Пусть нужно найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой. Обозначая их радиусы-векторы через а текущий радиус-вектор через , мы легко получим искомое уравнение в векторной форме. В самом деле, векторы , должны быть компланарны (они все лежат в искомой плоскости). Следовательно, векторно-скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю:

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , в векторной форме.

Переходя к координатам, получим уравнение в координатах:

Если бы три данные точки лежали на одной прямой, то векторы были бы коллинеарны. Поэтому соответствующие элементы двух последних строк определителя, стоящего в уравнении (18), были бы пропорциональны и определитель тождественно равен нулю. Следовательно, уравнение (18) обращалось бы в тождество при любых значениях х, у и z. Геометрически это значит, что через каждую точку пространства проходит плоскость, в которой лежат и три данные точки.

Замечание 1. Эту же задачу можно решить, не пользуясь векторами.

Обозначая координаты трех данных точек соответственно чрез напишем уравнение любой плоскости, проходящей через первую точку:

Чтобы получить уравнение искомой плоскости, нужно потребовать, чтобы уравнение (17) удовлетворялось координатами двух других точек:

Из уравнений (19) нужно определить отношения двух коэффициентов к третьему и внести найденные значения в уравнение (17).

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки .

Уравнение плоскости, проходящей через первую из данных точек, будет:

Условия прохождения плоскости (17) через две другие точки и первую точку суть:

Складывая второе уравнение с первым, найдем:

Подставляя во второе уравнение, получим:

Подставляя в уравнение (17) вместо А, В, С соответственно 1, 5, -4 (числа, им пропорциональные), получим:

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Уравнение любой плоскости, проходящей через точку (0, 0, 0), будет]

Условия прохождения этой плоскости, через точки (1, 1, 1) и (2, 2, 2) суть:

Сокращая второе уравнение на 2, видим, что для определения двух неизвестных отношении имеет одно уравнение с

Отсюда получим . Подставляя теперь в уравнение плоскости вместо его значение, найдем:

Это и есть уравнение искомой плоскости; оно зависит от произвольных

количеств В, С (а именно, от отношения т. е. имеется бесчисленное множество плоскостей, проходящих через три данные точки (три данные точки лежат на одной прямой линии).

Замечание 2. Задача о проведении плоскости через три данные точки, не лежащие на одной прямой, легко решается в общем виде, если воспользоваться определителями. Действительно, так как в уравнениях (17) и (19) коэффициенты А, В, С не могут быть одновременно равны нулю, то, рассматривая эти уравнения как однородную систему с тремя неизвестными А, В, С, пишем необходимое и достаточное условие существования решения этой системы, отличного от нулевого (ч. 1, гл. VI, § 6):

Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим уравнение первой степени относительно текущих координат , которому будут удовлетворять, в частности, координаты трех данных точек.

В этом последнем можно также убедиться и непосредственно, если подставить в уравнение, записанное с помощью определителя, координаты любой из данных точек вместо . В левой части получается определитель, у которого либо элементы первой строки нули, либо имеются две одинаковые строки. Таким образом, составленное уравнение представляет плоскость, проходящую через три данные точки.

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости . Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока - «Матрицы и определители ». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3);

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A , B , C и D - коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ - подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала - теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2 , y 2 , z 2); K = (x 3 , y 3 , z 3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:


Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x , y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется - чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель - и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x 2 или x 3 , а в какой - просто x . Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x , y , z )

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M ) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы - и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN , MK и MT , равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x , y , z ) - как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2 . Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x ; y ; z ) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x , y и z , которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x , y , z ).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0 .

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x , y , z не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B 1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в общей декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М 1 , М 2 , М 3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.

(
) = 0

Таким образом,

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки М 1 (x 1 ,y 1 ,z 1),M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2) и вектор
.

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М 1 и М 2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .

Векторы
и вектор
должны быть компланарны, т.е.

(
) = 0

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,

коллинеарным плоскости.

