо изменять положение вспомогательных поверхностейпосредников.

К опорным точкам относят точки, лежащие на очерках поверхностей, высшие и низшие точки, ближайшие к наблюдателю и наиболее удаленные от него, крайние левые и правые.

Способ вспомогательных плоскостей следует применять тогда, когда обе пересекающиеся поверхности возможно пересечь по графически простым линиям (окружностям или прямым) некоторой совокупностью проецирующих плоскостей (или, в частном случае, совокупностью плоскостей уровня).

На рис. 2 показано построение линии пересечения горизонтально проецирующего цилиндра с конусом вращения. Опорные точки 1 и 2 определены при пересечении главных меридианов обеих поверхностей, находящихся в плоскости симметрии. Случайные точки 3, 3 1 4, 4 1 находят с помощью горизонтальных плоскостей уровняS 1 иS 2 , пересекающих обе поверхности по окружности. Фронтальная проекция линии пересечения строится по законам проекционной связи.

На рис. 3 построена линия пересечения конуса вращения со сферой. Опорные точки линии пересечения 1 и 2 определяются сразу, как и в предыдущем случае, при пересечении очерковых образующих (главных меридианов). Случайные точки 5, 5 1 находят с помощью горизонтальной плоскости уровняS 3 . Точки видимости 4 и 4 1 определяет плоскостьS 1 , пересекающая сферу по экватору. Точки 4 и 4 1 разделяют горизонтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части. Для построения двух крайних левых точек 3 и 3 1 необходимо из точки 0 (0 / , 0) пересеченияосей конуса и шара опустить перпендикуляр на образующую конуса и через точку К / провести плоскостьS 2 .

В пересечении соответствующих окружностей получаются точки 3 и 3 1  крайние левые. Проведя ряд вспомогательных плоскостей, можно получить какое угодно количество случайных точек, уточняющих форму линии пересечения.

Рис. 2. Построение линии пересечения цилиндра и конуса

Рис. 3. Построение линии пересечения конуса и сферы

5 СПОСОБ СФЕРИЧЕСКИХ ПОСРЕДНИКОВ

Сферические посредники нашли широкое применение в решении задач на взаимное пересечение поверхностей. Обуславливается это тем, что:

а) проекции сферы строятся чрезвычайно просто;

б) на сфере может быть взято бесчисленное множество семейств окружностей;

в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью ее симметрии,

В основе метода сферических посредников лежит следующая теорема: "Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их главных меридианов". Пусть заданы две соосные поверхности вращенияФ и ψрис, 4), их главные меридианы а / и b / . Общие точки этих меридианов 2. и 1 образуют при вращении окружности, которые являются общими для данных поверхностей. Эти окружности проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямых, перпендикулярных к оси вращения, а на горизонтальную плоскостьв натуральную величину. Любое другое поясное сечение, например, плоскостью S, даст две окружности разных диаметров.

В способе сферических посредников в качестве одной из соосных поверхностей берутся сферы, а в качестве второйлюбая поверхность вращения, например, конус, цилиндр, шар, эллипсоид и гиперболоид вращения и др.

Рис. 4. Соосные поверхности

В этом случае указанная теорема получает следующую формулировку: "Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересекает данную поверхность по окружности" (рис.5).

Рис. 5. Сфера, соосная поверхностям вращения

Во всех случаях сфера пересекается с поверхностью вращения по окружностям равных или разных диаметров, которые проецируются в прямые линии, перпендикулярные к оси поверхности вращения. Способ сферических посредников имеет две разновидности:

а) способ концентрических сфер, когда сферыпосредники строятся из одного и того же центра;

б) способ эксцентрических сфер, когда посредники строятся из различных центров.

Для решения задач первым способом необходимы следующие условия:

l) обе заданные поверхности должны быть поверхностями вращения;

2) оси обеих поверхностей должны пересекаться между собой и лежать в общей плоскости симметрии.

Для решения задач вторым способом (эксцентрических сфер) условия несколько иные, а именно:

1) одна из пересекающихся поверхностей должна быть поверхностью вращения, а втораянести на себе семейство круговых сечений;

2) обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, на которую круговые сечения проецируются в виде прямых линий.

На рис.6 показано определение линии пересечения двух поверхностей вращения (конуса и цилиндра) способом концентрических сфер. План решения задачи следующий:

1) принимают точку пересечения осей поверхностей 0 (0 / , 0) за центр, проводят вспомогательные сферыпосредники;

2) определяют окружности пересечения сферпосредников с каждой из заданных поверхностей в отдельности;

3) находят точки пересечения полученных окружностей, эти точки принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.

Начинают построение с определения опорных точек  точек пересечения очерковых образующих 1 и 2. Далее определяют значение радиуса наибольшей и наименьшей сферыпосредника; R макс равен расстоянию от центра 0 до наиболее удаленней точки пересечения очерковых образующих, Для определения радиуса наименьшей сферыпосредника R мин. из центра 0 / опускают нормали 0 / К / и 0 / Т / на очерковые образующие обеих поверхностей. Величина большей из нормалей и является радиусом наименьшей сферыпосредника. Эта наименьшая вспомогательная сфера даёт еще одну опорную точкуточку 5, которая является точкой крайнегопрогиба, вершиной кривой линии пересечения. Остальные точки строятся с помощью промежуточных сфер, радиус которых берется в пределах R мин

Рис. 6. Построение линии пересечения с помощью

концентрических сфер

Рис. 7. Построение линии пересечения с помощью

эксцентрических сфер

На рис.7 построена линия пересечения конуса, ось которого перпендикулярна горизонтальной плоскости, и четверти тора, ось вращения которого перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Для решения использовался способ эксцентрических сферпосредников. Решение задачи начинают с определения точек пересечения очерковых образующих обеих поверхностей. Точки 1,2,3.определяются непосредственно с чертежа фронтальной проекции, а точка 4 пересечения оснований поверхностей найдена на горизонтальной проекции. Для построения промежуточных точек линии пересечения рассекают торовую поверхность плоскостями, проходящими через ось тора. В сечении получают окружности. Например, плоскостьS 1 пересекает тор по окружности диаметраа / b / . Из центра этой окружности точки К / восстанавливают перпендикуляр до пересечения с осью конуса в точке 0 / 1 . Принимая эту точку за центр, строят вспомогательную сферупосредник радиусом 0 / 1 а / (0 / 1 b /). Эта сфера пересекает тор по известной уже окружностиа / b / ,а конуспо окружности 8 / 9 / . Взаимное их пересечение дает точку 5 линии пересечения. Аналогично с помощью плоскостейS 2 иS 3 найдены точки 6 и 7.

Приложение

ЛИТЕРАТУРА

1. Нартова Л.Г. Начертательная геометрия: Учеб. М.: Академия, 2011.

2. Гордон В.О. Начертательная геометрия. – М.: Высш. шк., 2002.

3. Гордон В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. – М.: Высш. шк., 2003.

4. Дегтярев В.М. Инженерная и компьютерная графика: Учеб. М.: Академия, 2011.

5. Потёмкин А. Инженерная графика. М.: Высш. шк., 2002.

2. Методика и порядок выполнения задания. . . . . . . 1

3. Общие сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4. Способ вспомогательных плоскостей частного положения 3

5. Способ сферических посредников. . . . . . . . . . . 5

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 10

Приложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

По заданным координатам точек А, В, С, D, E, F (Таблица 2) построить горизонтальную и фронтальную проекции треугольников ∆АBC и ∆DEF, найти линию их пересечения и определить видимость элементов треугольников .

2.2. Пример выполнения задания № 2

Второе задание представляет комплекс задач по темам:

1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость : по известным координатам шести точек А, В, С, D, E, F построить горизонтальную и фронтальную проекции 2-х плоскостей, заданных ∆АBC и ∆DEF ;

2. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, пересечение плоскостей, конкурирующие точки : построить линию пересечения заданных плоскостей и определить видимость их элементов.

Построить горизонтальные и фронтальные проекции заданных плоскостей ∆АBC и ∆DEF (Рисунок 2.1).

Для построения искомой линии пересечения заданных плоскостей необходимо:

1. Выбрать одну из сторон треугольника и построить точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника: на Рисунке 2.1 построена точка М пересечения прямой EF c плоскостью ∆АBC ; для этого прямую EF заключают во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость δ;

2. Построить фронтальную проекцию 1 2 2 2 линии пересечения плоскости δ с плоскостью ∆АBC ;

3. Найти фронтальную проекцию М 2 искомой точки М на пересечении фронтальную проекцию 1 2 2 2 с фронтальной проекцией E 2 F 2 прямой EF ;

4. Найти горизонтальную проекцию М 1 точки М с помощью линии проекционной связи;

5. Аналогично построить вторую точку N , принадлежащую искомой линии пересечения заданных плоскостей: заключить во фронтально-проецирующую плоскость β прямую ВС ; найти линию пересечения 34 плоскости с плоскостью ∆DEF ; на пересечении линии 34 и прямой ВС найти точку N ;

6. Определить с помощью конкурирующих точек, для каждой плоскости отдельно, видимые участки треугольников.

Рисунок 2.1 – Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками

Рисунок 2.2 – Пример оформления задания 2

Видеопример выполнения задания №2

2.3. Варианты задания 2

Таблица 2– Значения координат точек