Определение. Касательная к окружности — это прямая на плоскости, имеющая ровно одну общую точку с окружностью.

Вот парочка примеров:

Окружность с центром O касается прямой l в точке A Из любой точки M за пределами окружности можно провести ровно две касательных Различие между касательной l , секущей BC и прямой m , не имеющей общих точек с окружностью

На этом можно было бы закончить, однако практика показывает, что недостаточно просто зазубрить определение — нужно научиться видеть касательные на чертежах, знать их свойства и вдобавок как следует попрактиковаться в применении этих свойств, решая реальные задачи. Всем этим всем мы сегодня и займёмся.

Основные свойства касательных

Для того, чтобы решать любые задачи, нужно знать четыре ключевых свойства. Два из них описаны в любом справочнике / учебнике, а вот последние два — про них как-то забывают, а зря.

1. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны

Чуть выше мы уже говорили про две касательных, проведённых из одной точки M. Так вот:

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны.

Отрезки AM и BM равны

2. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания

Ещё раз посмотрим на картинку, представленную выше. Проведём радиусы OA и OB , после чего обнаружим, что углы OAM и OBM — прямые.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Этот факт можно использовать без доказательства в любой задаче:

Радиусы, проведённые в точку касания, перпендикулярны касательным

Кстати, заметьте: если провести отрезок OM , то мы получим два равных треугольника: OAM и OBM .

3. Соотношение между касательной и секущей

А вот это уже факт посерьёзнее, и большинство школьников его не знают. Рассмотрим касательную и секущую, которые проходят через одну и ту же общую точку M . Естественно, секущая даст нам два отрезка: внутри окружности (отрезок BC — его ещё называют хордой) и снаружи (его так и называют — внешняя часть MC ).

Произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной

Соотношение между секущей и касательной

4. Угол между касательной и хордой

Ещё более продвинутый факт, который часто используется для решения сложных задач. Очень рекомендую взять на вооружение.

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.

Откуда берётся точка B ? В реальных задачах она обычно «всплывает» где-то в условии. Поэтому важно научиться распознавать данную конфигурацию на чертежах.


Иногда всё-таки касается:)

Секущие, касательные - все это сотни раз можно было слышать на уроках геометрии. Но выпуск из школы позади, проходят года, и все эти знания забываются. Что следует вспомнить?

Сущность

Термин "касательная к окружности" знаком, наверное, всем. Но вряд ли у всех получится быстро сформулировать его определение. Между тем касательной называют такую прямую, лежащую в одной плоскости с окружностью, которая пересекает ее только в одной точке. Их может существовать огромное множество, но все они обладают одинаковыми свойствами, о которых речь пойдет ниже. Как нетрудно догадаться, точкой касания называют то место, где окружность и прямая пересекаются. В каждом конкретном случае она одна, если же их больше, то это будет уже секущая.

История открытия и изучения

Понятие касательной появилось еще в древности. Построение этих прямых сначала к окружности, а потом к эллипсам, параболам и гиперболам с помощью линейки и циркуля проводилось еще на начальных этапах развития геометрии. Разумеется, история не сохранила имя первооткрывателя, но очевидно, что еще в то время людям были вполне известны свойства касательной к окружности.

В Новое время интерес к этому явлению разгорелся вновь - начался новый виток изучения этого понятия в сочетании с открытием новых кривых. Так, Галилей ввел понятие циклоиды, а Ферма и Декарт построили к ней касательную. Что же касается окружностей, кажется, еще для древних не осталось секретов в этой области.

Свойства

Радиус, проведенный в точку пересечения, будет Это

основное, но не единственное свойство, которое имеет касательная к окружности. Еще одна важная особенность включает в себя уже две прямые. Так, через одну точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные, при этом их отрезки будут равны. Есть и еще одна теорема по этой теме, однако ее редко проходят в рамках стандартного школьного курса, хотя для решения некоторых задач она крайне удобна. Звучит она следующим образом. Из одной точки, расположенной вне окружности, проведены касательная и секущая к ней. Образуются отрезки AB, AC и AD. А - пересечение прямых, B точка касания, C и D - пересечения. В этом случае будет справедливым следующее равенство: длина касательной к окружности, возведенная в квадрат, будет равна произведению отрезков AC и AD.