Пусть заданы два вектора
и
, коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у,z), принадлежащей плоскости, векторы
должны быть компланарны.

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали .

Теорема. Если в пространстве задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), то уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору нормали (A , B , C ) имеет вид:

A (x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0.

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору
. Тогда скалярное произведение

= 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

Теорема доказана.

Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

,

заменив
, получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости в векторной форме.

где

- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

Единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

,  и  - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

В координатах это уравнение имеет вид:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от произвольной точки М 0 (х 0 , у 0 , z 0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0
параллелен искомой плоскости.

Получаем:

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор
(1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали(1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Находим координаты вектора нормали
= (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

    Найти длину ребра А 1 А 2 .

    Найти угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 .

    Найти угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 .

Сначала найдем вектор нормали к грани А 1 А 2 А 3 как векторное произведение векторов
и
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Найдем угол между вектором нормали и вектором
.

-4 – 4 = -8.

Искомый угол  между вектором и плоскостью будет равен  = 90 0 - .

    Найти площадь грани А 1 А 2 А 3 .

    Найти объем пирамиды.

    Найти уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 .

Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики ” можно запустить программу, которая решит рассмотренный выше пример для любых координат вершин пирамиды.

Для запуска программы дважды щелкните на значке:

В открывшемся окне программы введите координаты вершин пирамиды и, нажимитеEnter. Таким образом, поочередно могут быть получены все пункты решения.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Можно задавать разными способами (одной точкой и вектором, двумя точками и вектором, тремя точками и др.). Именно с учетом этого уравнение плоскости может иметь различные виды. Также при соблюдении определенных условий плоскости могут быть параллельными, перпендикулярными, пересекающимися и т.д. Об этом и поговорим в данной статье. Мы научимся составлять общее уравнение плоскости и не только.

Нормальный вид уравнения

Допустим, есть пространство R 3 , которое имеет прямоугольную координатную систему XYZ. Зададим вектор α, который будет выпущен из начальной точки О. Через конец вектора α проведем плоскость П, которая будет ему перпендикулярна.

Обозначим на П произвольную точку Q=(х,у,z). Радиус-вектор точки Q подпишем буквой р. При этом длина вектора α равняется р=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Это единичный вектор, который направлен в сторону, как и вектор α. α, β и γ - это углы, которые образуются между вектором Ʋ и положительными направлениями осей пространства х, у, z соответственно. Проекция какой-либо точки QϵП на вектор Ʋ является постоянной величиной, которая равна р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Указанное уравнение имеет смысл, когда р=0. Единственное, плоскость П в этом случае будет пересекать точку О (α=0), которая является началом координат, и единичный вектор Ʋ, выпущенный из точки О, будет перпендикулярен к П, несмотря на его направление, что означает, что вектор Ʋ определяется с точностью до знака. Предыдущее уравнение является уравнением нашей плоскости П, выраженным в векторной форме. А вот в координатах его вид будет таким:

Р здесь больше или равно 0. Мы нашли уравнение плоскости в пространстве в нормальном виде.

Общее уравнение

Если уравнение в координатах умножим на любое число, которое не равно нулю, получим уравнение, эквивалентное данному, определяющее ту самую плоскость. Оно будет иметь такой вид:

Здесь А, В, С - это числа, одновременно отличные от нуля. Это уравнение именуется как уравнение плоскости общего вида.

Уравнения плоскостей. Частные случаи

Уравнение в общем виде может видоизменяться при наличии дополнительных условий. Рассмотрим некоторые из них.

Предположим, что коэффициент А равен 0. Это означает, что данная плоскость параллельна заданной оси Ох. В этом случае вид уравнения изменится: Ву+Cz+D=0.

