График функции

Тема: “Построение графика квадратной функции, содержащей модуль”.
(На примере графика функции у = х 2 - 6x + 3.)

Цель.

Исследовать расположение графика функции на координатной плоскости в зависимости от модуля.
Развить навыки построения графика функции, содержащей модуль.

Ход урока.

1. Этап актуализации знаний.

а) Проверка домашнего задания.

Пример 1. Построить график функции у = х 2 - 6х + 3. Найти нули функции.

Решение.

2. Координаты вершины параболы: х= - b/2а = - (-6)/2=3, у(3) = 9 – 18 + 3 = - 6, А(3; -6).

4. Нули функции: у(х) = 0, х 2 - 6х + 3 = 0, D = 36 - 4·3 = 36 – 12 = 24, D>0,

x 1,2 = (6 ± )/2 = 3 ± ; В(3 - ;0), С(3 + ;0).

График на рис.1.

Алгоритм построения графика квадратной функции.

1. Определить направление “ветвей” параболы.

2. Вычислить координаты вершины параболы.

3. Записать уравнение оси симметрии.

4. Вычислить несколько точек.

б) Рассмотрим построение графиков линейных функций, содержащих модуль:

1. у = |х|. График функции на рисунке 2.

2.у = |х| + 1. График функции на рисунке 3.

3. у = |х + 1|. График функции рисунке 4.

Вывод.

1. График функции у = |х| + 1 получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {0;1}.

2. График функции у = |х + 1| получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {-1;0}.

2.Опирационно-исполнительная часть.

Этап исследовательской работы. Работа в группах.

Группа 1. Построить графики функций:

а) у = х 2 - 6|x| + 3,

б) у = |х 2 - 6х + 3|.

Решение.

1.Построить график функции у = х 2 -6х+3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Оу.

График на рисунке 5.

б) 1. Построить график функции у = х 2 - 6х + 3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 6.

Вывод.

1. График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Оу.

2. График функции у = |f(x)| получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Ох.

Группа 2.Построить графики функций:

а) у = |x 2 - 6|x| + 3|;

б) y = |x 2 - 6x + 3| - 3.

Решение.

1. График функции у = х 2 + 6x + 3 отображаем относительно оси Оу, получается график функции у = х 2 - 6|x| + 3.

2. Полученный график отображаем симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 7.

Вывод.

График функции y = |f (|x|)| получается из графика функции у = f(х), последовательным отображением относительно осей координат.

1. График функции у = х 2 - 6х + 3 отображаем относительно оси Ох.

2. Полученный график переносим на вектор {0;-3}.

График функции на рисунке 8.

Вывод. График функции у = |f(x)| + a получается из графика функции у = |f(x)| параллельным переносом на вектор {0,a}.

Группа 3.Построить график функции:

а) у = |x|(х - 6) + 3; б) у = х|x - 6| + 3.

Решение.

а) у = |x| (x - 6) + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = -х 2 + 6x + 3 при х < 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.

График функции на рисунке 9.

б) у = х |х - 6| + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = - х 2 + 6х + 3 при х 6.

2. Координаты вершины параболы: х = - b/2a = 3, у(3) =1 2, А(3;12).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Несколько точек: у(2) = 11, у(1) = 3; у(-1) = - 4.

Строим график функции у = х 2 - 6х + 3 при х = 7 у(7) = 10.

График на рис.10.

Вывод. При решении данной группы уравнений необходимо рассматривать нули модулей, содержащихся в каждом из уравнений. Затем строить график функции на каждом из полученных промежутков.

(При построении графиков данных функций каждая группа исследовала влияние модуля на вид графика функции и сделала соответствующие заключения.)

Получили сводную таблицу для графиков функций, содержащих модуль.

Таблица построения графиков функций, содержащих модуль.

Группа 4.

Построить график функции:

а) у = х 2 - 5x + |x - 3|;

б) у = |x 2 - 5x| + x - 3.

Решение.

а) у = х 2 - 5х + |х - 3|, переходим к совокупности систем:

Строим график функции у = х 2 -6х + 3 при х 3,
затем график функции у = х 2 - 4х - 3 при х > 3 по точкам у(4) = -3, у(5) = 2, у(6) = 9.

График функции на рисунке 11.

б) у = |х 2 - 5х| + х - 3, переходим к совокупности систем:

Строим каждый график на соответствующем интервале.

График функции на рисунке 12.

Вывод.

