Как найти нетривиальное и фундаментальное решение системы линейных однородных уравнений. Системы линейных однородных уравнений

Даны матрицы

Найти: 1) aA - bB,

Решение : 1) Находим последовательно, используя правила умножения матрицы на число и сложения матриц..

2. Найдите А*В, если

Решение : Используем правило умножения матриц

Ответ:

3. Для заданной матрицы найдите минор М 31 и вычислите определитель.

Решение : Минор М 31 – это определитель матрицы, которая получается из А

после вычеркивания строки 3 и столбца 1. Находим

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Преобразуем матрицу А, не изменяя её определителя (сделаем нули в строке 1)





-3, -, -4

-10			-15
-20			-25
-4			-5

Теперь вычисляем определитель матрицы А разложением по строке 1

Ответ: М 31 = 0, detA = 0

Pешить методом Гаусса и методом Крамера.

2х 1 + х 2 + x 3 = 2

x 1 + х 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Решение : Проверим

Можно применить метод Крамера

Решение системы: х 1 = D 1 /D = 2, х 2 = D 2 /D = -5, х 3 = D 3 /D = 3

Применим метод Гаусса.

Расширенную матрицу системы приведём к треугольному виду.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ю строку на (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) и добавим к 3-й:



	1 / 2		7 / 2

Умножим 1-ю строку на (k = -2 / 2 = -1 ) и добавим к 2-й:

Теперь исходную систему можно записать как:

x 1 = 1 - (1 / 2 x 2 + 1 / 2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Из 2-ой строки выражаем

Из 1-ой строки выражаем

Решение то же.

Ответ: (2 ; -5 ; 3)

Найти общее решение системы и ФСР

13х 1 – 4х 2 – х 3 - 4х 4 - 6х 5 = 0

11х 1 – 2х 2 + х 3 - 2х 4 - 3х 5 = 0

5х 1 + 4х 2 + 7х 3 + 4х 4 + 6х 5 = 0

7х 1 + 2х 2 + 5х 3 + 2х 4 + 3х 5 = 0

Решение : Применим метод Гаусса. Расширенную матрицу системы приведём к треугольному виду.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3


x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Умножим 1-ю строку на (-11). Умножим 2-ю строку на (13). Добавим 2-ю строку к 1-й:


-2	-2	-3

Умножим 2-ю строку на (-5). Умножим 3-ю строку на (11). Добавим 3-ю строку к 2-й:

Умножим 3-ю строку на (-7). Умножим 4-ю строку на (5). Добавим 4-ю строку к 3-й:

Второе уравнение есть линейная комбинация остальных

Найдем ранг матрицы.

	-18	-24	-18	-27

x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 – зависимые (базисные), а x 3 ,x 4 ,x 5 – свободные.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Методом исключения неизвестных находим общее решение :

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Находим фундаментальную систему решений (ФСР), которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.

Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3.

Достаточно придать свободным неизвестным x 3 ,x 4 ,x 5 значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 1 ,x 2 .

Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.

Но здесь удобнее взять

Находим, используя общее решение:

а) х 3 = 6, х 4 = 0, х 5 = 0 Þ х 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -4 Þ

I решение ФСР: (-2; -4; 6; 0;0)

б) х 3 = 0, х 4 = 6, х 5 = 0 Þ х 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II решение ФСР: (0; -6; 0; 6;0)

в) х 3 = 0, х 4 = 0, х 5 = 6 Þ х 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, х 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ

III решение ФСР: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ ФСР: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Дано: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Найти: a) z 1 – 2z 2 б) z 1 z 2 в) z 1 /z 2

Решение : a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

б) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = {i 2 = -1} = 12 + 26i

Ответ: а) -3i б) 12+26i в) -1.4 – 0.3i

Однородная система линейных уравнений над полем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментальной системой решений системы уравнений (1) называется непустая линейно независимая система ее решений, линейная оболочка которой совпадает с множеством всех решений системы (1).

Отметим, что однородная система линейных уравнений, имеющая только нулевое решение, не имеет фундаментальной системы решений.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Любые две фундаментальные системы решений однородной системы линейных уравнений состоят из одинакового числа решений.

Доказательство. В самом деле, любые две фундаментальные системы решений однородной системы уравнений (1) эквивалентны и линейно независимы. Поэтому в силу предложения 1.12 их ранги равны. Следовательно, число решений, входящих в одну фундаментальную систему, равно числу решений, входящих в любую другую фундаментальную систему решений.