Аналогично вид уравнения будет изменяться и при следующих условиях:

  • Во-первых, если В=0, то уравнение изменится на Ах+Cz+D=0, что будет свидетельствовать о параллельности к оси Оу.
  • Во-вторых, если С=0, то уравнение преобразуется в Ах+Ву+D=0, что будет говорить о параллельности к заданной оси Oz.
  • В-третьих, если D=0, уравнение будет выглядеть как Ах+Ву+Cz=0, что будет означать, что плоскость пересекает О (начало координат).
  • В-четвертых, если A=B=0, то уравнение изменится на Cz+D=0, что будет доказывать параллельность к Oxy.
  • В-пятых, если B=C=0, то уравнение станет Ах+D=0, а это означает, что плоскость к Oyz параллельна.
  • В-шестых, если A=C=0, то уравнение приобретет вид Ву+D=0, то есть будет сообщать о параллельности к Oxz.

Вид уравнения в отрезках

В случае когда числа А, В, С, D отличны от нуля, вид уравнения (0) может быть следующим:

х/а + у/b + z/с = 1,

в котором а = -D/А, b = -D/В, с = -D/С.

Получаем в итоге Стоит отметить, что данная плоскость будет пересекать ось Ох в точке с координатами (а,0,0), Оу - (0,b,0), а Oz - (0,0,с).

С учетом уравнения х/а + у/b + z/с = 1 нетрудно визуально представить размещение плоскости относительно заданной координатной системы.

Координаты нормального вектора

Нормальный вектор n к плоскости П имеет координаты, которые являются коэффициентами общего уравнения данной плоскости, то есть n (А,В,С).

Для того чтобы определить координаты нормали n, достаточно знать общее уравнение заданной плоскости.

При использовании уравнения в отрезках, которое имеет вид х/а + у/b + z/с = 1, как и при использовании общего уравнения, можно записать координаты любого нормального вектора заданной плоскости: (1/а + 1/b + 1/с).

Стоит отметить, что нормальный вектор помогает решить разнообразные задачи. К самым распространенным относятся задачи, заключающиеся в доказательстве перпендикулярности или параллельности плоскостей, задачи по нахождению углов между плоскостями или углов между плоскостями и прямыми.

Вид уравнения плоскости согласно координатам точки и нормального вектора

Ненулевой вектор n, перпендикулярный заданной плоскости, называют нормальным (нормалью) для заданной плоскости.

Предположим, что в координатном пространстве (прямоугольной координатной системе) Oxyz заданы:

  • точка Мₒ с координатами (хₒ,уₒ,zₒ);
  • нулевой вектор n=А*i+В*j+С*k.

Нужно составить уравнение плоскости, которая будет проходить через точку Мₒ перпендикулярно нормали n.

В пространстве выберем любую произвольную точку и обозначим ее М (х у,z). Пускай радиус-вектор всякой точки М (х,у,z) будет r=х*i+у*j+z*k, а радиус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ*j+zₒ*k. Точка М будет принадлежать заданной плоскости, если вектор МₒМ будет перпендикулярен вектору n. Запишем условие ортогональности при помощи скалярного произведения:

[МₒМ, n] = 0.

Поскольку МₒМ = r-rₒ, векторное уравнение плоскости выглядеть будет так:

Данное уравнение может иметь и другую форму. Для этого используются свойства скалярного произведения, а преобразовывается левая сторона уравнения. = - . Если обозначить как с, то получится следующее уравнение: - с = 0 или = с, которое выражает постоянство проекций на нормальный вектор радиус-векторов заданных точек, которые принадлежат плоскости.

Теперь можно получить координатный вид записи векторного уравнения нашей плоскости = 0. Поскольку r-rₒ = (х-хₒ)*i + (у-уₒ)*j + (z-zₒ)*k, а n = А*i+В*j+С*k, мы имеем:

Выходит, у нас образовывается уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормали n:

А*(х- хₒ)+В*(у- уₒ)С*(z-zₒ)=0.

Вид уравнения плоскости согласно координатам двух точек и вектора, коллинеарного плоскости

Зададим две произвольные точки М′ (х′,у′,z′) и М″ (х″,у″,z″), а также вектор а (а′,а″,а‴).