Из вышесказанного есть важное следствие. Для каждой точки окружности можно построить касательную, но при этом только одну. Доказательство этого достаточно просто: теоретически опустив на нее перпендикуляр из радиуса, выясняем, что образованный треугольник существовать не может. И это значит, что касательная - единственная.

Построение

Среди прочих задач по геометрии есть особая категория, как правило, не

пользующаяся любовью учеников и студентов. Для решения заданий из этой категории нужны лишь циркуль и линейка. Это задачи на построение. Есть они и на построение касательной.

Итак, даны окружность и точка, лежащая вне ее границ. И необходимо провести через них касательную. Как же это сделать? Прежде всего, нужно провести отрезок между центром окружности О и заданной точкой. Затем с помощью циркуля следует разделить его пополам. Чтобы это сделать, необходимо задать радиус - чуть более половины расстояния между центром изначальной окружности и данной точкой. После этого нужно построить две пересекающиеся дуги. Причем радиус у циркуля менять не надо, а центром каждой части окружности будут изначальная точка и О соответственно. Места пересечений дуг нужно соединить, что разделит отрезок пополам. Задать на циркуле радиус, равный этому расстоянию. Далее с центром в точке пересечения построить еще одну окружность. На ней будет лежать как изначальная точка, так и О. При этом будет еще два пересечения с данной в задаче окружностью. Именно они и будут точками касания для изначально заданной точки.

Именно построение касательных к окружности привело к рождению

дифференциального исчисления. Первый труд по этой теме был опубликован известным немецким математиком Лейбницем. Он предусматривал возможность нахождения максимумов, минимумов и касательных вне зависимости от дробных и иррациональных величин. Что ж, теперь оно используется и для многих других вычислений.

Кроме того, касательная к окружности связана с геометрическим смыслом тангенса. Именно от этого и происходит его название. В переводе с латыни tangens - "касательная". Таким образом, это понятие связано не только с геометрией и дифференциальным исчислением, но и с тригонометрией.

Две окружности

Не всегда касательная затрагивет лишь одну фигуру. Если к одной окружности можно провести огромное множество прямых, то почему же нельзя наоборот? Можно. Вот только задача в этом случае серьезно усложняется, ведь касательная к двум окружностям может проходить не через любые точки, а взаимное расположение всех этих фигур может быть очень

разным.

Типы и разновидности

Когда речь идет о двух окружностях и одной или нескольких прямых, то даже если известно, что это касательные, не сразу становится ясно, как все эти фигуры расположены по отношению друг к другу. Исходя из этого, различают несколько разновидностей. Так, окружности могут иметь одну или две общие точки или не иметь их вовсе. В первом случае они будут пересекаться, а во втором - касаться. И вот тут различают две разновидности. Если одна окружность как бы вложена во вторую, то касание называют внутренним, если нет - то внешним. Понять взаимное расположение фигур можно не только, исходя из чертежа, но и располагая информацией о сумме их радиусов и расстоянии между их центрами. Если две эти величины равны, то окружности касаются. Если первая больше - пересекаются, а если меньше - то не имеют общих точек.

Так же и с прямыми. Для любых двух окружностей, не имеющих общих точек, можно

построить четыре касательные. Две из них будут пересекаться между фигурами, они называются внутренними. Пара других - внешние.

Если речь идет об окружностях, которые имеют одну общую точку, то задача серьезно упрощается. Дело в том, что при любом взаимном расположении в этом случае касательная у них будет только одна. И проходить она будет через точку их пересечения. Так что построение трудности не вызовет.

Если же фигуры имеют две точки пересечения, то для них может быть построена прямая, касательная к окружности как одной, так и второй, но только внешняя. Решение этой проблемы аналогично тому, что будет рассмотрено далее.

Решение задач

Как внутренняя, так и внешняя касательная к двум окружностям, в построении не так уж просты, хоть эта проблема и решаема. Дело в том, что для этого используется вспомогательная фигура, так что додуматься до такого способа самостоятельно

довольно проблематично. Итак, даны две окружности с разным радиусом и центрами О1 и О2. Для них нужно построить две пары касательных.

