Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.
Сумма смежных углов равна 180°
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .
Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Вертикальные углы равны
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).
Теорема 2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.
Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 - смежные, углы 1 и 3 - вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
АН - перпендикуляр к прямой
Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
Чертежный угольник
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).
Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 - углы вертикальные; заключение - эти углы равны.
Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение - словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».
Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?
Решение.
Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.
Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?
Решение.
Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.
Решение.
Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.
Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.
Решение.
Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°.
2)Сколько общих точек могут иметь 2 прямые?
3)Объясните что такое отрезок?
4)Объясните что такое луч.Как обозначаются лучи?
5)Какая фигура называется углом?Объясните что такое вершина и стороны угла?
6)Какой угол называется развернутым?
7)Какие фигуры называют равными?
8)Объясните как сравнить 2 отрезка
9)Какая точка называется серединой отрезка?
10)Объясните как сравнить 2 угла.
11)Какой луч называется биссектрисой угла?
12)Точка С делит отрезок АВ на 2 отрезка.Как найти длину отрезка АВ если известны длины отрезков АС и СВ?
13)Какими инструментами пользуются для измерения расстояний?
14)Что такое градусная мера угла?
15)Луч ОС делит угол АОВ на 2 угла. Как найти градусную меру угла АОВ если известны градусные меры углов АОС и СОВ?
16)Какой угол называется острым?прямым?тупым?
17)Какие углы называют смежными?Чему равна сумма смежных углов?
18)Какие углы называются вертикальными?Каким свойством обладают вертикальные углы?
19)Какие прямы называются перпендикулярными?
20)Объясните почему 2 прямые перпендикулярные к 3-ей не пересекаются?
21)Какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?
2сколько общих точек могут иметь две прямые?
3обьясните что такое отрезок
4обьясните что такое луч.Как обозначаются лучи?
5какая фигура называется углом? обьясните что такое вершина и стороны угла
6какой угол называется развёрнутым
7какие фигуры называются равными
8обьясните как сравнить два отрезка
9какая точка называется серединой отрезка
10обьясните как сравнить два угла
11какой луч называется биссектрисой угла
12точка с делит отрезок аб на два отрезка.Как найти длину отрезка аб если известны длины отрезков ас и сб
13какими инструментами пользуются для измерения расстояний
14что такое градусная мера угла
15луч ос делит угол аоб на два угла.Как найти градусную меру угла аоб,если известны меры углов аос в соб
16какой угол называется острым?,прямым?,тупым?.
17какие углы называются смежными?чему равна сумма смежных углов?
18какие углы называются вертикальными?каким свойством обладают вертикальные углы
19какие прямые называются перпендикулярными
20обьясните почему две прямые перпендикулярные к третьей не пересикаются
21какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?
вертикальными каким свойством обладают вертикальные углы 5)
Помогите плиз, !! плизз=**7. Докажите, что если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.
8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перепендикулярна одной из двух параллелных прямых, то она перепендикулярна и другой.
9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.
10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
11. Что такое внешний угол треугольника?
12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
14. Какой треугольник называется прямоугольным?
15. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?
17. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
19. Что называется расстоянием от точки до прямой?
20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми.
Как найти смежный угол?
Математика - древнейшая точная наука, которую в обязательном порядке изучают в школах, колледжах, институтах и университетах. Однако, базовые знания всегда закладываются еще в школе. Порой, ребенку задают достаточно сложные задания, а родители не в силах помочь, потому что просто забыли некоторые вещи из математики. Например, как найти смежный угол по величине основного угла и т.п. Задача проста, но может вызвать затруднения при решении из-за незнания того, какие углы называются смежными и как их найти.
Рассмотрим подробнее определение и свойства смежных углов, а также как их вычислить по данным в задаче.
Определение и свойства смежных углов
Два луча, исходящие из одной точки образуют фигуру под названием «плоский угол». При этом эта точка именуется вершиной угла, а лучи являются его сторонами. Если продолжить один из лучей дальше начальной точки по прямой, то образуется еще один угол, который и называется смежным. У каждого угла в этом случае есть два смежных угла, так как стороны угла равнозначны. То есть всегда присутствует еще смежный угол в 180 градусов.
К основным свойствам смежных углов относят
- Смежные углы имеют общую вершину и одну сторону;
- Сумма смежных углов равна всегда 180 градусам или числу Пи, если вычисление ведется в радианах;
- Синусы смежных углов всегда равны;
- Косинусы и тангенсы смежных углов равны, но имеют противоположные знаки.
Как найти смежные углы
Обычно даются три вариации задач на нахождение величины смежных углов
- Дана величина основного угла;
- Дано соотношение основного и смежного угла;
- Дана величина вертикального угла.
Каждый вариант задачи имеет свое решение. Рассмотрим их.
Дана величина основного угла
Если в задаче указана величина основного угла, то найти смежный угол очень просто. Для этого достаточно из 180 градусов вычесть величину основного угла, и вы получите величину смежного угла. Данное решение исходит из свойства смежного угла - сумма смежных углов равна всегда 180 градусам.
Если же величина основного угла дана в радианах и в задаче требуется найти смежный угол в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину основного угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.
Дано соотношение основного и смежного угла
В задаче может быть дано соотношение основного и смежного угла вместо градусов и радиан величины основного угла. В этом случае решение будет выглядеть, как уравнение пропорции:
- Обозначаем долю пропорции основного угла, как переменную «Y».
- Долю относящуюся к смежному углу обозначаем, как переменную «Х».
- Количество градусов, которые приходятся на каждую пропорцию, обозначим, например, «a».
- Общая формула будет выглядеть так - a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
- Находим общий множитель уравнения «a» по формуле a=180/(X+Y).
- Затем полученное значение общего множителя «а» умножаем на долю угла, который необходимо определить.
Таким образом мы можем найти величину смежного угла в градусах. Однако, если необходимо найти величину в радианах, то нужно просто перевести градусы в радианы. Для этого умножаем угол в градусах на число Пи и делим все на 180 градусов. Полученное значение будет в радианах.
Дана величина вертикального угла
Если в задаче не дана величина основного угла, но дана величина вертикального угла, то вычислить смежный угол можно по такой же формуле, что и в первом пункте, где дана величина основного угла.
Вертикальный угол - это угол, который исходит из той же точки, что и основной, но при этом он направлен в строго противоположном направлении. Тем самым получается зеркальное отражение. Это значит, что вертикальный угол по величине равен основному. В свою очередь, смежный угол вертикального угла равен смежному углу основного угла. Благодаря этому можно вычислить смежный угол основного угла. Для этого просто вычитаем из 180 градусов величину вертикального и получаем значение смежного угла основного угла в градусах.
Если же величина дана в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину вертикального угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.
Также вы можете прочесть наши полезные статьи и .
Сейтмамбетова Ильвира Алимсеитовна
Тема урока: Смежные углы.
Цели урока:
Образовательные: ввести понятие смежных углов;
Научить учащихся строить смежные углы;
Доказать теорему и следствия из нее;
Рассмотреть разные виды углов.
Развивающие: развитие логического мышления;
Развитие геометрического воображения;
Воспитательные: формирование математической культуры записи решения.
Тип урока: усвоение новых знаний;
Оборудование: модель смежных углов, интерактивная доска
Ход урока
I Организационный момент (приветствие, оглашение темы урока, цели урока учащиеся формулируют самостоятельно)
II Проверка домашнего задания. (разбор выявленных трудностей, выборочная проверка ответов и решений)
III Актуализация опорных знаний и умений
Задание классу
Нарисуйте два дополнительных луча ОА и ОВ (по ходу решения вспомнить определение дополнительных лучей)
Какой угол образуют эти лучи?
Какова его величина?
Нарисуйте луч, проходящий между сторонами развернутого угла
Какой луч считается проходящим между сторон угла? (любой луч, выходящий из вершины угла, отличный от сторон угла)
Сформулируйте аксиому измерения углов (на рисунке изображается луч ОС, цифрами обозначаются углы и делается запись ∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOB
IV Изучение нового материала
Введение понятий ведется таким образом, чтобы учащиеся самостоятельно формулировали определение смежных углов, теорему и пробовали ее доказать.