Выяснили влияние модуля в каждом слагаемом на вид графика.

Самостоятельная работа.

Построить график функции:

а) у = |х 2 - 5х + |x - 3||,

б) у= ||x 2 - 5x| + х - 3|.

Решение.

Предыдущие графики отображаем относительно оси Ох.

Группа.5

Построить график функции: у =| х - 2| (|x| - 3) - 3.

Решение.

Рассмотрим нули двух модулей: x = 0, х – 2 = 0. Получим интервалы постоянного знака.

Имеем совокупность систем уравнений:

Строим график на каждом из интервалов.

График на рисунке 15.

Вывод. Два модуля в предложенных уравнениях существенно усложнили построение общего графика, состоящего из трех отдельных графиков.

Учащиеся записывали выступления каждой из групп, записывали выводы, участвовали в самостоятельной работе.

3. Задание на дом.

Построить графики функций с различным расположением модуля:

1. у = х 2 + 4х + 2;

2. у = - х 2 + 6х - 4.

4. Рефлексивно – оценочный этап.

1.Оценки за урок складываются из отметок:

а) за работу в группе;

б) за самостоятельную работу.

2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?

3. Трудное ли домашнее задание?

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат - значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 - 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 - 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 - 2х принимает положительные значения при х < 0 и при х > 2 , отрицательные - при 0 < x < 2; наименьшее значение функция у = х 2 - 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,..., х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) - заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х < 0 (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 - 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 - 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

§6. Построение графиков функций, содержащих знак модуля, на основе квадратичной зависимости.

Прежде, чем начнём рассмотрение методов построения графиков функций, содержащих знак модуля на основе квадратичной зависимости, вспомним алгоритмы построения графиков обычных квадратичных функций.

Напомним, что функция вида у = ах 2 + вх + с, где а,в,с – произвольные числа, причём а ≠ 0, называется квадратичной функцией . Это название объясняется тем, что старший член трёхчлена ах 2 + вх +с содержит х в квадрате.

Снова для построения графика квадратичной функции мы будем использовать метод преобразования прямоугольной системы координат, а не метод преобразования графиков. Потому что, если вы математик, то предпочтёте перейти к вспомогательной системе координат и выполнить построение только одного графика, а не строить три или более графиков.

Выделив полный квадрат из квадратного трёхчлена и записав функцию в виде у = а(х + t ) 2 + m , находим координаты вершины параболы (- t ;т). Эта точка будет являться началом новой вспомогательной системы координат, т.е. точка О 1 (- t ;т) будет вершиной параболы.

Координаты параболы можно найти, не выделяя полного квадрата, а вычислить по формуле абсциссу вершины х = , ординату найдём по формуле у 0 = f (x 0 ), где f (x ) = ах 2 + вх +с.

Алгоритм.

1. Перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) вспомогательные прямые х = - t , у = т, т.е. выбрав в качестве начала новой системы координат точку О 1 (- t ;т).

2. К новой системе координат «привязать» график функции у = f (х), т.е. в системе координат Х 1 О 1 У 1 построить график функции у = ах 2 .

Задание 63.

Построить график функции у = х 2 - 4х +5.

Решение.

Выделим полный квадрат х 2 - 4х +5 = (х 2 -4х +4) +1= (х – 2) 2 +1.

у=(х- 2) 2 + 1 перейдём к вспомогательной системе координат с началом в точке О 1 (2;1), т.е. проведём вспомогательные прямые (оси Х 1 О 1 и О 1 У 1 ) пунктиром. «Привяжем» функцию у = х 2 - 4х +5 к новой системе координат, т.е. в системе координат Х 1 О 1 У 1 построим по точкам параболу у = х 2 (Рис.34).

у у 1

1 о 1 х 1

Задание 64.

Построить график функции у = │4 - х 2 │.

Решение.

Аналитическая запись функции содержит знак «внешнего» модуля, поэтому график будет расположен в верхней координатной полуплоскости. Сначала построим график функции у = 4 - х 2 , т.е. параболу у = - х 2 во вспомогательной системе координат ХО 1 У 1 , где О 1 =(0;4). А затем нижнюю часть графика отразим симметрично оси абсцисс в верхнюю часть координатной плоскости (Рис.35).

о 1 х 1

Задание 65.

Построить график функции у = х 2 -2 │х│ + 4.

Решение.

Аналитическая запись функции содержит знак «внутреннего» модуля, следовательно, заданная функция является чётной, а это означает, что график функции будет симметричен относительно оси абсцисс. Поэтому выполним сначала построение графика функции у = х 2 -2 х + 4 при х 0, т.е. построим только ту часть параболы, которая будет расположена правее оси ординат. А затем, используя свойство чётности функции, отразим построенную часть параболы симметрично оси ординат в левую полуплоскость декартовой системы координат.

Для построения графика функции у = х 2 -2 х + 4 применим алгоритм, рассмотренный выше.

Т.к. у = х 2 -2 х + 4 = (х -1) 2 + 3, то во вспомогательной системе координат Х 1 О 1 У 1 , где О 1 (1;3), строим ту часть параболы у = х 2 , которая соответствует значениям х ≥ 0 основной системы координат (Рис. 36).

у у 1

3 О 1 х 1

О 1 х

Задание 66.

Построить график функции у = │-х 2 +4│х│+5│.

Решение.

Поскольку функция у = f (│х│) является чётной, то её график симметричен относительно оси ОУ . Поэтому достаточно построить только правую часть графика (х ≥ 0), а затем зеркально отобразить её относительно оси ОУ. График функции у = │ f (х)│ получается из графика у = f (х) путём зеркального отражения нижней его части (у относительно оси ОХ.

Итак, приступаем к построению графика у = │ -х 2 +4│х│+5│. Алгоритм его построения следующий.

Находим вершину параболы у = -х 2 +4х+5= -(х 2 -4х+4)+9= -(х-2) 2 +9. Это будет точка О 1 (2;9). Построим пунктирными линиями вспомогательные оси координат О 1 Х 1 и О 1 У 1 , в новой системе Х 1 О 1 У 1 по точкам строим ту часть параболы у = - х 2 , которая соответствует неотрицательным значениям основной системы координат ХОУ.

Затем построенную часть параболы зеркально отражаем относительно оси ОУ в левую часть координатной плоскости. Таким образом, на графике будет построена парабола у = -х 2 +4│х│+5.

Для выполнения задания осталось нижнюю часть графика функции у = -х 2 +4│х│+5 отразить симметрично относительно оси абсцисс ОХ в верхнюю полуплоскость основной системы координат (Рис. 37).

у у 1

о 1

9 х 1

Задание 67.

Поострить график функции у = │х 2 -6│х│+8│.

Решение.

Алгоритм построения графика заданной функции совпадает с предыдущим.

Выделяем полный квадрат трёхчлена и определяем координаты вершины параболы: у = х 2 - 6х + 8 = (х 2 - 6х + 9)- 1 = (х-3) 2 - 1. Выполняем построение вспомогательной системы координат Х 1 О 1 У 1 (пунктирными линиями) , где точка О 1 (3;-1) является одновременно и началом новой системы координат, и вершиной параболы. В новой системе координат вычерчиваем часть параболы, соответствующую условию х ≥ 0, далее отражаем зеркально эту кривую в правую полуплоскость относительно оси ординат ОУ. И на последнем этапе нижнюю часть полученного графика отражаем симметрично оси абсцисс ОХ в верхнюю полуплоскость системы координат (Рис.38).

у у 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 х

- х 1 Рис.38

Задание 68.

Используя алгоритм построения графика функции у =││1 – х 2 │- 3│ :

у 1 = 1 – х 2 ; у 2 =│1 - х 2 │; у 3 = │1 – х 2 │- 3; у 4 = ││1 – х 2 │- 3│, самостоятельно выполните задание.

Задание 69 (для самостоятельной работы).

Выполните построение графиков функций: а) у = ││х 2 – 2х│- 3│ (используйте цепочку преобразований у 1 =│х 2 – 2х │; у 2 = │х 2 – 2х│- 3; затем данный график); б) у = │х 2 -3х -4│; в) у = х 2 -3│х│- 4; г) у = │х 2 -3│х│ -4│; д) у =
, х ≠ 0, х ≠ -1; е) у = х(│х + 2│+ │х - 4│; ж) у =
, х ≠ 1.

Задание 70.

Построить графики функций: а) у =х(│х│-4); б) у =(│х│-2)(х + 2).

Решение.

а) Заметим, что функция у = х (│х│-4) нечётная, т.к. у(-х)= - х (│х│-4). Поэтому график функции будет симметричен относительно начала координат. А это значит, что нам достаточно построить график функции у = х (х - 4) при х ≥ 0 и отразить его симметрично относительно точки О(0;0) (Рис.39).

у у 1 у