Теперь мы сможем составить уравнение заданной плоскости, которая будет проходить через имеющиеся точки М′ и М″, а также всякую точку М с координатами (х,у,z) параллельно заданному вектору а.

При этом векторы М′М={х-х′;у-у′;z-z′} и М″М={х″-х′;у″-у′;z″-z′} должны быть компланарными с вектором а=(а′,а″,а‴), а это значит, что (М′М, М″М, а)=0.

Итак, наше уравнение плоскости в пространстве будет выглядеть так:

Вид уравнения плоскости, пересекающей три точки

Допустим, у нас есть три точки: (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴), которые не принадлежат одной прямой. Необходимо написать уравнение плоскости, проходящей через заданные три точки. Теория геометрии утверждает, что такого рода плоскость действительно существует, вот только она единственная и неповторимая. Поскольку эта плоскость пересекает точку (х′,у′,z′), вид ее уравнения будет следующим:

Здесь А, В, С отличные от нуля одновременно. Также заданная плоскость пересекает еще две точки: (х″,у″,z″) и (х‴,у‴,z‴). В связи с этим должны выполняться такого рода условия:

Сейчас мы можем составить однородную систему с неизвестными u, v, w:

В нашем случае х,у или z выступает произвольной точкой, которая удовлетворяет уравнение (1). Учитывая уравнение (1) и систему из уравнений (2) и (3), системе уравнений, указанной на рисунке выше, удовлетворяет вектор N (А,В,С), который является нетривиальным. Именно потому определитель данной системы равняется нулю.

Уравнение (1), которое у нас получилось, это и есть уравнение плоскости. Через 3 точки она точно проходит, и это легко проверить. Для этого нужно разложить наш определитель по элементам, находящимся в первой строке. Из существующих свойств определителя вытекает, что наша плоскость одновременно пересекает три изначально заданные точки (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴). То есть мы решили поставленную перед нами задачу.

Двухгранный угол между плоскостями

Двухгранный угол представляет собой пространственную геометрическую фигуру, образованную двумя полуплоскостями, которые исходят из одной прямой. Иными словами, это часть пространства, которая ограничивается данными полуплоскостями.

Допустим, у нас имеются две плоскости со следующими уравнениями:

Нам известно, что векторы N=(А,В,С) и N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярны согласно заданным плоскостям. В связи с этим угол φ меж векторами N и N¹ равняется углу (двухгранному), который находится между этими плоскостями. Скалярное произведение имеет вид:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

именно потому

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

Достаточно учесть, что 0≤φ≤π.

На самом деле две плоскости, которые пересекаются, образуют два угла (двухгранных): φ 1 и φ 2 . Сумма их равна π (φ 1 + φ 2 = π). Что касается их косинусов, то их абсолютные величины равны, но различаются они знаками, то есть cos φ 1 =-cos φ 2 . Если в уравнении (0) заменить А, В и С на числа -А, -В и -С соответственно, то уравнение, которое мы получим, будет определять эту же плоскость, единственное, угол φ в уравнении cos φ= NN 1 /|N||N 1 | будет заменен на π-φ.

Уравнение перпендикулярной плоскости

Перпендикулярными называются плоскости, между которыми угол равен 90 градусов. Используя материал, изложенный выше, мы можем найти уравнение плоскости, перпендикулярной другой. Допустим, у нас имеются две плоскости: Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D=0. Мы можем утверждать, что перпендикулярными они будут, если cosφ=0. Это значит, что NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.

Уравнение параллельной плоскости

Параллельными называются две плоскости, которые не содержат общих точек.

Условие (их уравнения те же, что и в предыдущем пункте) заключается в том, что векторы N и N¹, которые к ним перпендикулярны, коллинеарные. А это значит, что выполняются следующие условия пропорциональности:

А/А¹=В/В¹=С/С¹.

