В этой статье собран материал, покрывающий тему «решение квадратных неравенств ». Сначала показано, что представляют собой квадратные неравенства с одной переменной, дан их общий вид. А дальше детально разобрано как решать квадратные неравенства. Показаны основные подходы к решению: графический способ, метод интервалов и путем выделение квадрата двучлена в левой части неравенства. Приведены решения характерных примеров.
Навигация по странице.
Что такое квадратное неравенство?
Естественно, прежде чем говорить о решении квадратных неравенств, надо отчетливо понимать, что такое квадратное неравенство. Иными словами, нужно по виду записи уметь отличать квадратные неравенства от неравенств других видов.
Определение.
Квадратное неравенство – это неравенство вида a·x 2 +b·x+c<0 (вместо знака > может быть любой другой знак неравенства ≤, >, ≥), где a , b и c – некоторые числа, причем a≠0 , а x – переменная (переменная может быть обозначена и любой другой буквой).
Сразу дадим еще одно название квадратных неравенств – неравенства второй степени . Это название объясняется тем, что в левой части неравенств a·x 2 +b·x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».
Также иногда можно слышать, что квадратные неравенства называют квадратичными неравенствами. Это не совсем корректно: определение «квадратичные» относится к функциям, заданным уравнениями вида y=a·x 2 +b·x+c . Итак, есть квадратные неравенства и квадратичные функции , но не квадратичные неравенства.
Покажем несколько примеров квадратных неравенств: 5·x 2 −3·x+1>0
, здесь a=5
, b=−3
и c=1
; −2,2·z 2 −0,5·z−11≤0
, коэффициенты этого квадратного неравенства есть a=−2,2
, b=−0,5
и c=−11
; , в этом случае 
.
Обратите внимание, что в определении квадратного неравенства коэффициент a при x 2 считается отличным от нуля. Это и понятно, равенство коэффициента a нулю фактически «уберет» квадрат, и мы будем иметь дело с линейным неравенством вида b·x+c>0 без квадрата переменной. А вот коэффициенты b и c могут быть равными нулю, причем как по отдельности, так и одновременно. Вот примеры таких квадратных неравенств: x 2 −5≥0 , здесь коэффициент b при переменной x равен нулю; −3·x 2 −0,6·x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 и b , и c равны нулю.
Как решать квадратные неравенства?
Теперь можно озадачиться вопросом как решать квадратные неравенства. В основном для решения используются три основных метода:
- графический способ (или, как у А. Г. Мордковича, функционально-графический),
- метод интервалов,
- и решение квадратных неравенств через выделение квадрата двучлена в левой части.
Графическим способом
Сразу оговоримся, что метод решения квадратных неравенств, к рассмотрению которого мы приступаем, в школьных учебниках алгебры не называют графическим. Однако по сути это он и есть. Более того, первое знакомство с графическим способом решения неравенств обычно и начинается тогда, когда встает вопрос, как решать квадратные неравенства.
Графический способ решения квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c<0 (≤, >, ≥) заключается в анализе графика квадратичной функции y=a·x 2 +b·x+c для нахождения промежутков, в которых указанная функция принимает отрицательные, положительные, неположительные или неотрицательные значения. Эти промежутки и составляют решения квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0 , a·x 2 +b·x+c≤0 и a·x 2 +b·x+c≥0 соответственно.
Методом интервалов
Для решения квадратных неравенств с одной переменной помимо графического метода достаточно удобен метод интервалов , который сам по себе очень универсален, и подходит для решения различных неравенств, а не только квадратных. Его теоретическая сторона лежит за пределами курса алгебры 8, 9 классов, когда учатся решать квадратные неравенства. Поэтому здесь мы не будем вдаваться в теоретическое обоснование метода интервалов, а сосредоточимся на том, как с его помощью решаются именно квадратные неравенства.
Суть метода интервалов, по отношению к решению квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c<0 (≤, >, ≥), состоит в определении знаков, которые имеют значения квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c на промежутках, на которые разбивается координатная ось нулями этого трехчлена (при их наличии). Промежутки со знаками минус составляют решения квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , а при решении нестрогих неравенств к указанным промежуткам добавляются точки, отвечающие нулям трехчлена.
Познакомиться со всеми деталями этого метода, его алгоритмом, правилами расстановки знаков на промежутках и рассмотреть готовые решения типовых примеров с приведенными иллюстрациями Вы можете, обратившись к материалу статьи решение квадратных неравенств методом интервалов .
Путем выделения квадрата двучлена
Кроме графического метода и метода интервалов существуют и другие подходы, позволяющие решать квадратные неравенства. И мы подошли к одному из них, в основе которого лежит выделение квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства.
Принцип этого способа решения квадратных неравенств состоит в выполнении равносильных преобразований неравенства , позволяющих перейти к решению равносильного неравенства вида (x−p) 2 , ≥), где p
и q
– некоторые числа.
А как осуществляется переход к неравенству (x−p) 2 , ≥) и как его решить разъясняет материал статьи решение квадратных неравенств путем выделения квадрата двучлена . Там же представлены примеры решения квадратных неравенств этим способом и даны необходимые графические иллюстрации.
Неравенства, сводящиеся к квадратным
На практике очень часто приходится сталкиваться с неравенствами, приводящимися с помощью равносильных преобразований к квадратным неравенствам вида a·x 2 +b·x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.
Начнем с примеров самых простых неравенств, которые сводятся к квадратным. Иногда, чтобы перейти к квадратному неравенству, достаточно переставить в данном неравенстве слагаемые или перенести их из одной части в другую. Например, если перенести все слагаемые из правой части неравенства 5≤2·x−3·x 2 в левую, то получим квадратное неравенство в оговоренном выше виде 3·x 2 −2·x+5≤0 . Еще пример: переставив в левой части неравенства 5+0,6·x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .
В школе на уроках алгебры, когда учатся решать квадратные неравенства, одновременно разбираются и с решением рациональных неравенств , сводящихся к квадратным. Их решение предполагает перенос всех слагаемых в левую часть с последующим преобразованием образовавшегося там выражения к виду a·x 2 +b·x+c путем выполнения . Рассмотрим пример.
Пример.
Найдите множество решений неравенства 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5
.иррациональное неравенство
равносильно квадратному неравенству x 2 −6·x−9<0
, а логарифмическое неравенство
– неравенству x 2 +x−2≥0
.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
Квадратными неравенствами называют , которые можно привести к виду \(ax^2+bx+c\) \(⋁\) \(0\), где \(a\),\(b\) и \(с\) - любые числа (причем \(a≠0\)), \(x\) – неизвестная , а \(⋁\) – любой из знаков сравнения (\(>\),\(<\),\(≤\),\(≥\)).
Проще говоря, такие неравенства выглядят как , но со вместо знака равно.
Примеры:
\(x^2+2x-3>0\)
\(3x^2-x≥0\)
\((2x+5)(x-1)≤5\)
Как решать квадратные неравенства?
Квадратные неравенства обычно решают . Ниже приведен алгоритм, как решать квадратные неравенства с дискриминантом больше нуля. Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.
Пример.
Решите квадратное неравенство \(≥\) \(\frac{8}{15}\)
Решение:
|
\(\frac{x^2}{5}+\frac{2x}{3}\) \(≥\) \(\frac{8}{15}\) |
||
|
\(D=100+4⋅3⋅8=196=14^2\) |
Когда корни найдены, запишем неравенство в виде. |
|
|
\(3(x+4)(x-\frac{2}{3})≥0\) |
Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах. |
|
 |
Выпишем в ответ интересующие нас интервалы. Так как знак неравенства \(≥\), то нам нужны интервалы со знаком \(+\), при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные). |
Ответ : \(x∈(-∞;-4]∪[ \frac{2}{3};∞)\)
Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом
Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть имеет \(2\) корня. Что делать в остальных случаях? Например, таких:
|
\(1) x^2+2x+9>0\) |
\(2) x^2+6x+9≤0\) |
\(3)-x^2-4x-4>0\) |
\(4) -x^2-64<0\) |
|
\(D=4-36=-32<0\) |
\(D=-4 \cdot 64<0\) |
Если \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
То есть, выражение:
\(x^2+2x+9\) – положительно при любых \(x\), т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - отрицательно при любых \(x\), т.к. \(a=-1<0\)
Если \(D=0\), то квадратный трехчлен при одном значении \(x\) равен нулю, а при всех остальных имеет постоянный знак, который совпадает со знаком коэффициента \(a\).
То есть, выражение:
\(x^2+6x+9\) - равно нулю при \(x=-3\) и положительно при всех остальных иксах, т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - равно нулю при \(x=-2\) и отрицательно при всех остальных, т.к. \(a=-1<0\).
Как найти икс, при котором квадратный трехчлен равен нулю? Нужно решить соответствующее квадратное уравнение.
С учетом этой информации давайте решим квадратные неравенства:
|
1) \(x^2+2x+9>0\) |
Неравенство, можно сказать, задает нам вопрос: «при каких \(x\) выражение слева больше нуля?». Выше мы уже выяснили, что при любых. В ответе можно так и написать: «при любых \(x\)», но лучше туже самую мысль, выразить на языке математики. |
|
|
Ответ: \(x∈(-∞;∞)\) |
||
|
2) \(x^2+6x+9≤0\) |
Вопрос от неравенства: «при каких \(x\) выражение слева меньше или равно нулю?» Меньше нуля оно быть не может, а вот равно нулю – вполне. И чтобы выяснить при каком иске это произойдет, решим соответствующие квадратное уравнение. |
|
|
Давайте соберем наше выражение по \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). |
||
|
Сейчас нам мешает только квадрат. Давайте вместе подумаем - какое число в квадрате равно нулю? Ноль! Значит, квадрат выражения равен нулю только если само выражение равно нулю. |
||
|
\(x+3=0\) |
Это число и будет ответом. |
|
|
Ответ: \(-3\) |
||
|
3)\(-x^2-4x-4>0\) |
Когда выражение слева больше нуля? Как выше уже было сказано выражение слева либо отрицательно, либо равно нулю, положительным оно быть не может. Значит ответ – никогда. Запишем «никогда» на языке математике, с помощью символа «пустое множество» - \(∅\). |
|
|
Ответ: \(x∈∅\) |
||
|
4) \(-x^2-64<0\) |
Когда выражение слева меньше нуля? Всегда. Значит неравенство выполняется при любых \(x\). |
|
|
Ответ: \(x∈(-∞;∞)\) |
Определение квадратного неравенства
Замечание 1
Квадратным неравенство называется т.к. переменная возведена в квадрат. Также квадратные неравенства называют неравенствами второй степени .
Пример 1
Пример .
$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – квадратные неравенства.
Как видно из примера, не все элементы неравенства вида $ax^2+bx+c > 0$ присутствуют.
Например, в неравенстве $\frac{5}{11} y^2+\sqrt{11} y>0$ нет свободного члена (слагаемое $с$), а в неравенстве $11z^2+8 \le 0$ нет слагаемого с коэффициентом $b$. Такие неравенства также являются квадратными, но их еще называют неполными квадратными неравенствами . Это лишь означает, что коэффициенты $b$ или $с$ равны нулю.
Методы решения квадратных неравенств
При решении квадратных неравенств используют такие основные методы:
- графический;
- метод интервалов;
- выделения квадрата двучлена.
Графический способ
Замечание 2
Графический способ решения квадратных неравенств $ax^2+bx+c > 0$ (или со знаком $
Данные промежутки и являются решением квадратного неравенства .
Метод интервалов
Замечание 3
Метод интервалов решения квадратных неравенств вида $ax^2+bx+c > 0$ (знак неравенства может быть также $
Решениями квадратного неравенства со знаком $«»$ – положительные промежутки, со знаками $«≤»$ и $«≥»$ – отрицательные и положительные промежутки (соответственно), включая точки, которые отвечают нулям трехчлена.
Выделение квадрата двучлена
Метод решения квадратного неравенства выделением квадрата двучлена заключается в переходе к равносильному неравенству вида $(x-n)^2 > m$ (или со знаком $
Неравенства, которые сводятся к квадратным
Замечание 4
Зачастую при решении неравенств их нужно привести к квадратным неравенствам вида $ax^2+bx+c > 0$ (знак неравенства может быть также $ неравенствами, которые сводятся к квадратным.
Замечание 5
Самым простым способом приведения неравенств к квадратным может быть перестановка в исходном неравенстве слагаемых или перенос их, например, из правой части в левую.
Например, при переносе всех слагаемых неравенства $7x > 6-3x^2$ из правой части в левую получается квадратное неравенство вида $3x^2+7x-6 > 0$.
Если переставить в левой части неравенства $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ слагаемые в порядке убывания степени переменной $у$, то это приведет к равносильному квадратному неравенству вида $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0$.
При решении рациональных неравенств часто используют приведение их к квадратным неравенствам. При этом необходимо перенести все слагаемые в левую часть и преобразовать получившееся выражение к виду квадратного трехчлена.
Пример 2
Пример .
Привести неравенство $7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ к квадратному.
Решение .
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:
$7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.
Используя формулы сокращенного умножения и раскрывая скобки, упростим выражение в левой части неравенства:
$7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;
$x^2-21,5x-19 > 0$.
Ответ : $x^2-21,5x-19 > 0$.
Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.
Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.
Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Например, \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3} \) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 - неверное числовое неравенство.
Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 - неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.
Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.
Числовые неравенства
Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.
Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.
Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.
Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а - b положительна, т.е. а - b > 0. Неравенство а Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a Сравнить числа а и b - значит выяснить, какой из знаков >, = или Теорема. Если a > b и Ь > с, то а > с.
Теорема.
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие.
Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на
противоположный.
Теорема.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.
При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй - более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.
При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:
Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.
Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d - положительные числа, то ac > bd.
Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c Наряду со знаками строгих неравенств > и Точно так же неравенство \(a \geq b \) означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.
Неравенства, содержащие знак \(\geq \) или знак \(\leq \), называют нестрогими. Например, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) - нестрогие неравенства.
Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными считались знаки > и Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными. Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.
Неравенства вида
\(ax > b, \quad ax
в которых а и b - заданные числа, а x - неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным
.
Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все его решения или установить, что их нет.
Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.
Решение неравенств второй степени с одной переменной
Неравенства вида
\(ax^2+bx+c >0 \) и \(ax^2+bx+c
где x - переменная, a, b и c - некоторые числа и \(a \neq 0 \), называют неравенствами второй степени с одной переменной
.
Решение неравенства
\(ax^2+bx+c >0 \) или \(ax^2+bx+c
можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция \(y= ax^2+bx+c \) принимает положительные или отрицательные
значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции \(y= ax^2+bx+c \) в координатной плоскости:
куда направлены ветви параболы - вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.
Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2+bx+c \) и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой
направлены вверх при a > 0 или вниз при a 0 или в нижней при a
3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство \(ax^2+bx+c >0 \))
или ниже оси x (если решают неравенство
\(ax^2+bx+c Решение неравенств методом интервалов
Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)
Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \((5; +\infty) \)
Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.
Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:
Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
где x–переменная, а x 1 , x 2 , ..., x n – не равные друг другу числа. Числа
x 1 , x 2 , ..., x n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения
разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.
Это свойство используется для решения неравенств вида
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n)
где x 1 , x 2 , ..., x n - не равные друг другу числа
Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.
Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.
Решить неравенство:
\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки \(x=0, \; x=\frac{1}{2} , \; x=-4 \)Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:
Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.
Ответ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Универсальным методом решения неравенств по праву считается метод интервалов. Именно его проще всего использовать для решения квадратных неравенств с одной переменной. В этом материале мы рассмотрим все аспекты применения метода интервалов для решения квадратных неравенств. Для облегчения усвоения материала мы рассмотрим большое количество примеров разной степени сложности.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Алгоритм применения метода интервалов
Рассмотрим алгоритм применения метода интервалов в адаптированном варианте, который пригоден для решения квадратных неравенств. Именно с таким вариантом метода интервалов знакомят учеников на уроках алгебры. Не будем усложнять задачу и мы.
Перейдем собственно к алгоритму.
У нас есть квадратный трехчлен a · x 2 + b · x + c из левой части квадратного неравенства. Находим нули из этого трехчлена.
В системе координат изображаем координатную прямую. Отмечаем на ней корни. Для удобства можем ввести разные способы обозначения точек для строгих и нестрогих неравенств. Давайте договоримся, что «пустыми» точками мы будем отмечать координаты при решении строгого неравенства, а обычными точками - нестрогого. Отметив точки, мы получаем на координатной оси несколько промежутков.
Если на первом шаге мы нашли нули, то определяем знаки значений трехчлена для каждого из полученных промежутков. Если нули мы не получили, то производим это действие для всей числовой прямой. Отмечаем промежутки знаками « + » или « - ».
Дополнительно мы будем вводить штриховку в тех случаях, когда будем решать неравенства со знаками > или ≥ и < или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».
Отметив знаки значений трехчлена и нанеся штриховку над отрезками, мы получаем геометрический образ некоторого числового множества, которое фактически является решением неравенства. Нам остается лишь записать ответ.
Остановимся подробнее на третьем шаге алгоритма, который предполагает определение знака промежутка. Существует несколько подходов определения знаков. Рассмотрим их по порядку, начав с наиболее точного, хотя и не самого быстрого. Этот метод предполагает вычисление значений трехчлена в нескольких точках полученных промежутков.
Пример 1
Для примера возьмем трехчлен x 2 + 4 · x − 5 .
Корни этого трехчлена 1 и - 5 разбивают координатную ось на три промежутка (− ∞ , − 5) , (− 5 , 1) и (1 , + ∞) .
Начнем с промежутка (1 , + ∞) . Для того, чтобы упростить себе задачу, примем х = 2 . Получаем 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7 .
7 – положительное число. Это значит, что значения данного квадратного трехчлена на интервале (1 , + ∞) положительные и его можно обозначить знаком « + ».
Для определения знака промежутка (− 5 , 1) примем x = 0 . Имеем 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Ставим над интервалом знак « - ».
Для промежутка (− ∞ , − 5) возьмем x = − 6 , получаем (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7 . Отмечаем этот интервал знаком « + ».
Намного быстрее определить знаки можно с учетом следующих фактов.
При положительном дискриминанте квадратный трехчлен с двумя корнями дает чередование знаков его значений на промежутках, на которые разбивается числовая ось корнями этого трехчлена. Это значит, что нам вовсе не обязательно определять знаки для каждого из интервалов. Достаточно провести вычисления для одного и проставить знаки для остальных, учитывая принцип чередования.
При желании, можно и вовсе обойтись без вычислений, сделав выводы о знаках по значению старшего коэффициента. Если a > 0 , то мы получаем последовательность знаков + , − , + , а если a < 0 – то − , + , − .
У квадратных трехчленов с одним корнем, когда дискриминант равен нулю, мы получаем два промежутка на координатной оси с одинаковыми знаками. Это значит, что мы определяем знак для одного из промежутков и для второго ставим такой же.
Здесь также применим метод определения знака на основе значения коэффициента a: если a > 0 , то будет + , + , а если a < 0 , то − , − .
Если квадратный трехчлен не имеет корней, то знаки его значений для всей координатной прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a , так и со знаком свободного члена c .
Например, если мы возьмем квадратный трехчлен − 4 · x 2 − 7 , он не имеет корней (его дискриминант отрицательный). Коэффициент при x 2 есть отрицательное число − 4 , и свободный член − 7 тоже отрицателен. Это значит, что на промежутке (− ∞ , + ∞) его значения отрицательны.
Рассмотрим примеры решения квадратных неравенств с использованием рассмотренного выше алгоритма.
Пример 2
Решите неравенство 8 · x 2 − 4 · x − 1 ≥ 0 .
Решение
Используем для решения неравенства метод интервалов. Для этого найдем корни квадратного трехчлена 8 · x 2 − 4 · x − 1 . В связи с тем, что коэффициент при х четный, нам будет удобнее вычислить не дискриминант, а четвертую часть дискриминанта: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .
Дискриминант больше нуля. Это позволяет нам найти два корня квадратного трехчлена: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 и x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Отметим эти значения на числовой прямой. Так как уравнение нестрогое, то на графике мы используем обычные точки.
Теперь по методу интервалов определяем знаки трех полученных интервалов. Коэффициент при x 2 равен 8 , то есть, положителен, следовательно, последовательность знаков будет + , − , + .
Так как мы решаем неравенство со знаком ≥ , то изображаем штриховку над промежутками со знаками плюс:
Запишем аналитически числовое множество по полученному графическому изображению. Мы можем сделать это двумя способами:
Ответ: (- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) или x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .
Пример 3
Выполните решение квадратного неравенства - 1 7 · x 2 + 2 · x - 7 < 0 методом интервалов.
Решение
Для начала найдем корни квадратного трехчлена из левой части неравенства:
D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7
Это строгое неравенство, поэтому на графике используем «пустую» точку. С координатой 7 .
Теперь нам нужно определить знаки на полученных промежутках (− ∞ , 7) и (7 , + ∞) . Так как дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент отрицательный, то мы проставляем знаки − , − :
Так как мы решаем неравенство со знаком < , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
В данном случае решениями являются оба промежутка (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .
Ответ: (− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) или в другой записи x ≠ 7 .
Пример 4
Имеет ли квадратное неравенство x 2 + x + 7 < 0 решения?
Решение
Найдем корни квадратного трехчлена из левой части неравенства. Для этого найдем дискриминант: D = 1 2 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = − 27 . Дискриминант меньше нуля, значит, действительных корней нет.
Графическое изображение будет иметь вид числовой прямой без отмеченных на ней точек.
Определим знак значений квадратного трехчлена. При D < 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :
Штриховку мы могли бы нанести в данном случае над промежутками со знаком « - ». Но таких промежутков у нас нет. Следовательно, чертеж сохраняет вот такой вид:
В результате вычислений мы получили пустое множество. Это значит, что данное квадратное неравенство решений не имеет.
Ответ: Нет.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
