Математическое правило относительно деления на ноль всем людям рассказывали еще в первом классе общеобразовательной школы. «Делить на ноль нельзя», - учили всех нас и запрещали под страхом подзатыльника делить на ноль и вообще обсуждать эту тему. Хотя некоторые учителя младших классов все-таки пробовали объяснить на простейших примерах, почему нельзя делить на ноль, но эти примеры были настолько нелогичны, что проще было просто запомнить это правило и не задавать лишних вопросов. Но все эти примеры были нелогичными по той причине, что логически объяснить это в первом классе нам учителя не могли, так как в первом классе мы и близко не знали, что такое уравнение, а логически это математическое правило объяснить можно только с помощью уравнений.
Все знают, что при делении любого числа на ноль выйдет пустота. Почему именно пустота, мы рассмотрим потом.
Вообще в математике только две процедуры с числами признаются независимыми. Это сложение и умножение. Остальные же процедуры считаются производные от этих двух процедур. Рассмотрим это на примере.
Скажите, сколько будет, например, 11-10? Мы все моментально ответим, что это будет 1. А как мы нашли такой ответ? Кто-то скажет, что это и так понятно, что будет 1, кто-то скажет, что от 11 яблок отнял 10 и посчитал, что получилось одно яблоко. С точки зрения логики все правильно, но вот по законам математики эта задача решается по-другому. Нужно вспомнить, что основными процедурами считаются сложение и умножение, поэтому нужно составить такое уравнение: х+10=11, а только потом х=11-10, х=1. Заметим, что сложение идет на первом месте, а только потом на основе уравнения мы можем отнимать. Казалось бы, зачем столько процедур? Ведь ответ и так очевиден. Но только такими процедурами можно объяснить невозможность деления на ноль.
Например, мы делаем такую математическую задачу: хотим 20 поделить на ноль. Итак, 20:0=х. Чтобы узнать, сколько же будет, нужно вспомнить, что процедура деления вытекает из умножения. Другими словами, деление-это производная процедура от умножения. Поэтому нужно составить уравнение из умножением. Итак, 0*х=20. Вот тут и тупик. Какое бы число мы не множили на ноль, все равно будет 0, но не 20. Вот отсюда и вытекает правило: делить на ноль нельзя. Ноль делить на любое число можно, а вот число на ноль - увы, нельзя.
Отсюда появляется еще один вопрос: а можно ли ноль делить на ноль? Итак, 0:0=х, значит 0*х=0. Это уравнение можно решить. Возьмем, например, х=4, значит 0*4=0. Получается, что если разделить ноль на ноль, получится 4. Но и здесь все не так просто. Если мы возьмем, например, х=12 или х=13, то выйдет тот же ответ (0*12=0). Вообще, какое бы мы число не подставляли, все равно выйдет 0. Поэтому, если 0:0, то получится бесконечность. Вот такая нехитрая математика. К сожалению, процедура деления ноль на ноль тоже бессмысленна.
Вообще, цифра ноль в математике самая интересная. К примеру, все знают, что любое число в нулевой степени дает единицу. Конечно, с таким примером в реальной жизни мы не встречаемся, но вот с делением на ноль жизненные ситуации попадаются очень часто. Поэтому запомним, что делить на ноль нельзя.
Одним из самых первых правил, которое изучается в школе, является запрет деления на нуль. Почему нельзя делить на ноль? Это аксиома, которая появилась в элементарной алгебре. Ее изучают в общеобразовательных школах.
Со школьной скамьи до сих пор осталось предубеждение, что нельзя, хотя почему так - никто толком объяснить не может. Для понимания этого математического действия необходимо сначала разобраться в одном вопросе: что представляет собой бесконечность?
Понятие математической бесконечности
Это одна из категорий человеческого мышления, которая применяется для определения беспредельных, безграничных явлений, процессов и чисел. Математическая бесконечность представляет собой такую величину, которую теоретически и практически невозможно вычислить .
Все довольно прозаично: если число, которое делится на все меньшее и меньшее, то результатом будет являться большее значение. Чем оно меньше, тем больше значение. Чем больше разница между делимым и делителем, тем большим будет частное. Именно такую природу имеет бесконечность в математике.
Таким образом, если делитель стремиться к нолику, то конечное значение частного будет близко к бесконечности. А в случае, когда делитель будет нуль, то конечный результат вычисления будет эта самая "безмерность". Не сверхбольшое значение, не миллиарды миллионов, а бесконечность.
Поскольку до сих пор нет определения этой величины (если вообще она имеется), то физики и математики условно приняли, что делить на нолик нельзя. Не имеет смысла. Это самый простой ответ на наш вопрос. А для тех, кто не разобрался, постараемся рассказать подробнее.
Простейшие операции с числами
Из школьного курса математики все помнят, что существует четыре простейшие операции: умножение, деление, сложение и вычитание. Эти операции являются неравнозначными. У умножения и деления приоритет перед прибавлением и отниманием и так далее. Из математики следует, что основными операциями с числами становятся сложение и вычитание, а все остальные (в том числе и производные, и интегралы, и логарифмы) являются производными.
Для примера рассмотрим вычитание. Чтобы решить пример "10 - 7 = ...", необходимо из десяти единиц вычесть семь, а результат вычисления будет ответом. Поскольку сложение по релевантности стоит выше, то пример должен рассматриваться через правила сложения. Мы имеем такой вид примера: "Х + 7 = 10". Другими словами, к какой цифре необходимо добавить семь, чтобы получить десять?
Аналогично с делением. Выражение "10: 2 = ...." будет производным от выражения "2 Х = 10". Иначе говоря, что необходимо взять два раза, чтобы получить в итоге десять? Ответ очевиден. Теперь мы рассмотрим такой же пример, только с ноликом. Возьмем выражение "10: 0 = ...". Его обратная бинарная операция будет иметь вид "0 Х = 10". Тут мы видим ответ. Что надо умножить на "ничего" (в элементарной алгебре), чтобы в итоге получилось десять? Известно, что если ноль умножить на любую другую величину, то мы будем иметь "ничего". Числа, которое может давать другой конечный результат операции, попросту не существует.
Итогом является невозможность решения.
Почему умножать на нуль можно?
Почему нельзя делать на ноль, а умножать можно? Грубо говоря, именно с этого вопроса начинается вся высшая математика. Узнать ответ можно только тогда, когда появится возможность тщательно изучить формальные математические определения про манипуляции над математическими множествами.
Это не является большой сложностью. В университетах на начальных курсах проходят в первую очередь данную тему. Поэтому те, кто серьезно заинтересовался данным вопросом, могут проштудировать пару учебников по уравнениям с параметрами, линейным функциям и так далее.
Нестандартные приемы запретного деления
И наконец для тех, кто все-таки дочитал до этого места и решил получить окончательный ответ, мы приведем примеры тех случаев, когда можно делить на ноль.
На самом деле, все действия с числами в общей математике возможны. Можно даже доказать, что 1 = 2. Как, спросите вы? Совершенно просто. Путем простейших математических операций на уровне 7 класса:
Х 2 - Х 2 = Х 2 - Х 2
Х (Х - Х) = (Х + Х) (Х - Х)
А теперь рассмотрим основные теории, которые предполагают деление на "ничего".
Нестандартный анализ
Для самых неуемных специально придумали гипердействительные числа в нестандартном анализе. Согласно данной теории, имеются значения, которые не равны нулю, но в то же время являются самыми наименьшими действительными числами по модулю. Сложно? Вы же сами искали ответ.
Теория функций комплексной переменной
Расширенная комплексная плоскость позволяет делить на нуль. Это обусловлено тем, что бесконечность в ней - это не предельно-недостижимая величина, а конкретная точка на пространстве, которую можно увидеть в стереографической проекции.
Таким образом, можно сделать вывод: делить на нуль все-таки можно. Но не в пределах школьной математики. Надеемся, что мы смогли ответить на ваш вопрос. А в будущем вы сможете каждому объяснить эти математические хитросплетения самостоятельно.
Евгений ШИРЯЕВ, преподаватель и руководитель Лаборатории математики Политехнического музея , рассказал "АиФ" о делении на ноль:
1. Юрисдикция вопроса
Согласитесь, особенную провокационность правилу придает запрет. Как это нельзя? Кто запретил? А как же наши гражданские права?
Ни конституция, ни Уголовный кодекс, ни даже устав вашей школы не возражают против интересующего нас интеллектуального действия. А значит, запрет не имеет юридической силы, и ничто не мешает прямо тут, на страницах "АиФ", попробовать что-нибудь разделить на ноль. Например, тысячу.
2. Разделим, как учили
Вспомните, когда вы только узнали, как делить, первые примеры решали с проверкой умножением: результат, умноженный на делитель, должен был совпасть с делимым. Не совпал - не решили.
Пример 1. 1000: 0 =...
Забудем на минуту про запретное правило и сделаем несколько попыток угадать ответ.
Неправильные отсечёт проверка. Перебирайте варианты: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них проверка даст один и тот же результат:
100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0
Ноль умножением все превращает в себя и никогда - в тысячу. Вывод сформулировать несложно: никакое число не пройдет проверку. Т. е. ни одно число не может быть результатом деления ненулевого числа на ноль. Такое деление не запрещено, а просто не имеет результата.
3. Нюанс
Чуть не упустили одну возможность опровергнуть запрет. Да, мы признаем, что ненулевое число не разделится на 0. Но может быть, сам 0 сможет?
Пример 2. 0: 0 = ...
Ваши предложения для частного? 100? Пожалуйста: частное 100, умноженное на делитель 0, равно делимому 0.
Еще варианты! 1? Тоже подходит. И −23, и 17, и все-все-все. В этом примере проверка на результат будет положительной для любого числа. И, по-честному, решением в этом примере надо называть не число, а множество чисел. Всех. А так недолго договориться и до того, что Алиса - это не Алиса, а Мэри-Энн, а обе они - сон кролика.
4. Что там про высшую математику?
Проблема разрешена, нюансы учтены, точки расставлены, все прояснилось - ответом для примера с делением на ноль не может быть ни одно число. Такие задачки решать - дело безнадежное и невозможное. А значит... интересное! Дубль два.
Пример 3. Придумать, как разделить 1000 на 0.
А никак. Зато 1000 можно без трудностей делить на другие числа. Ну, давайте хотя бы делать то, что получается, пусть даже изменив поставленную задачу. А там, глядишь, увлечемся, и ответ сам собой объявится. Забываем на минуту про ноль и делим на сто:
Сотня далека от нуля. Сделаем шаг к нему, уменьшив делитель:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Очевидная динамика: чем ближе делитель к нулю, тем больше частное. Тенденцию можно наблюдать и дальше, переходя к дробям и продолжая уменьшать числитель:
Осталось заметить, что к нулю мы можем подойти как угодно близко, делая частное сколь угодно большим.
В этом процессе нет нуля и нет последнего частного. Мы обозначили движение к ним, заменив число на последовательность, сходящуюся к интересующему нас числу:
При этом подразумевается аналогичная замена и для делимого:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Стрелки не зря поставлены двусторонними: некоторые последовательности могут сходиться к числам. Тогда мы можем поставить в соответствие последовательности ее числовой предел.
Посмотрим на последовательность частных:
Она растет неограниченно, не стремясь ни к какому числу и превосходя любое. Математики добавляют к числам символ ∞, чтобы иметь возможность рядом с такой последовательностью поставить двустороннюю стрелку:
Сопоставление числам последовательностей, имеющих предел, позволяет предложить решение к третьему примеру:
При поэлементном делении последовательности, сходящейся к 1000, на последовательность из положительных чисел, сходящуюся к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.
5. И здесь нюанс с двумя нулями
Что будет результатом деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то тождественная единица. Если к нулю быстрее сходится последовательность-делимое, то в частном - последовательность с нулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем у делимого, последовательность частного будет сильно расти:
Неопределенная ситуация. И так и называется: неопределенность вида 0/0 . Когда математики видят последовательности, подходящие под такую неопределенность, они не бросаются делить два одинаковых числа друг на друга, а разбираются, какая из последовательностей быстрее бежит к нулю и как именно. И в каждом примере будет свой конкретный ответ!
6. В жизни
Закон Ома связывает силу тока, напряжение и сопротивление в цепи. Часто его записывают в такой форме:
Позволим себе пренебречь аккуратным физическим пониманием и формально посмотрим на правую часть как на частное двух чисел. Вообразим, что решаем школьную задачу по электричеству. В условии дано напряжение в вольтах и сопротивление в омах. Вопрос очевиден, решение в одно действие.
А теперь заглянем в определение сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов обладать нулевым электрическим сопротивлением.
Ну что, решим задачку для сверхпроводящей цепи? Просто так подставить R = 0 не выйдет, физика подкидывает интересную задачу, за которой, очевидно, стоит научное открытие. И люди, сумевшие поделить на ноль в этой ситуации, получили Нобелевскую премию. Любые запреты полезно уметь обходить!
Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль – яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.
История нуля
Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.
Математические действия с нулем
Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.
Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).
Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).
Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).
Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.
Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).
Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).
При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.
Парадоксы математики
О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.
Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.
Сложение и умножение
Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность – это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.
Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.
Примеры на деление на 0
Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6:0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.
Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».
Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.
Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление – это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль - как вам это понравится?
Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.
Высшая математика
Деление на ноль - это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:
- бесконечность, разделенная на бесконечность: ?:?;
- бесконечность минус бесконечность: ???;
- единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ? ;
- бесконечность, умноженная на 0: ?*0;
- некоторые другие.
Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.
Раскрытие неопределенности
В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:
Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.
При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.
Метод Лопиталя
В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь – французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.
В настоящее время метод Лопиталя с успехом применяется при решении неопределенностей типа 0:0 или?:?.
Как делить и умножать на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.?
Напишите правила деления и умножения.
Чтобы умножить число на 0.1, нужно просто перенести запятую.
Например было 56 , стало 5,6 .
Чтобы разделить на это же число, нужно перенести запятую в противоположную сторону:
Например было 56 , стало 560 .
С числом 0,01 всё то же самое, но нужно перенести на 2 знака, а не на один.
Вообщем сколько нулей, на столько и переносите.
Например есть число 123456789.
Нужно его умножить на 0.000000001
Нулей в числе 0.000000001 девять (ноль слева от запятой тоже считаем), значит число 123456789 сдвигаем на 9 разрядов:
Было 123456789 стало 0,123456789.
Чтобы не умножить, а разделить на это же число, сдвигаем в другую сторону:
Было 123456789 стало 123456789000000000.
Чтобы сдвинуть так целое число, просто приписываем к нему нолик. А в дробном передвигаем запятую.
Деление числа на 0,1 соответствует умножению этого числа на 10
Деление числа на 0,01 соответствует умножению этого числа на 100
Деление на 0,001 — умножению на 1000.
Чтобы легче было запомнить — читаем число, на которое нужно разделить справа налево, не обращая внимания на запятую, и на полученное число умножаем.
Пример: 50: 0,0001. Это все равно что 50 умножить на (читаем справа налево без запятой — 10000) 10000. Получается 500000.
То же самое с умножением, только наоборот:
400 х 0,01 — то же самое, что разделить 400 на (читаем справа налево без запятой — 100) 100: 400: 100 = 4.
Кому удобнее переносить при умножении и делении на такие числа запятые вправо при делении и влево при умножении, можно делать и так.
www.bolshoyvopros.ru
5.5.6. Деление на десятичную дробь
I. Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.
Приме ры.
Выполнить деление: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.
Решение.
Пример 1) 16,38: 0,7.
В делителе 0,7 после запятой стоит одна цифра, поэтому, перенесем запятые в делимом и делителе на одну цифру вправо.
Тогда нам нужно будет разделить 163,8 на 7 .
Выполним деление по правилу деления десятичной дроби на натуральное число.
Делим так, как делят натуральные числа. Как снесем цифру 8 - первую цифру после запятой (т.е. цифру в разряде десятых), так сразу поставим в частном запятую и продолжим деление.
Ответ: 23,4.
Пример 2) 15,6: 0,15.
Переносим запятые в делимом (15,6 ) и делителе (0,15 ) на две цифры вправо, так как в делителе 0,15 после запятой стоят две цифры.
Помним, что справа к десятичной дроби можно приписать сколько угодно нулей, и от этого десятичная дробь не изменится.
15,6:0,15=1560:15.
Выполняем деление натуральных чисел.
Ответ: 104.
Пример 3) 3,114: 4,5.
Перенесем запятые в делимом и делителе на одну цифру вправо и разделим 31,14 на 45 по правилу деления десятичной дроби на натуральное число.
3,114:4,5=31,14:45.
В частном поставим запятую сразу, как сносим цифру 1 в разряде десятых. Затем продолжаем деление.
Чтобы закончить деление нам пришлось приписать нуль к числу 9 - разности чисел 414 и 405 . (мы знаем, что справа к десятичной дроби можно приписывать нули)
Ответ: 0,692.
Пример 4) 53,84: 0,1.
Переносим запятые в делимом и делителе на 1 цифру вправо.
Получаем: 538,4:1=538,4.
Проанализируем равенство: 53,84:0,1=538,4. Обращаем внимание на запятую в делимом в данном примере и на запятую в полученном частном. Замечаем, что запятая в делимом перенесена на 1 цифру вправо, как если бы мы умножали 53,84 на 10. (Смотрите видео «Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.») Отсюда правило деления десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.
II. Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр. (Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. равносильно умножению этой десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.)
Примеры.
Выполнить деление: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.
Решение.
Пример 1) 617,35: 0,1.
Согласно правилу II деление на 0,1 равносильно умножению на 10 , и запятую в делимом перенесем на 1 цифру вправо :
1) 617,35:0,1=6173,5.
Пример 2) 0,235: 0,01.
Деление на 0,01 равносильно умножению на 100 , значит, запятую в делимом перенесем на 2 цифры вправо :
2) 0,235:0,01=23,5.
Пример 3) 2,7845: 0,001.
Так как деление на 0,001 равносильно умножению на 1000 , то перенесем запятую на 3 цифры вправо :
3) 2,7845:0,001=2784,5.
Пример 4) 26,397: 0,0001.
Разделить десятичную дробь на 0,0001 - это все равно, что умножить ее на 10000 (переносим запятую на 4 цифры вправо ). Получаем:
www.mathematics-repetition.com
Умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,01
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке будет рассмотрено, как выполнять умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,001. Также будут решены различные примеры на данную тему.
Умножение чисел на 10, 100
Упражнение. Как умножить число 25,78 на 10?
Десятичная запись данного числа – это сокращенная запись суммы. Необходимо расписать ее более подробно:
Таким образом, нужно умножить сумму. Для этого можно просто умножить каждое слагаемое:
Выходит, что.
Можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 10 очень просто: нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию.
Упражнение. Умножить 25,486 на 100.
Умножить на 100 – это то же самое, что и умножить два раза на 10. Иными словами, необходимо сдвинуть запятую вправо два раза:
Деление чисел на 10, 100
Упражнение. Разделить 25,78 на 10.
Как и в предыдущем случае, необходимо представить число 25,78 в виде суммы:
Так как нужно поделить сумму, то это эквивалентно делению каждого слагаемого:
Выходит, чтобы разделить на 10, нужно запятую сдвинуть влево на одну позицию. Например:
Упражнение. Разделить 124,478 на 100.
Разделить на 100 – это то же самое, что два раза разделить на 10, поэтому запятая сдвигается влево на 2 позиции:
Правило умножения и деления на 10, 100, 1000
Если десятичную дробь нужно умножить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть вправо на столько позиций, сколько нулей у множителя.
И наоборот, если десятичную дробь нужно поделить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть влево на столько позиций, сколько нулей у множителя.
Примеры, когда необходимо сдвинуть запятую, а цифр уже не осталось
Умножить на 100 значит сдвинуть запятую вправо на две позиции.
После сдвига можно обнаружить, что после запятой уже нет цифр, а это значит, что дробная часть отсутствует. Тогда и запятая не нужна, число получилось целое.
Сдвигать нужно на 4 позиции вправо. Но цифр после запятой всего две. Стоит вспомнить, что для дроби 56,14 есть эквивалентная запись.
Теперь умножить на 10 000 не составляет труда:
Если не очень понятно, почему можно дописать два нуля к дроби в предыдущем примере, то дополнительное видео по ссылке сможет помочь в этом.
Эквивалентные десятичные записи
Запись 52 означает следующее:
Если впереди поставить 0, получим запись 052. Эти записи эквивалентны.
Можно ли поставить два нуля впереди? Да, эти записи эквивалентны.
Теперь посмотрим на десятичную дробь:
Если приписать ноль, то получается:
Эти записи эквивалентны. Аналогично можно приписать несколько нулей.
Таким образом, к любому числу можно приписать несколько нулей после дробной части и несколько нулей перед целой частью. Это будут эквивалентные записи одного и того же числа.
Так как происходит деление на 100, то необходимо сдвинуть запятую на 2 позиции влево. Слева от запятой не осталось цифр. Целая часть отсутствует. Такую запись часто используют программисты. В математике же, если целой части нет, то ставят ноль вместо нее.
Сдвигать нужно влево на три позиции, но позиций всего две. Если перед числом написать несколько нулей, то это будет эквивалентная запись.
То есть при сдвиге влево, если цифры кончились, необходимо восполнить их нулями.
В данном случае стоит помнить, что запятая всегда стоит после целой части. Тогда:
Умножение и деление на 0,1, 0,01, 0,001
Умножение и деление на числа 10, 100, 1000 – очень простая процедура. Точно так же дело обстоит и с числами 0,1, 0,01, 0,001.
Пример . Умножить 25,34 на 0,1.
Выполним запись десятичной дроби 0,1 в виде обыкновенной. Но умножить на – то же самое, что разделить на 10. Поэтому необходимо сдвинуть запятую на 1 позицию влево:
Аналогично умножить на 0,01 – это разделить на 100:
Пример. 5,235 разделить на 0,1.
Решение данного примера строится аналогичным образом: 0,1 выражается в виде обыкновенной дроби, а делить на – это все равно, что умножить на 10:
То есть чтобы поделить на 0,1, нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию, что равносильно умножению на 10.
Правило умножения и деления на 0,1, 0,01, 0,001
Умножить на 10 и разделить на 0,1 – это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию.
Деление на ноль в математике - деление, при котором делитель равен нулю. Такое деление может быть формально записано ⁄ 0 , где - это делимое.
В обычной арифметике (с вещественными числами) данное выражение не имеет смысла, так как:
- при ≠ 0 не существует числа, которое при умножении на 0 даёт, поэтому ни одно число не может быть принято за частное ⁄ 0 ;
- при = 0 деление на ноль также не определено, поскольку любое число при умножении на 0 даёт 0 и может быть принято за частное 0 ⁄ 0 .
Исторически одна из первых ссылок на математическую невозможность присвоения значения ⁄ 0 содержится в критике Джорджа Берклиисчисления бесконечно малых.
Логические ошибки
Поскольку при умножении любого числа на ноль в результате мы всегда получаем ноль, при делении обеих частей выражения × 0 = × 0, верного вне зависимости от значения и, на 0 получаем неверное в случае произвольно заданных переменных выражение = . Поскольку ноль может быть задан не явно, но в виде достаточно сложного математического выражения, к примеру в форме разности двух значений, сводимых друг к другу путём алгебраических преобразований, такое деление может быть достаточно неочевидной ошибкой. Незаметное внесение такого деления в процесс доказательства с целью показать идентичность заведомо разных величин, тем самым доказывая любое абсурдное утверждение, является одной из разновидностей математического софизма .
В информатике
В программировании, в зависимости от языка программирования, типа данных и значения делимого, попытка деления на ноль может приводить к различным последствиям. Принципиально различны последствия деления на ноль в целой и вещественной арифметике:
- Попытка целочисленного деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации исключения (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого стека вызовов. В некоторых языках программирования, например, в Go, целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы.
- В вещественной арифметике последствия могут быть различным в разных языках:
- генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении;
- получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида ⁄ 0 , где ≠ 0 - число с плавающей запятой, результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности - или, а при = 0 в результате получается специальное значению NaN (сокр. от англ. not a number - «не число»). Такой подход принят в стандарте IEEE 754, который поддерживается многими современными языками программирования.
Случайное деление на ноль в компьютерной программе порой становится причиной дорогих или опасных сбоев в работе управляемого программой оборудования. К примеру, 21 сентября 1997 года в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всего электронного оборудования в системе, в результате чего силовая установка корабля прекратила свою работу .
См. также
Примечания
Функция = 1 ⁄ . Когда стремится к нулю справа, стремится к бесконечности; когда стремится к нулю слева, стремится к минус бесконечности
Если на обычном калькуляторе поделить какое-либо число на ноль, то он вам выдаст букву Е или слово Error, то есть «ошибка».
Калькулятор компьютера в аналогичном случае пишет (в Windows XP) : «Деление на нуль запрещено».
Всё согласуется с известным со школы правилом, что на ноль делить нельзя.
Разберёмся, почему.
Деление — это математическая операция, обратная умножению. Деление определяется через умножение.
Поделить число a (делимое, например 8) на число b (делитель, например число 2) — значит найти такое число x (частное), при умножении которого на делитель b получается делимое a (4 · 2 = 8), то есть a разделить на b значит решить уравнение x · b = a.
Уравнение a: b = x равносильно уравнению x · b = a.
Мы заменяем деление умножением: вместо 8: 2 = x пишем x · 2 = 8.
8: 2 = 4 равносильно 4 · 2 = 8
18: 3 = 6 равносильно 6 · 3 = 18
20: 2 = 10 равносильно 10 · 2 = 20
Результат деления всегда можно проверить умножением. Результатом умножения делителя на частное должно быть делимое.
Аналогично попробуем поделить на ноль.
Например, 6: 0 = … Нужно найти такое число, которое при умножении на 0 даст 6. Но мы знаем, что при умножении на ноль всегда получается ноль. Не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы что-то другое кроме нуля.
Когда говорят, что на ноль делить нельзя или запрещено, то имеется в виду, что не существует числа, соответствующего результату такого деления (делить-то на ноль можно, разделить — нельзя:)).
Зачем в школе говорят, что на ноль делить нельзя?
Поэтому в определении операции деления a на b сразу подчёркивается, что b ≠ 0.
Если всё выше написанное вам показалось слишком сложным, то совсем на пальцах: Разделить 8 на 2 означает узнать, сколько нужно взять двоек, чтобы получилось 8 (ответ: 4). Поделить 18 на 3 означает узнать, сколько нужно взять троек, чтобы получить 18 (ответ: 6).
Поделить 6 на ноль означает узнать, сколько нужно взять нулей, чтобы получить 6. Сколько ни бери нулей, всё равно получится ноль, но никогда не получится 6, т. е. деление на ноль не определено.
Интересный результат получается, если попробовать поделить число на ноль на калькуляторе андроида. На экране отобразится ∞ (бесконечность) (или — ∞, если делите отрицательное число). Данный результат является неверным, т. к. не существует числа ∞. По-видимому, программисты спутали совершенно разные операции — деление чисел и нахождение предела числовой последовательности n/x, где x → 0. При делении же нуля на нуль будет написано NaN (Not a Number — Не число).
«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.
Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.
Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 - 3 ? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 - 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5 . То есть 5 - 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5 . В этом уравнении нет никакого вычитания.
Деление на ноль
Есть только задача — найти подходящее число.
Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8 .
Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 — это сокращение от 0 · x = 5 . То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5 . Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0 . Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.
Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.
Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль?
В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0 , и тогда получаем 0 · 0 = 0 . Выходит, 0: 0=0 ? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1 . Получим 0 · 1 = 0 . Правильно? Значит, 0: 0 = 1 ? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 и т. д.
Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0 . А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0 ; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)
Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.
Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.
Функция «деление» не определена для области значений, в которой делитель равен нулю. Делить можно, но результат — не определён
Дельть на ноль нельзя. Математика 2 класса средней школы.
Если мне не изменяет память, то ноль можно представить как бесконечно малую величину, так что бесконечность будет. А школьное «ноль — ничего» — это просто упрощение, их таких в школьной математике ууууууу сколько) . Но без них никак, все в свое время.
Войдите, чтобы написать ответ
Деление на ноль
Частное от деления на ноль какого-либо числа, отличного от нуля, не существует.
Рассуждения здесь следующие: так как в этом случае никакое число не может удовлетворить определению частного.
Напишем, например,
какое бы число ни взять на пробу (скажем, 2, 3, 7), оно не годится потому что:
\[ 2 · 0 = 0 \]
\[ 3 · 0 = 0 \]
\[ 7 · 0 = 0 \]
Что будет если поделить на 0?
д., а нужно получить в произведении 2,3,7.
Можно сказать, что задача о делении на нуль числа, отличного от нуля, не имеет решения. Однако число, отличное от нуля, можно разделить, на число, как угодно близкое к нулю, и чем ближе делитель к нулю, тем больше будет частное. Так, если будем делить 7 на
\[ \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, \frac{1}{10000} \]
то получим частные 70, 700, 7000, 70 000 и т. д., которые неограниченно возрастают.
Поэтому часто говорят, что частное от деления 7 на 0 «бесконечно велико», или «равно бесконечности», и пишут
\[ 7: 0 = \infin \]
Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным 7 (или приближается к 7), то частное неограниченно увеличивается.