Если условия пропорциональности являются расширенными - А/А¹=В/В¹=С/С¹=DD¹,

это свидетельствует о том, что данные плоскости совпадают. А это значит, что уравнения Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D¹=0 описывают одну плоскость.

Расстояние до плоскости от точки

Допустим, у нас есть плоскость П, которая задана уравнением (0). Необходимо найти до нее расстояние от точки с координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Чтобы это сделать, нужно привести уравнение плоскости П в нормальный вид:

(ρ,v)=р (р≥0).

В данном случае ρ (х,у,z) является радиус-вектором нашей точки Q, расположенной на П, р - это длина перпендикуляра П, который был выпущен из нулевой точки, v - это единичный вектор, который расположен в направлении а.

Разница ρ-ρº радиус-вектора какой-нибудь точки Q=(х,у,z), принадлежащий П, а также радиус-вектора заданной точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) является таким вектором, абсолютная величина проекции которого на v равняется расстоянию d, которое нужно найти от Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Вот и получается,

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Таким образом, мы найдем абсолютное значение полученного выражения, то есть искомое d.

Используя язык параметров, получаем очевидное:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Если заданная точка Q 0 находится по другую сторону от плоскости П, как и начало координат, то между вектором ρ-ρ 0 и v находится следовательно:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

В случае когда точка Q 0 совместно с началом координат располагается по одну и ту же сторону от П, то создаваемый угол острый, то есть:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

В итоге получается, что в первом случае (ρ 0 ,v)>р, во втором (ρ 0 ,v)<р.

Касательная плоскость и ее уравнение

Касающаяся плоскость к поверхности в точке касания Мº - это плоскость, содержащая все возможные касательные к кривым, проведенным через эту точку на поверхности.

При таком виде уравнения поверхности F(х,у,z)=0 уравнение касательной плоскости в касательной точке Мº(хº,уº,zº) будет выглядеть так:

F х (хº,уº,zº)(х- хº)+ F х (хº, уº, zº)(у- уº)+ F х (хº, уº,zº)(z-zº)=0.

Если задать поверхность в явной форме z=f (х,у), то касательная плоскость будет описана уравнением:

z-zº =f(хº, уº)(х- хº)+f(хº, уº)(у- уº).

Пересечение двух плоскостей

В расположена система координат (прямоугольная) Oxyz, даны две плоскости П′ и П″, которые пересекаются и не совпадают. Поскольку любая плоскость, находящаяся в прямоугольной координатной системе, определяется общим уравнением, будем полагать, что П′ и П″ задаются уравнениями А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. В таком случае имеем нормаль n′ (А′,В′,С′) плоскости П′ и нормаль n″ (А″,В″,С″) плоскости П″. Поскольку наши плоскости не параллельны и не совпадают, то эти векторы являются не коллинеарными. Используя язык математики, мы данное условие можем записать так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Пускай прямая, которая лежит на пересечении П′ и П″, будет обозначаться буквой а, в этом случае а = П′ ∩ П″.

а - это прямая, состоящая из множества всех точек (общих) плоскостей П′ и П″. Это значит, что координаты любой точки, принадлежащей прямой а, должны одновременно удовлетворять уравнения А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. Значит, координаты точки будут частным решением следующей системы уравнений:

В итоге получается, что решение (общее) этой системы уравнений будет определять координаты каждой из точек прямой, которая будет выступать точкой пересечения П′ и П″, и определять прямую а в координатной системе Oxyz (прямоугольной) в пространстве.

В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:

Определение 1

Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.

Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.

Допустим, у нас имеется прямоугольная система координат. Обозначим ее O x y z . В ней лежат три точки M с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) , которые нельзя соединить прямой линией. Исходя из этих условий, мы можем записать уравнение необходимой нам плоскости. Есть два подхода к решению этой задачи.

1. Первый подход использует общее уравнение плоскости. В буквенном виде оно записывается как A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 . С его помощью можно задать в прямоугольной системе координат некую плоскость альфа, которая проходит через первую заданную точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . У нас получается, что нормальный вектор плоскости α будет иметь координаты A , B , C .