Если основная матрица А однородной системы уравнений (1) нулевая, то любой вектор из является решением системы (1); в этом случае любая совокупность линейно независимых векторов из является фундаментальной системой решений. Если же столбцовый ранг матрицы А равен , то система (1) имеет только одно решение - нулевое; следовательно, в этом случае система уравнений (1) не обладает фундаментальной системой решений.

ТЕОРЕМА 3.12. Если ранг основной матрицы однородной системы линейных уравнений (1) меньше числа переменных , то система (1) обладает фундаментальной системой решений, состоящей из решений.

Доказательство. Если ранг основной матрицы А однородной системы (1) равен нулю или , то выше было показано, что теорема верна. Поэтому ниже предполагается, что Полагая , будем считать, что первые столбцов матрицы А линейно независимы. В этом случае матрица А строчечно эквивалентна приведенной ступенчатой матрице, а система (1) равносильна следующей приведенной ступенчатой системе уравнений:

Легко проверить, что любой системе значений свободных переменных системы (2) соответствует одно и только одно решение системы (2) и, значит, системы (1). В частности, системе нулевых значений соответствует только нулевое решение системы (2) и системы (1).

Будем в системе (2) придавать одному из свободных переменных значение, равное 1, а остальным переменным - нулевые значения. В результате получим решений системы уравнений (2), которые запишем в виде строк следующей матрицы С:

Система строк этой матрицы линейно независима. В самом деле, для любых скаляров из равенства

следует равенство

и, значит, равенства

Докажем, что линейная оболочка системы строк матрицы С совпадает с множеством всех решений системы (1).

Произвольное решение системы (1). Тогда вектор

также является решением системы (1), причем

Система m линейных уравнений c n неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

где а ij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n ) - заданные числа; х i – неизвестные.

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как r (А) = r (). Она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное ) решение (0; 0; …; 0).

Рассмотрим при каких условиях однородные системы имеют ненулевые решения.

Теорема 1. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы r меньше числа неизвестных n , т.е. r < n .

□ 1). Пусть система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение. Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r ≤ n . Пусть r = n . Тогда один из миноров размера n n отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: , , . Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r < n .

2). Пусть r < n . Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределённой. Значит, она имеет бесконечное множество решений, т.е. имеет и ненулевые решения. ■

Рассмотрим однородную систему n линейных уравнений c n неизвестными:

(2)

Теорема 2. Однородная система n линейных уравнений c n неизвестными (2) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю: = 0.

□ Если система (2) имеет ненулевое решение, то = 0. Ибо при система имеет только единственное нулевое решение. Если же = 0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r < n . И, значит, система имеет бесконечное множество решений, т.е. имеет и ненулевые решения. ■

Обозначим решение системы (1) х 1 = k 1 , х 2 = k 2 , …, х n = k n в виде строки .

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1. Если строка - решение системы (1), то и строка - решение системы (1).

2. Если строки и - решения системы (1), то при любых значениях с 1 и с 2 их линейная комбинация - тоже решение системы (1).

Проверить справедливость указанных свойств можно непосредственной подстановкой их в уравнения системы.

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.

Система линейно независимых решений е 1 , е 2 , …, е р называется фундаментальной , если каждое решение системы (1) является линейной комбинацией этих решений е 1 , е 2 , …, е р .

Теорема 3. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (1) меньше числа переменных n , то всякая фундаментальная система решений системы (1) состоит из n – r решений.

Поэтому общее решение системы линейных однородных уравнений (1) имеет вид:

где е 1 , е 2 , …, е р – любая фундаментальная система решений системы (9), с 1 , с 2 , …, с р – произвольные числа, р = n – r .

Теорема 4. Общее решение системы m линейных уравнений c n неизвестными равно сумме общего решения соответствующей ей системы линейных однородных уравнений (1) и произвольного частного решения этой системы (1).

Пример. Решите систему

Решение. Для данной системы m = n = 3. Определитель

по теореме 2 система имеет только тривиальное решение: x = y = z = 0.

Пример. 1) Найдите общее и частные решения системы

2) Найдите фундаментальную систему решений.

Решение. 1) Для данной системы m = n = 3. Определитель

по теореме 2 система имеет ненулевые решения.

Так как в системе только одно независимое уравнение

x + y – 4z = 0,

то из него выразим x =4z - y . Откуда получим бесконечное множество решений: (4z - y , y , z ) – это и есть общее решение системы.

При z = 1, y = -1, получим одно частное решение: (5, -1, 1). Положив z = 3, y = 2, получим второе частное решение: (10, 2, 3) и т.д.