Введение понятия «смежные углы»
Задание классу (один учащийся работает у доски)
Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая
Нарисуйте два угла, у которых одна сторона
первого из углов является дополнительным лучом стороны второго угла.
Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая, а две другие – дополнительные лучи
Вывод: углы, изображенные на последнем чертеже,
являются смежными.
Формулирование определения смежных углов:
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а
две другие – дополнительные лучи.
Устное первичное закрепление
Найти на чертеже смежные углы, и выписать их
а) б)
Задание классу
Учитель на доске строит угол.
Необходимо построить угол, смежный данному. Сколько решений имеет данная задача. Какой вывод можно сделать из рассмотренной задачи?
Свойство смежных углов
Задание классу:
Задача: Даны два смежных угла ∠ BCD и ∠ ACD , причем ∠ BCD = 35 о
Найдите ∠ ACD .
Вариант рассуждений: ∠ AC В развернутый, следовательно, его градусная мера равна 180 о . Луч CD проходит между сторонами этого угла, поскольку он выходит из его вершины и отличен от его сторон. По аксиоме ∠ ACD + ∠ BCD = ∠ AC В, т.е. ∠ ACD + ∠ BCD =180 о . следовательно, ∠ ACD =180 о - ∠ BCD =180 о -35 о =145 о .
Какое свойство смежных углов можно заметить?
Вывод: Сумма смежных углов равна 180 о .
Доказательство теоремы.
Теорема: Сумма смежных углов равна 180 о .
Дано: ∠1 и ∠2 – смежные углы
Доказать: ∠1 и ∠2= 180 о
Доказательство:
По условию, ∠1 и ∠2 – смежные углы, следовательно, СА и СВ – дополнительные лучи (определение смежных углов). Тогда ∠АСВ-развернутый (определение развернутого угла).
∠АСВ= 180 о (аксиома).
Луч CD проходит между сторонами развернутого угла (по определению). Итак, ∠1 и ∠2=∠АСВ, т.е. ∠1 и ∠2= 180 о
Теорема доказана.
Во время изучения некоторых следствий из теоремы и видов углов удобно использовать простую модель смежных углов. Она изготовлена так: к подвижной стороне, закрепленной в вершине смежных углов, с обеих сторон прикреплены сектора. Во время вращения общей стороной оба сектора передвигаются в пазах, проделанных вдоль двух других сторон. С помощью шкал, нанесенных на сектора, демонстрируются смежные углы различной величины.
Следствия из теоремы:
Если два угла равны, то смежные с ними углы равны
Доказательство
Обозначим градусную меру равных углов через х, тогда величина каждого из смежных углов, будет равна 180 о -х, т.е. эти углы будут равны.
Если угол неразвернутый, то он меньше 180 о
Доказательство
Пусть дан произвольный неразвернутый угол ∠( ab ), следовательно, ∠(ab ) не равен 180 о . Построим луч а 1, дополнительный к лучу а. По определению, углы ( ab ) и ( а 1 b ) будут смежными. По теореме ∠ (ab ) +∠ ( а 1 b )= 180 о или ∠ ( а 1 b ) = 180 о - ∠ ( а b ). Предположим, что угол (ab ) не меньше 180 о . Если, что противоречит аксиоме. Это означает, что. Значит, .
Угол, смежный с прямым, является прямым
Доказательство
Угол, равный, называется прямым. Пусть один из смежных углов прямой, т.е. равен. Поскольку, сумма смежных углов равна, то второй угол равен, следовательно, он прямой.
Виды углов (учащиеся уже знают, обобщить по таблице)
V Закрепление новых знаний и умений
Решение задач
Сумма двух углов равна, докажите, что они не являются смежными.
Один из смежных углов, равен, найдите второй угол.
Один из смежных углов на больше, чем второй. Найдите эти углы.
Пусть градусная мера меньшего из двух углов равна х. Тогда больший угол будет равен (х+), а их сумма (х+(х+40)) или (по теореме).
Составим и решим уравнение
х+(х+40)=;
Ответ: и.
Один из смежных углов в 3 раза больше, чем второй. Найдите эти углы.
Один из смежных углов больше, чем второй на. Найдите эти углы.
Замечание: последние две задачи решить двумя способами: с помощью уравнения и без составления уравнения.
Величины смежных углов относятся как 2:3. Найдите эти углы.
Решение (алгебраическим способом)
Пусть градусная мера смежный углов равна х. Тогда больший угол будет равен 3х, а меньший 2х. Их сумма 2х+3х=5х или (по теореме).
Составим и решим уравнение
5х=;
Значит, меньший из смежных углов, равен, а больший.
Ответ: и.
VI Подведение итогов урока. Рефлексия
Является ли верным утверждение: если сумма двух углов равна 180, то они смежные? (Нет, уместно привести контрпример)
Может ли разность двух смежных углов быть равной прямому углу (Да,)
VII Домашнее задание
они относятся как 7:29 (ответ);
их разность равна? (ответ);
Две прямые пересекаются. Сколько при этом пар смежных углов образовалось? (ответ: 4)
Найти градусные меры смежных углов, если:
Выучить определение смежных углов, уметь доказывать теорему о смежных углах и следствия из нее.
Известную величину основного угла α₁ = α₂ = 180°-α.
Из этого имеются . Если два угла одновременно являются и смежными, и равными, то они прямые. Если один из смежных углов является прямым, то есть составляет 90 градусов, то другой угол тоже прямой. Если один из смежных углов острый, то другой будет тупым. Аналогично, если один из углов тупой, то второй, соответственно, будет острым.
Острый угол – это такой, градусная мера которого меньше 90 градусов, но больше 0. Тупой угол имеет градусную меру больше 90 градусов, но меньше 180.
Другое свойство смежных углов формулируется так: если два угла равны, то углы, смежные с ними, также равны. Это , что если есть два угла, градусная мера для которых совпадает (например, она составляет 50 градусов) и при этом из них имеет смежный угол, то значения этих смежных углов тоже совпадают (в примере их градусная мера будет равна 130 градусам).
Источники:
- Большой Энциклопедический Словарь - Смежные углы
- угол 180 градусов
Слово « » имеет различные толкования. В геометрии угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки – вершины. Когда речь идет о прямых, острых, развернутых углах, то подразумеваются именно геометрические углы.
Как и любые фигуры в геометрии, углы можно сравнивать. Равенство углов определяется с помощью движения. Угол нетрудно разделить на две равные части. Разделить на три части немного сложнее, но все же это можно сделать с помощью линейки и циркуля. Кстати, эта задача казалась довольно трудной. Описать, что один угол больше или меньше другого, геометрически несложно.
В качестве единицы измерения углов принят – 1/180 развернутого угла. Величина угла – это число, показывающее, во раз угол, выбранный за единицу измерения, укладывается в рассматриваемой фигуре.
Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусам. Градусная мера угла считается равной сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом на плоскости, ограниченной его сторонами.
От любого луча в заданную плоскость можно отложить угол с некоторой градусной мерой, не превышающей 180 . Причем такой угол будет только один. Мерой плоского угла, который является частью полуплоскости, считается градусная мера угла с аналогичными сторонами. Мерой плоскости угла, содержащего полуплоскость, является значение 360 – α, где α – градусная мера дополнительного плоского угла.
Градусная мера угла дает возможность перейти от геометрического их описания к числовому. Так, под прямым углом понимается угол, равный 90 градусам, тупой угол – это угол, меньше 180 градусов, но больше 90, острый угол не превышает 90 градусов.
Помимо градусной, существует радианная мера угла. В планиметрии длина как L, радиус – r, а соответствующий центральный угол – α. Причем эти параметры связаны соотношением α = L/r. Эта лежит в основе радианной меры измерения углов. Если L=r, то угол α будет равен одному радиану. Итак, радианная мера угла – это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключенной между сторонами этого угла, к радиусу дуги. Полный оборот в градусном измерении (360 градусов) соответствует 2π в радианном. Один 57,2958 градусам.
Видео по теме
Источники:
- градусная мера углов формула