Прежде всего, около центра большей окружности нужно построить вспомогательную. При этом на циркуле должна быть установлена разница между радиусами двух изначальных фигур. Из центра меньшей окружности строятся касательные к вспомогательной. После этого из О1 и О2 проводятся перепендикуляры к этим прямым до пересечения с изначальными фигурами. Как следует из основного свойства касательной, искомые точки на обеих окружностях найдены. Задача решена, по крайнем мере, ее первая часть.

Для того чтобы построить внутренние касательные, придется решить практически

аналогичную задачу. Снова понадобится вспомогательная фигура, однако на этот раз ее радиус будет равен сумме изначальных. К ней строятся касательные из центра одной из данных окружностей. Дальнейший ход решения можно понять из предыдущего примера.

Касательная к окружности или даже двум и больше - не такая уж сложная задача. Конечно, математики давно перестали решать подобные проблемы вручную и доверяют вычисления специальным программам. Но не стоит думать, что теперь необязательно уметь делать это самостоятельно, ведь для правильного формулирования задания для компьютера нужно многое сделать и понять. К сожалению, есть опасения, что после окончательного перехода на тестовую форму контроля знаний задачи на построение будут вызывать у учеников все больше трудностей.

Что же касается нахождения общих касательных для большего количества окружностей, это не всегда возможно, даже если они лежат в одной плоскости. Но в некоторых случаях можно найти такую прямую.

Примеры из жизни

Общая касательная к двум окружностям нередко встречается и на практике, хоть это и не всегда заметно. Конвейеры, блочные системы, передаточные ремни шкивов, натяжение нити в швейной машинке, да даже просто велосипедная цепь - все это примеры из жизни. Так что не стоит думать, что геометрические задачи остаются лишь в теории: в инженерном деле, физике, строительстве и многих других областях они находят практическое применение.

1. Две касательные из одной точки.

Пусть к окружности с центром в точке $$O$$ проведены две касательные $$AM$$ и $$AN$$, точки $$M$$ и $$N$$ лежат на окружности (рис. 1).

По определению касательной $$OM \perp AM$$ и $$ON \perp AN$$. В прямоугольных треугольниках $$AOM$$ и $$AON$$ гипотенуза $$AO$$ общая, катеты $$OM$$ и $$ON$$ равны, значит, $$\Delta AOM = \Delta AON$$. Из равенства этих треугольников следует $$AM=AN$$ и $$\angle MAO = \angle NAO$$. Таким образом, если из точки к окружности проведены две касательные, то:

1.1$${\!}^{\circ}$$. отрезки касательных от этой точки до точек касания равны;

1.2$${\!}^{\circ}$$. прямая, проходящая через центр окружности и заданную точку, делит угол между касательными пополам.

Используя свойство 1.1$${\!}^{\circ}$$, легко решим следующие две задачи. (В решении используется тот факт, что в каждый треугольник можно вписать окружность).

На основании $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ расположена точка $$D$$, при этом $$DA = a$$, $$DC = b$$ (рис. 2). Окружности, вписанные в треугольники $$ABD$$ и $$DBC$$ , касаются прямой $$BD$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно. Найти отрезок $$MN$$.

.

$$\triangle$$ Пусть $$a > b $$. Обозначим $$x = MN$$, $$y = ND$$, $$z = BM$$.

По свойству касательных $$DE = y$$, $$KD = x + y $$, $$AK = AP = a - (x + y)$$, $$CE = CF = b - y$$, $$BP = z$$, и $$BF = z + x$$. Выразим боковые стороны (рис. 2а): $$AB = z+a-x-y$$, $$BC=z+x-b-y$$. По условию $$AB=BC$$, поэтому $$z+a-x -y = z+x+b-y$$. Отсюда находим $$x=\frac{(a-b)}{2}$$, т. е. $$MN=\frac{(a-b)}{2}$$. Если $$a \lt b$$, то $$MN=\frac{(b-a)}{2}$$. Итак, $$MN=\frac{1}{2}|a-b|$$. $$\blacktriangle$$

ОТВЕТ

$$\frac{|a-b|} {2}$$

Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов вписанной и описанной окружностей, т. е. $$a+b=2R+2r$$.

$$\triangle$$ Пусть $$M$$, $$N$$ и $$K$$ - точки касания окружностью сторон прямоугольного треугольника $$ABC$$ (рис. 3), $$AC=b$$, $$BC=a$$, $$r$$ - радиус вписанной окружности, $$R$$ - радиус описанной окружности. Вспомним, что гипотенуза есть диаметр описанной окружности: $$AB=2R$$. Далее, $$OM \perp AC$$, $$BC \perp AC$$, значит, $$OM \parallel BC$$, аналогично $$ON \perp BC$$, $$AC \perp BC$$, значит, $$ON \parallel AC$$. Четырёхугольник $$MONC$$ по определению есть квадрат, все его стороны равны $$r$$, поэтому $$AM = b - r$$ и $$BN = a - r $$.