Определение N

Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.

Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.

Таким образом, согласно условиям задачи, мы имеем координаты искомой точки (даже трех), через которую проходит плоскость. Чтобы найти уравнение, нужно вычислить координаты ее нормального вектора. Обозначим его n → .

Вспомним правило: любой не равный нулю вектор данной плоскости является перпендикулярным нормальному вектору этой же плоскости. Тогда мы имеем, что n → будет перпендикулярным по отношению к векторам, составленным из исходных точек M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Тогда мы можем обозначить n → как векторное произведение вида M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Поскольку M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) а M 1 M 3 → = x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 (доказательства этих равенств приведены в статье, посвященной вычислению координат вектора по координатам точек), тогда получается, что:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Если мы вычислим определитель, то получим необходимые нам координаты нормального вектора n → . Теперь мы можем записать нужное нам уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

2. Второй подход нахождения уравнения, проходящей через M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) , основан на таком понятии, как компланарность векторов.

Если у нас есть множество точек M (x , y , z) , то в прямоугольной системе координат они определяют плоскость для заданных точек M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) только в том случае, когда векторы M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) и M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) будут компланарными.

На схеме это будет выглядеть так:

Это будет означать, что смешанное произведение векторов M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → будет равно нулю: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , поскольку это является основным условием компланарности: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) и M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Запишем полученное уравнение в координатной форме:

После того, как мы вычислим определитель, мы сможем получить нужное нам уравнение плоскости для трех не лежащих на одной прямой точек M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.

В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.

Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки

Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.

Пример 1

Есть три точки, не лежащие на одной прямой, с координатами M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Составьте уравнение плоскости, проходящей через них.

Решение

Используем поочередно оба способа.

1. Найдем координаты двух нужных нам векторов M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Теперь вычислим их векторное произведение. Вычисления определителя расписывать при этом не будем:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 · i → + 30 · j → + 2 · k →

У нас получился нормальный вектор плоскости, которая проходит через три искомые точки: n → = (- 5 , 30 , 2) . Далее нам нужно взять одну из точек, например, M 1 (- 3 , 2 , - 1) , и записать уравнение для плоскости с вектором n → = (- 5 , 30 , 2) . Мы получим, что: - 5 · (x - (- 3)) + 30 · (y - 2) + 2 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Это и есть нужное нам уравнение плоскости, которая проходит через три точки.

2. Используем другой подход. Запишем уравнение для плоскости с тремя точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в следующем виде:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Сюда можно подставить данные из условия задачи. Поскольку x 1 = - 3 , y 1 = 2 , z 1 = - 1 , x 2 = - 1 , y 2 = 2 , z 2 = 4 , x 3 = 3 , y 3 = 3 , z 3 = - 1 , в итоге мы получим:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Мы получили нужное нам уравнение.

Ответ: - 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.

Пример 2

У нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой размещены три точки с координатами M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через нее.

Решение

Используем первый способ и начнем с вычисления координат двух векторов M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Подсчитаем их координаты: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Векторное произведение будет равно:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 · i ⇀ + 0 · j → + 0 · k → = 0 →

Поскольку M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , то наши векторы будут коллинеарными (перечитайте статью о них, если забыли определение этого понятия). Таким образом, исходные точки M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) находятся на одной прямой, и наша задача имеет бесконечно много вариантов ответа.

Если мы используем второй способ, у нас получится:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Из получившегося равенства также следует, что заданные точки M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) находятся на одной прямой.

Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать уравнение прямой М 1 М 2 , М 1 М 3 или М 2 М 3 (при необходимости посмотрите материал об этом действии).

2. Взять точку M 4 (x 4 , y 4 , z 4) , которая не лежит на прямой М 1 М 2 .

3. Записать уравнение плоскости, которая проходит через три различных точки М 1 , М 2 и M 4 , не лежащих на одной прямой.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter