Конспект лекций по
дифференциальным уравнениям
Дифференциальные уравнения
Введение
При изучении некоторых явлений часто возникает ситуация, когда процесс не удаётся описать с помощью уравнения y=f(x) или F(x;y)=0. Помимо переменной х и неизвестной функции, в уравнение входит производная этой функции.
Определение: Уравнение, связывающее переменную х, неизвестную функцию y(x) и её производные называется дифференциальным уравнением . В общем виде дифференциальное уравнение выглядит так:
F(x;y(x);;;...;y (n))=0
Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок входящей в него старшей производной.
–дифференциальное уравнение 1 порядка
–дифференциальное уравнение 3 порядка
Определение: Решением дифференциального уравнения является функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Дифференциальные уравнения 1 порядка
Определение: Уравнение вида =f(x;y) или F(x;y;)=0называется дифференциальным уравнением 1 порядка.
Определение: Общим решением дифференциального уравнения 1 порядка называется функция y=γ(x;c), где (с –const), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Геометрически на плоскости общим решением соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от параметра с.
Определение: Интегральная кривая, проходящая через точку плоскости с координатами (х 0 ;y 0) соответствует частному решению дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию:
Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка
Дано дифференциальное
уравнение 1 порядка
и
функцияf(x;y)
непрерывна вместе с частными производными
в некоторой области D
плоскости XOY,
тогда через точку М 0 (х 0 ;y 0)D
проходит единственная кривая
соответствующая частному решению
дифференциального уравнения
соответствующему начальному условию
y(x 0)=y 0
Через точку плоскости с данными координатами проходит 1 интегральная кривая.
Если не удаётся
получить общее решение дифференциального
уравнения 1 порядка в явном виде, т.е
,
то его можно получить в неявном виде:
F(x; y; c) =0 – неявный вид
Общее решение в таком виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
По отношению к дифференциальному уравнению 1 порядка ставится 2 задачи:
1)Найти общее решение (общий интеграл)
2)Найти частное решение (частный интеграл) удовлетворяющее заданному начальному условию. Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения вида:
называется дифференциальным уравнением
с разделяющимися переменными.
Подставим
умножим на dx
разделим переменные
разделим на
Замечание:
обязательно нужно рассматривать частный
случай, когда
переменные разделены
проинтегрируем обе части уравнения
- общее решение
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде:
Отдельный случай
!
Проинтегрируем обе части уравнения:
1)
2)
нач. условия:
Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка
Определение:
Функция
называется однородной порядкаn,
если
Пример: - однородная функция порядкаn=2
Определение: Однородная функция порядка 0 называется однородной .
Определение:
Дифференциальное
уравнение
называется однородным, если
-
однородная функция, т.е
Таким образом однородное дифференциальное уравнение может быть записано в виде:
С помощью замены , гдеt – функция переменной х, однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
- подставим в уравнение
Переменные разделены, проинтегрируем обе части уравнения
Сделаем обратную замену, подставив вместо , получим общее решение в неявном виде.
Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в дифференциальной форме.
M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, где M(x;y) и N(x;y) – однородные функции одинакового порядка.
Разделим на dx и выразим
1)
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.
Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными . Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные".
Примеры дифференциальных уравнений:
(1) ;
(3) ;
(4) ;
Уравнение (1) - четвёртого порядка, уравнение (2) - третьего порядка, уравнения (3) и (4) - второго порядка, уравнение (5) - первого порядка.
Дифференциальное уравнение n -го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n -го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.
Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) - производной второго порядка и функции; в уравнении (4) - независимой переменной; в уравнении (5) - функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием .
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления , есть первообразная для , т. е.
Это и есть решение данного дифференциального уравнения . Меняя в нём C , будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.
Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.
,
.
В результате мы получили общее решение -
данного дифференциального уравнения третьего порядка.
Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим
.
Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши . В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C , а затем частное решение уравнения при найденном значении C . Это и есть решение задачи Коши.
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .
Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем
Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:
При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных , в том числе сложных функций . Это видно на следующем примере.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.
.
Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой) . Пусть , тогда .
Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция ("яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем):
Находим интеграл:
Возвращаясь к переменной x , получаем:
.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.
Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x . Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.
Содержание статьи
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость – производная от расстояния; аналогично, ускорение – производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем.) Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).
Примеры.
Следующие примеры позволяют лучше понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.
1) Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t , то этот закон можно записать так:
где dx /dt – скорость распада, а k – некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество. (Знак «минус» в правой части указывает на то, что x убывает со временем; знак «плюс», подразумеваемый всегда, когда знак явно не указан, означал бы, что x возрастает со временем.)
2) Емкость первоначально содержит 10 кг соли, растворенной в 100 м 3 воды. Если чистая вода вливается в емкость со скоростью 1 м 3 в минуту и равномерно перемешивается с раствором, а образовавшийся раствор вытекает из емкости с такой же скоростью, то сколько соли окажется в емкости в любой последующий момент времени? Если x – количество соли (в кг) в емкости в момент времени t , то в любой момент времени t в 1 м 3 раствора в емкости содержится x /100 кг соли; поэтому количество соли убывает со скоростью x /100 кг/мин, или
3) Пусть на тело массы m , подвешенное к концу пружины, действует возвращающая сила, пропорциональная величине растяжения пружины. Пусть x – величина отклонения тела от положения равновесия. Тогда по второму закону Ньютона, который утверждает, что ускорение (вторая производная от x по времени, обозначаемая d 2 x /dt 2) пропорционально силе:
Правая часть стоит со знаком минус потому, что возвращающая сила уменьшает растяжение пружины.
4) Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90° С находится в помещении, температура в котором равна 20° С, то
где T – температура кофе в момент времени t .
5) Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии. Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску. Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску, и наоборот, получаем:
где члены -ax и -by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные. (Эту задачу впервые таким образом сформулировал в 1939 Л.Ричардсон.)
После того, как задача записана на языке дифференциальных уравнений, следует попытаться их решить, т.е. найти величины, скорости изменения которых входят в уравнения. Иногда решения находятся в виде явных формул, но чаще их удается представить лишь в приближенном виде или же получить о них качественную информацию. Часто бывает трудно установить, существует ли решение вообще, не говоря уже о том, чтобы найти его. Важный раздел теории дифференциальных уравнений составляют так называемые «теоремы существования», в которых доказывается наличие решения у того или иного типа дифференциальных уравнений.
Первоначальная математическая формулировка физической задачи обычно содержит упрощающие предположения; критерием их разумности может служить степень согласованности математического решения с имеющимися наблюдениями.
Решения дифференциальных уравнений.
Дифференциальному уравнению, например dy /dx = x /y , удовлетворяет не число, а функция, в данном конкретном случае такая, что ее график в любой точке, например в точке с координатами (2,3), имеет касательную с угловым коэффициентом, равным отношению координат (в нашем примере 2/3). В этом нетрудно убедиться, если построить большое число точек и от каждой отложить короткий отрезок с соответствующим наклоном. Решением будет функция, график которой касается каждой своей точкой соответствующего отрезка. Если точек и отрезков достаточно много, то мы можем приближенно наметить ход кривых-решений (три такие кривые показаны на рис. 1). Существует ровно одна кривая-решение, проходящая через каждую точку с y № 0. Каждое отдельное решение называется частным решением дифференциального уравнения; если удается найти формулу, содержащую все частные решения (за исключением, быть может, нескольких особых), то говорят, что получено общее решение. Частное решение представляет собой одну функцию, в то время как общее – целое их семейство. Решить дифференциальное уравнение – это значит найти либо его частное, либо общее решение. В рассматриваемом нами примере общее решение имеет вид y 2 – x 2 = c , где c – любое число; частное решение, проходящее через точку (1,1), имеет вид y = x и получается при c = 0; частное решение, проходящее через точку (2,1), имеет вид y 2 – x 2 = 3. Условие, требующее, чтобы кривая-решение проходила, например, через точку (2,1), называется начальным условием (так как задает начальную точку на кривой-решении).
Можно показать, что в примере (1) общее решение имеет вид x = ce –kt , где c – постоянная, которую можно определить, например, указав количество вещества при t = 0. Уравнение из примера (2) – частный случай уравнения из примера (1), соответствующий k = 1/100. Начальное условие x = 10 при t = 0 дает частное решение x = 10e –t /100 . Уравнение из примера (4) имеет общее решение T = 70 + ce –kt и частное решение 70 + 130 –kt ; чтобы определить значение k , необходимы дополнительные данные.
Дифференциальное уравнение dy /dx = x /y называется уравнением первого порядка, так как содержит первую производную (порядком дифференциального уравнения принято считать порядок входящей в него самой старшей производной). У большинства (хотя и не у всех) возникающих на практике дифференциальных уравнений первого рода через каждую точку проходит только одна кривая-решение.
Существует несколько важных типов дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решения в виде формул, содержащих только элементарные функции – степени, экспоненты, логарифмы, синусы и косинусы и т.д. К числу таких уравнений относятся следующие.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнения вида dy /dx = f (x )/g (y ) можно решить, записав его в дифференциалах g (y )dy = f (x )dx и проинтегрировав обе части. В худшем случае решение представимо в виде интегралов от известных функций. Например, в случае уравнения dy /dx = x /y имеем f (x ) = x , g (y ) = y . Записав его в виде ydy = xdx и проинтегрировав, получим y 2 = x 2 + c . К уравнениям с разделяющимися переменными относятся уравнения из примеров (1), (2), (4) (их можно решить описанным выше способом).
Уравнения в полных дифференциалах.
Если дифференциальное уравнение имеет вид dy /dx = M (x ,y )/N (x ,y ), где M и N – две заданные функции, то его можно представить как M (x ,y )dx – N (x ,y )dy = 0. Если левая часть является дифференциалом некоторой функции F (x ,y ), то дифференциальное уравнение можно записать в виде dF (x ,y ) = 0, что эквивалентно уравнению F (x ,y ) = const. Таким образом, кривые-решения уравнения – это «линии постоянных уровней» функции, или геометрические места точек, удовлетворяющих уравнениям F (x ,y ) = c . Уравнение ydy = xdx (рис. 1) – с разделяющимися переменными, и оно же – в полных дифференциалах: чтобы убедиться в последнем, запишем его в виде ydy – xdx = 0, т.е. d (y 2 – x 2) = 0. Функция F (x ,y ) в этом случае равна (1/2)(y 2 – x 2); некоторые из ее линий постоянного уровня представлены на рис. 1.
Линейные уравнения.
Линейные уравнения – это уравнения «первой степени» – неизвестная функция и ее производные входят в такие уравнения только в первой степени. Таким образом, линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид dy /dx + p (x ) = q (x ), где p (x ) и q (x ) – функции, зависящие только от x . Его решение всегда можно записать с помощью интегралов от известных функций. Многие другие типы дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью специальных приемов.
Уравнения старших порядков.
Многие дифференциальные уравнения, с которыми сталкиваются физики, это уравнения второго порядка (т.е. уравнения, содержащие вторые производные) Таково, например, уравнение простого гармонического движения из примера (3), md 2 x /dt 2 = –kx . Вообще говоря, можно ожидать, что уравнение второго порядка имеет частные решения, удовлетворяющие двум условиям; например, можно потребовать, чтобы кривая-решение проходила через данную точку в данном направлении. В случаях, когда дифференциальное уравнение содержит некоторый параметр (число, величина которого зависит от обстоятельств), решения требуемого типа существуют только при определенных значениях этого параметра. Например, рассмотрим уравнение md 2 x /dt 2 = –kx и потребуем, чтобы y (0) = y (1) = 0. Функция y є 0 заведомо является решением, но если – целое кратное числа p , т.е. k = m 2 n 2 p 2, где n – целое число, а в действительности только в этом случае, существуют другие решения, а именно: y = sin npx . Значения параметра, при которых уравнение имеет особые решения, называются характеристическими или собственными значениями; они играют важную роль во многих задачах.
Уравнение простого гармонического движения служит примером важного класса уравнений, а именно: линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Более общий пример (также второго порядка) – уравнение
где a и b – заданные постоянные, f (x ) – заданная функция. Такие уравнения можно решать различными способами, например, с помощью интегрального преобразования Лапласа. То же можно сказать и о линейных уравнениях более высоких порядков с постоянными коэффициентами. Не малую роль играют также и линейные уравнения с переменными коэффициентами.
Нелинейные дифференциальные уравнения.
Уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, называются нелинейными. В последние годы они привлекают все большее внимание. Дело в том, что физические уравнения обычно линейны лишь в первом приближении; дальнейшее и более точное исследование, как правило, требует использования нелинейных уравнений. Кроме того, многие задачи нелинейны по своей сути. Так как решения нелинейных уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.
Приближенные решения дифференциальных уравнений могут быть найдены в численном виде, но для этого требуется много времени. С появлением быстродействующих компьютеров это время сильно сократилось, что открыло новые возможности численного решения многих, ранее не поддававшихся такому решению, задач.
Теоремы существования.
Теоремой существования называется теорема, утверждающая, что при определенных условиях данное дифференциальное уравнение имеет решение. Встречаются дифференциальные уравнения, не имеющие решений или имеющие их больше, чем ожидается. Назначение теоремы существования – убедить нас в том, что у данного уравнения действительно есть решение, а чаще всего заверить, что оно имеет ровно одно решение требуемого типа. Например, уже встречавшееся нам уравнение dy /dx = –2y имеет ровно одно решение, проходящее через каждую точку плоскости (x ,y ), а так как одно такое решение мы уже нашли, то тем самым полностью решили это уравнение. С другой стороны, уравнение (dy /dx ) 2 = 1 – y 2 имеет много решений. Среди них прямые y = 1, y = –1 и кривые y = sin(x + c ). Решение может состоять из нескольких отрезков этих прямых и кривых, переходящих друг в друга в точках касания (рис. 2).
Дифференциальные уравнения в частных производных.
Обыкновенное дифференциальное уравнение – это некоторое утверждение о производной неизвестной функции одной переменной. Дифференциальное уравнение в частных производных содержит функцию двух или более переменных и производные от этой функции по крайней мере по двум различных переменным.
В физике примерами таких уравнений являются уравнение Лапласа
X , y ) внутри круга, если значения u заданы в каждой точке ограничивающей окружности. Поскольку проблемы с более чем одной переменной в физике являются скорее правилом, чем исключением, легко представить, сколь обширен предмет теории дифференциальных уравнений в частных производных.
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.1. Основные понятия и определения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x , искомую функцию y и её производные или дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение записывается так:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение
Примеры.
1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y" в уравнение, получим – тождество.
А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.
2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y" - 5y" +6y = 0 . Функция – решение этого уравнения.
Действительно, .
Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.
А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.
Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.
Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.
График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .
Примеры
1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка
xdx + ydy = 0 , если y = 4 при x = 3.
Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим
Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .
- общее решение дифференциального уравнения.
Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .
Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .
Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .
Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y" = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x 0) = y 0 , называется задачей Коши.
Решение уравнения y" = f(x,y) , удовлетворяющее начальному условию, y(x 0) = y 0 , называется решением задачи Коши.
Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y" = f(x,y) при условии y(x 0) = y 0 , означает найти интегральную кривую уравнения y" = f(x,y) которая проходит через заданную точку M 0 (x 0 ,y 0 ).
II. Дифференциальные уравнения первого порядка
2.1. Основные понятия
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y") = 0.
В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.
Уравнение y" = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.
Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .
Решением этого уравнения является функция .
Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим
то есть 3x=3x
Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.
Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0 .
Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.
2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y"=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y) – заданные функции.
Для тех y , для которых , уравнение y"=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y"=f(x)g(y разделим переменные».
Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.
Проинтегрировав обе части уравнения по x , получим G(y) = F(x) + C – общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x) , C произвольная постоянная.
Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Пример 1
Решить уравнение y" = xy
Решение. Производную функции y" заменим на
разделим переменные
проинтегрируем обе части равенства:
Пример 2
2yy" = 1- 3x 2 , если y 0 = 3 при x 0 = 1
Это-уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда
Интегрируя обе части последнего равенства, найдем
Подставив начальные значения x 0 = 1, y 0 = 3 найдем С 9=1-1+C , т.е. С = 9.
Следовательно, искомый частный интеграл будет или
Пример 3
Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом
Решение. Согласно условию
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:
Проинтегрировав обе части уравнения, получим:
Используя начальные условия, x = 2 и y = - 3 найдем C :
Следовательно, искомое уравнение имеет вид
2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y" = f(x)y + g(x)
где f(x) и g(x) - некоторые заданные функции.
Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y" = f(x)y
Если то уравнение y" = f(x)y + g(x) называется неоднородным.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y" = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.
В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y" = ky где k - некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y" = f(x)y + g(x) задается формулой ,
т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.
Для линейного неоднородного уравнения вида y" = kx + b ,
где k и b - некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .
Пример . Решить уравнение y" + 2y +3 = 0
Решение. Представим уравнение в виде y" = -2y - 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .
Следовательно, где С – произвольная постоянная.
2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли
Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y" = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv , где u и v - неизвестные функции от x . Этот метод решения называется методом Бернулли.
Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка
y" = f(x)y + g(x)
1. Ввести подстановку y=uv .
2. Продифференцировать это равенство y" = u"v + uv"
3. Подставить y и y" в данное уравнение: u"v + uv" = f(x)uv + g(x) или u"v + uv" + f(x)uv = g(x) .
4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:
5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию
Это уравнение с разделяющимися переменными:
Разделим переменные и получим:
Откуда . .
6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):
и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:
7. Записать общее решение в виде: , т.е. .
Пример 1
Найти частное решение уравнения y" = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0
Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y" = u"v + uv"
Подставляя y и y" в данное уравнение, получим
Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки
Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)
Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v :
Подставим полученное значение v в уравнение Получим:
Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0 :
III. Дифференциальные уравнения высших порядков
3.1. Основные понятия и определения
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y",y") = 0
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C 1 и C 2 .
Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C 1 и C 2 .
3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y" + py" +qy = 0 , где p и q - постоянные величины.
Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y" + py" +qy = 0 .
2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y" через r 2 , y" через r , y через 1:r 2 + pr +q = 0