По свойству касательных $$AK=AM$$ и $$BK=BN$$, поэтому $$AB = AK + KB = a+b-2r$$, а т. к. $$AB=2R$$ , то получаем $$a+b=2R+2r$$. $$\blacktriangle$$

Свойство 1.2$${\!}^{\circ}$$ сформулируем по другому: центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Около окружности с центром в точке $$O$$ описана трапеция $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ (рис. 4а).

а) Доказать, что $$\angle AOB = \angle COD = $$90$${\!}^{\circ}$$ .

б) Найти радиус окружности, если $$BO = \sqrt{5}$$ и $$AO = 2 \sqrt{5}$$. (рис. 4б)

$$\triangle$$ а) Окружность вписана в угол $$BAD$$, по свойству 1.2$${\!}^{\circ}$$ $$AO$$ - биссектриса угла $$A$$, $$\angle 1 = \angle 2 = \frac{1}{2} \angle A$$; $$BO$$ - биссектриса угла $$B$$, $$\angle 3 = \angle 4 = \frac{1}{2} \angle B$$. Из параллельности прямых $$AD$$ и $$BC$$ следует, что $$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$$,поэтому в треугольнике $$AOB$$ из $$\angle 1 + \angle 3 = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 90^{\circ}$$ следует $$\angle AOB = 90^{\circ}$$.

Аналогично $$CO$$ и $$DO$$ биссектрисы углов $$C$$ и $$D$$ трапеции, $$\angle COD = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = 90^{\circ}$$.

б) Треугольник $$AOB$$ прямоугольный с катетами $$AO = 2 \sqrt{5}$$ и $$BO = \sqrt{5}$$. Находим гипотенузу $$AB=\sqrt{20+5} = 5$$. Если окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$K$$, то $$OK \perp AB$$ и $$OK$$ - радиус окружности. По свойству прямоугольного треугольника $$AB \cdot OK = AO \cdot BO$$, откуда $$OK = \frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}{5} = 2$$. $$\blacktriangle$$

ОТВЕТ

2. Угол между касательной и хордой с общей точкой на окружности.

Напомним, что градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Теорема 1. Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами.

$$\square$$ Пусть $$O$$ - центр окружности, $$AN$$ - касательная (рис. 5). Угол между касательной $$AN$$ и хордой $$AB$$ обозначим $$\alpha$$. Соединим точки $$A$$ и $$B$$ с центром окружности.

Таким образом, градусная мера угла между касательной и хордой равна половине градусной меры дуги $$AnB$$, которая заключена между его сторонами, и, значит, угол $$BAN$$ равен любому вписанному углу, опирающемуся на дугу $$AnB$$. (Аналогичные рассуждения можно провести и для угла $$MAB$$). $$\blacksquare$$

Точка $$C$$ лежит на окружности и отстоит от касательных, проведённых из точки $$M$$ к окружности, на расстоянии $$CS = a$$ и $$CP = b$$ (рис. 6). Доказать, что $$CK = \sqrt{ab}$$.

$$\triangle$$ Проведём хорды $$CA$$ и $$CB$$. Угол $$SAC$$ между касательной $$SA$$ и хордой $$AC$$ равен вписанному углу $$ABC$$. А угол $$PBC$$ между касательной $$PB$$ и хордой $$BC$$ равен вписанному углу $$BAC$$. Получили две пары подобных прямоугольных треугольников $$\Delta ASC \sim\Delta BKC$$ и $$\Delta BPC \sim \Delta AKC$$. Из подобия имеем $$\dfrac{a}{AC}=\dfrac{x}{BC}$$ и $$\dfrac{b}{BC}=\dfrac{x}{AC}$$, откуда следует $$ab=x^2$$, $$x=\sqrt{ab}$$. (Если проекция точки $$C$$ на прямую $$AB$$ лежит вне отрезка $$AB$$, доказательство изменяется не сильно). (Ч. т. д.) $$\blacktriangle$$

Приём , применённый в решении, - проведение «недостающих» хорд - часто помогает в задачах и теоремах с окружностью и касательной, как, например, в доказательстве следующей теоремы «о касательной и секущей» .

Теорема 2. Если из одной точки $$M$$ к окружности проведены касательная $$MA$$ и секущая $$MB$$, пересекающая окружность в точке $$C$$ (рис. 7), то справедливо равенство $$MA^2 = MB \cdot MC$$, т. е. если из точки $$M$$ к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки $$M$$ до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки $$M$$ до точек её пересечения с окружностью.

$$\square$$ Проведём хорды $$AC$$ и $$AB$$. Угол $$MAC$$ между касательной и хордой равен вписанному углу $$ABC$$, оба измеряются половиной градусной меры дуги $$AnC$$. В треугольниках $$MAC$$ и $$MBA$$ равны углы $$MAC$$ и $$MBA$$, а угол при вершине $$M$$ общий. Эти треугольники по-
добны, из подобия имеем $$MA/MB = MC/MA$$, откуда следует $$MA^2 = MB \cdot MC$$. $$\blacksquare$$

Радиус окружности равен $$R$$. Из точки $$M$$ проведены касательная $$MA$$ и секущая $$MB$$, проходящая через центр $$O$$ окружности (рис. 8). Найти расстояние между точкой $$M$$ и центром окружности, если $$MB = 2MA$$.

$$\triangle$$ Обозначим искомое расстояние $$x: \: x=MO$$, тогда $$MB = x+R$$, $$MC=x-R$$ и по условию $$MA=MB/2=(x+R)/2$$. По теореме о касательной и секущей $$(x+R)^2/4=(x+R)(x-R)$$, откуда, сокращая на $$(x+R)$$, получаем $$(x+R)/4=x-R$$. Легко находим $$x = \dfrac{5}{3}R$$. $$\blacktriangle$$

ОТВЕТ

$$\dfrac{5}{3}R$$

3. Свойство хорд окружности.

Полезно доказать эти свойства самостоятельно (лучше закрепляется), можете разобрать доказательства по учебнику.

1.3$${\!}^{\circ}$$. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящей через середину хорды (не являющуюся диаметром) перпендикулярен ей.

1.4$${\!}^{\circ}$$. Равные хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра окружности. Обратно: на равном расстоянии от центра окружности находятся равные хорды.

1.5$${\!}^{\circ}$$. Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны (рис. 9 подскажет путь доказательства).

1.6$${\!}^{\circ}$$. Если две хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$, то $$AM \cdot MB = CM \cdot MD$$, т. е. произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды (на рис. 10 $$\Delta AMC \sim \Delta DMB$$).

Следующее утверждение докажем.

1.7$${\!}^{\circ}$$. Если в окружности радиуса $$R$$ вписанный угол, опирающийся на хорду длины $$a$$, равен $$\alpha$$,то $$a = 2R\textrm{sin}\alpha$$.

$$\blacksquare$$ Пусть в окружности радиуса $$R$$ хорда $$BC = a$$, вписанный угол $$BAC$$ опирается на хорду $$a$$, $$\angle BAC = \alpha$$ (рис. 11 а,б).

Проведём диаметр $$BA^{"}$$ и рассмотрим прямоугольный треугольник $$BA^{"}C$$ ($$\angle BCA^{"}= 90^{\circ}$$, опирается на диаметр).

Если угол $$A$$ острый (рис. 11а), то центр $$O$$ и вершина $$A$$ лежат по одну сторону от прямой $$BC$$, $$\angle A^{"} = \angle A$$ и $$BC = BA^{"} \cdot \textrm{sin}A^{"}$$, т. е. $$a=2R\textrm{sin}A^{"}$$ .

Если угол $$A$$ тупой, центр $$O$$ и вершина $$A$$ лежат по разные стороны от прямой $$BC$$ (рис. 11б), тогда $$\angle A^{"} = 180^{\circ} - \angle A$$ и $$BC = BA^{"} \cdot \textrm{sin}A^{"}$$, т. е. $$a=2R\textrm{sin}(180-A^{"})=2R\textrm{sin}A^{"}$$.