2) В общем решении (4z - y , y , z ) переменные y и z являются свободными, а переменная х – зависимая от них. Для того, чтобы найти фундаментальную систему решений, придадим свободным переменным значения: сначала y = 1, z = 0, затем y = 0, z = 1. Получим частные решения (-1, 1, 0), (4, 0, 1), которые и образуют фундаментальную систему решений.

Иллюстрации :

Рис. 1 Классификация систем линейных уравнений

Рис. 2 Исследование систем линейных уравнений

Презентации:

· Решение СЛАУ_матричный метод

· Решение СЛАУ_метод Крамера

· Решение СЛАУ_метод Гаусса

· Пакеты решения математических задач Mathematica, MathCad : поиск аналитического и числового решения систем линейных уравнений

Контрольные вопросы :

1. Дайте определение линейного уравнения

2. Какой вид имеет система m линейных уравнений с n неизвестными?

3. Что называется решением систем линейных уравнений?

4. Какие системы называются равносильными?

5. Какая система называется несовместной?

6. Какая система называется совместной?

7. Какая система называется определенной?

8. Какая система называется неопределенной

9. Перечислите элементарные преобразования систем линейных уравнений

10. Перечислите элементарные преобразования матриц

11. Сформулируйте теорему о применении элементарных преобразований к системе линейных уравнений

12. Какие системы можно решать матричным методом?

13. Какие системы можно решать методом Крамера?

14. Какие системы можно решать методом Гаусса?

15. Перечислите 3 возможных случая, возникающих при решении систем линейных уравнений методом Гаусса

16. Опишите матричный метод решения систем линейных уравнений

17. Опишите метод Крамера решения систем линейных уравнений

18. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений

19. Какие системы можно решать с применением обратной матрицы?

20. Перечислите 3 возможных случая, возникающих при решении систем линейных уравнений методом Крамера

Литература :

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и магматической статистике. - М.: Высшая школа, 2005. – 400 с.

5. Гмурман. В.Е Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2005.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

7. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

8. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

Похожая информация.

Мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений .
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна , то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Пример 1

Решение : чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ :

Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение , если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Пример 2

Решить однородную систему линейных уравнений

Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание:

Пример 7

Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.

Решение : запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие.

(1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2.

(3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили.

В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее:

– базисные переменные;
– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:

– подставим в 1-е уравнение:

Таким образом, общее решение:

Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.

Подставим тройку значений в общее решение и получим вектор , координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно.

Для тройки значений находим вектор

И, наконец, для тройки получаем третий вектор:

Ответ : , где

Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки и получить ответ в эквивалентном виде:

К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу и зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную , потом через дроби базисную переменную , и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный.

Второй вариант решения :

Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные . Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:

Пример 1 . Найти общее решение и какую-нибудь фундаментальную систему решений для системы

Решение находим с помощью калькулятора . Алгоритм решения такой же, как и для систем линейных неоднородных уравнений.
Оперируя только со строками, находим ранг матрицы, базисный минор; объявляем зависимые и свободные неизвестные и находим общее решение.

Первая и вторая строки пропорциональны, одну из них вычеркнем:

.
Зависимые переменные – x 2 , x 3 , x 5 , свободные – x 1 , x 4 . Из первого уравнения 10x 5 = 0 находим x 5 = 0, тогда

; .
Общее решение имеет вид:

Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=3, следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми. Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 2. Достаточно придать свободным неизвестным x 1 и x 4 значения из строк определителя второго порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 2 , x 3 , x 5 . Простейшим определителем, отличным от нуля, является .
Таким образом, первое решение:

, второе –

.
Эти два решения составляют фундаментальную систему решений. Заметим, что фундаментальная система не единственна (определителей, отличных от нуля, можно составить сколько угодно).

Пример 2 . Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы
Решение.

,
отсюда следует, что ранг матрицы равен 3 и равен числу неизвестных. Значит, система не имеет свободных неизвестных, а поэтому имеет единственное решение – тривиальное.

Задание . Исследовать и решить систему линейных уравнений.
Пример 4

Задание . Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Выпишем основную матрицу системы:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 2-ую строку на (-5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Умножим 2-ую строку на (6). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Найдем ранг матрицы.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 – зависимые (базисные), а x 3 ,x 4 ,x 5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение :
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 через свободные x 3 ,x 4 ,x 5 , то есть нашли общее решение :
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений.
В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.
Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3.
Достаточно придать свободным неизвестным x 3 ,x 4 ,x 5 значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 1 ,x 2 .
Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Задача . Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.