Если $$\alpha = 90^{\circ}$$, то $$BC$$ - диаметр, $$BC = 2R = 2R\textrm{sin}90^{\circ}$$.

Во всех случаях справедливо равенство $$a=2R\textrm{sin}A^{"}$$ . $$\blacktriangle$$

Итак, $$\boxed{a = 2R\textrm{sin}\alpha}$$ или $$\boxed{R = \dfrac{a}{2\textrm{sin}\alpha}}$$. (*)

Найти радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, в котором $$AB = 3\sqrt{3}$$, $$BC = 2$$ и угол $$ABC = 150^{\circ}$$.

$$\triangle$$ В описанной около треугольника $$ABC$$ окружности известен угол $$B$$ , опирающийся на хорду $$AC$$. Из доказанной формулы следует $$R = \dfrac{AC}{2\textrm{sin}B}$$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $$ABC$$ (рис. 12) при этом учтём, что

$$\textrm{cos}150^{\circ} = \textrm{cos}(180^{\circ}-30^{\circ}) = -\textrm{cos}30^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$, получим

$$AC^2 = 27+4+2\cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 49,\: AC=7$$.

Находим $$R = \dfrac{AC}{2\textrm{sin}150^{\circ}} = \dfrac{7}{2\textrm{sin}30^{\circ}} = 7$$. $$\blacktriangle$$

ОТВЕТ

Используем свойство пересекающихся хорд для доказательства следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть $$AD$$ - биссектриса треугольника $$ABC$$, тогда

$$AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot CD$$, т.е. если $$AB=c,\: AC=b,\: BD=x,\:DC=y$$, то $$AD^2 = bc-xy$$ (рис. 13а).

$$\square$$ Опишем около треугольника $$ABC$$ окружность (рис. 13б) и точку пересечения продолжения биссектрисы $$AD$$ с окружностью обозначим $$B_1$$. Обозначим $$AD = l $$ и $$DB_1 = z $$. Вписанные углы $$ABC$$ и $$AB_1C$$ равны, $$AD$$ - биссектриса угла $$A$$, поэтому $$\Delta ABD \sim \Delta AB_1C$$ (по двум углам). Из подобия имеем $$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AB}{AB_1}$$, т. е. $$\dfrac{l}{b} = \dfrac{c}{l+z}$$, откуда $$l^2=bc-lz$$. По свойству пересекающихся хорд $$BD\cdot DC = AD \cdot DB_1$$, т. е. $$xy=lz$$, поэтому получаем $$l^2=bc-xy$$ . $$\blacksquare$$

4. Две касающиеся окружности

В заключении параграфа рассмотрим задачи с двумя касающимися окружностями. Две окружности, имеющие общую точку и общую касательную в этой точке, называются касающимися . Если окружности расположены по одну сторону от общей касательной, они называются касающимися внутренне (рис. 14а), а если расположены по разные стороны от касательной, то они называются касающимися внешне (рис. 14б).

Если $$O_1$$ и $$O_2$$ - центры окружностей, то по определению касательной $$AO_1 \perp l$$, $$AO_2 \perp l$$, следовательно, в обоих случаях общая точка касания лежит на линии центров.

Две окружности радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$ ($$R_1 > R_2$$) внутренне касаются в точке $$A$$. Через точку $$B$$, лежащую на большей окружности, проведена прямая, касающаяся меньшей окружности в точке $$C$$ (рис. 15). Найти $$AB$$, если $$BC = a$$.

$$\triangle$$ Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ - центры большей и меньшей окружностей, $$D$$ - точка пересечения хорды $$AB$$ с меньшей окружностью. Если $$O_1N \perp AB$$ и $$O_2M \perp AB$$, то $$AN=AB/2$$ и $$AM=AD/2$$ (т. к. радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам). Из подобия треугольников $$AO_2M$$ и $$AO_1N$$ следует $$AN:AM = AO_1:AO_2$$ и, значит, $$AB:AD = R_1:R_2$$.

По теореме о касательной и секущей имеем:

$$BC^2 = AB\cdot BD = AB (AB-AD) = AB^2(1 - \dfrac{AD}{AB})$$,

т. е. $$a^2 = AB^2(1-\dfrac{R_2}{R_1})$$.

Итак, $$AB = a \sqrt{\dfrac{R_1}{R_1-R_2}}$$. $$\blacktriangle$$

Две окружности радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$ внешне касаются в точке $$A$$ (рис. 16). Их общая внешняя касательная касается большей окружности в точке $$B$$ и меньшей - в точке $$C$$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

$$\triangle$$ Соединим центры $$O_1$$ и $$O_2$$ с точками $$B$$ и $$C$$. По определению касательной, $$O_1B \perp BC$$ и $$O_2C \perp BC$$. Следовательно, $$O_1B \parallel O_2C$$ и $$\angle BO_1O_2 + \angle CO_2O_1 = 180^{\circ}$$. Так как $$\angle ABC = \dfrac{1}{2} \angle BO_1A$$ и $$\angle ACB = \dfrac{1}{2} \angle CO_2A$$, то $$\angle ABC + \angle ACB = 90^{\circ}$$. Отсюда следует, что $$\angle BAC = 90^{\circ}$$ , и поэтому радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника $$ABC$$ , равен половине гипотенузы $$BC$$.

Найдём $$BC$$. Пусть $$O_2K \perp O_1B$$, тогда $$KO_2 = BC,\: O_1K = R_1-R_2,\: O_1O_2 = R_1+R_2$$. По теореме Пифагора находим:

$$KO_2 = \sqrt{O_1O_2^2 - O_1K^2}= 2\sqrt{R_1R_2}, \: \underline{BC = 2\sqrt{R_1R_2} }$$.

Итак, радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$ равен $$\sqrt{R_1R_2}$$. В решении $$R_1 > R_2$$, при $$R_1

ОТВЕТ

$$\sqrt{R_1R_2}$$

Прямая (MN ), имеющая с окружностью только одну общую точку (A ), называется касательной к окружности .

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной , и притом проведенной через любую точку окружности , как точку касания, доказывается следующей теоремой .

Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A . Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO , а из точки O , как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС , соединим точку A с точками D и E , в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE - касательные к окружности O . Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС , равными диаметру круга O .

Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB , а E - середина OС , значит AD и AE - медианы , проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE , то они - касательные .

Следствие.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром .

Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE , имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной ” от данной точки до точки касания.

Прямая относительно окружности может находиться в следующих трех положениях:

  1. Расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса. В этом случае все точки прямой лежат вне круга.

  2. Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. В этом случае прямая имеет точки, лежащие внутри круга и так как прямая бесконечна в обе стороны, то она пересекается сокружностью в 2 точках.

  3. Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Прямая - касательная.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.

Теорема. Если прямая перпендикулярна к радиусу в его конце, лежащем на окружности, то эта прямая - касательная.

Пусть O (рис) - центр некоторого круга и OA какой-нибудь его радиус. Через его конец A проведем MN ^ OA.

Требуется доказать, что прямая MN - касательная, т.е. что эта прямая имеет с окружностью только одну общую точку A.

Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B.

Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.

Но этого быть не может, так как, если OA -перпендикуляр, то OB должна быть наклонной к MN, а наклонная больше перпендикуляра.

Обратная теорема. Если прямая касательна к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.

Пусть MN - касательная к окружности, A - точка касания и O - центр этой окружности.

Требуется доказать, что OA^MN.

Допустим противное, т.е. предположим, что перпендикуляром, опущенным из O на MN, будет не OA , а какая-нибудь другая прямая, например, OB.

Возьмем BС = AB и проведем OС.

Тогда OA и OС будут наклонные, одинаково удаленные от перпендикуляра OB, и следовательно, OС = OA.

Из этого следует, что окружность, учитывая наше предположение, будет иметь с прямой MN две общие точки: A и С, т.е. MN будет не касательная, а секущая, что противоречит условию.

Следствие. Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.

Теорема. Касательная, параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.

Пусть прямая AB (рис.) касается окружности в точке M и параллельна хорде СD.

Требуется доказать, что ÈCM = ÈMD.

Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EM ^ AB, и следовательно, EM ^ СВ.

Поэтому СM=MD.

Задача. Через данную точку провести касательную к данной окружности.

Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.

Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.

Пусть требуется (рис.) провести к окружности с центром O касательную через точку A.

Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС, соединим точку A с точками D и E, в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью.

Прямые AD и AE - касательные к окружности O.

Действительно, из построения видно, что тр-ки AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС) с основаниями OB и OС, равными диаметру круга O.

Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB, а E - середина OС, значит AD и AE - медианы, проведенные к основаниям равнобедренных тр-ков, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE, то они - касательные.

Следствие. Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.

Так AD=AE и ÐOAD = ÐOAE (рис.), потому что прямоугольные тр-ки AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны.

Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.

Задача. Провести касательную к данной окружности O параллельно данной прямой AB (рис.).

Опускаем на AB из центра O перпендикуляр OС и через точку D, в которой этот перпендикуляр пересекается с окружностью, проводим EF || AB.

Искомая касательная будет EF.


Действительно, так как OС ^ AB и EF || AB, то EF ^ OD, а прямая, перпендикулярная к радиусу в его конце, лежащем на окружности - касательная.

Задача. К двум окружностям O и O 1 провести общую касательную (рис.).

Анализ . Предположим, что задача решена.

Пусть AB будет общая касательная, A и B - точки касания.

Очевидно, что если мы найдем одну из этих точек, например, A, то затем легко найдем и другую.

Проведем радиусы OA и O 1 B. Эти радиусы, будучи перпендикулярны к общей касательной, параллельны между собой.

Поэтому, если из O 1 проведем O 1 С || BA, то тр-к OСO 1 будет прямоугольный при вершине С.

Вследствие этого, если опишем из O, как центра, радиусом OС окружность, то она будет касаться прямой O 1 С в точке С.

Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA – СA= OA - O 1 B, т.е. он равен разности радиусов данных окружностей.

Построение. Из центра O описываем окружность радиусом, равным разности данных радиусов.

Из O 1 проводим к этой окружности касательную O 1 С (способом, указанным в предыдущей задаче).

Через точку касания С проводим радиус OС и продолжаем его до встречи с данной окружностью в точке A. Наконец из A проводим AB параллельно СO 1.

Совершенно таким же способом мы можем построить другую общую касательную A 1 B 1 (рис.). Прямые AB и A 1 B 1 называют внешними общими касательными.

Можно еще провести две внутренние касательные следующим образом:

Анализ. Предположим, что задача решена (рис.). Пусть AB - искомая касательная.

Проведем радиусы OA и O 1 B в точки касания A и B. Так как эти радиусы оба перпендикулярны к общей касательной, то они параллельны между собой.

Поэтому, если из O 1 проведем O 1 С || BA и продолжим OA до точки С, то OС будет перпендикуляр к O 1 С.

Вследствие этого окружность, описанная радиусом OС из точки O, как центра, будет касаться прямой O 1 С в точке С.

Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA+AС = OA+O 1 B, т.е. он равен сумме радиусов данных окружностей.

Построение. Из O как центра, описываем окружность радиусом, равным сумме данных радиусов.

Из O 1 проводим к этой окружности касательную O 1 С.

Точку касания С соединяем с O.

Наконец через точку A, в которой OС пересекается с данной окружностью, проводим AB = O 1 С.

Подобным же способом можем построить другую внутреннюю касательную A 1 B 1 .

Общее определение касательной

Пусть к окружности с центром (рис.) проведены через точку A касательная AT и какая-нибудь секущая AM.

Станем вращать эту секущую вокруг точки A так, чтобы другая точка пересечения B все ближе и ближе придвигалась к A.

Тогда перпендикуляр OD, опущенный из центра на секущую, будет все больше и больше приближаться к радиусу OA, и угол AOD может стать меньше всякого малого угла.

Угол MAT, образованный секущей и касательной, равен углу AOD (вследствие перпендикулярности их сторон).

Поэтому при неограниченном приближении точки B к A угол MAT также может стать как угодно мал.

Это выражают иными словами так:

касательная есть предельное положение, к которому стремится секущая, проведенная через точку касания, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается к точке касания.

Это свойство принимают за определение касательной, когда речь идет о какой угодно кривой.

Так, касательной к кривой AB (рис.) называется предельное положение MT, к которому стремится секущая MN, когда точка пересечения P неограниченно приближается к M.

Заметим,что определяемая таким образом касательная может иметь с кривой более одной общей точки (как это видно на рис).