- Расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса. В этом случае все точки прямой лежат вне круга.
- Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. В этом случае прямая имеет точки, лежащие внутри круга и так как прямая бесконечна в обе стороны, то она пересекается сокружностью в 2 точках.
- Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Прямая - касательная.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.
Общая точка называется в этом случае точкой касания.
Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.
Теорема. Если прямая перпендикулярна к радиусу в его конце, лежащем на окружности, то эта прямая - касательная.
Пусть O (рис) - центр некоторого круга и OA какой-нибудь его радиус. Через его конец A проведем MN ^ OA.
Требуется доказать, что прямая MN - касательная, т.е. что эта прямая имеет с окружностью только одну общую точку A.
Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B.
Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.
Но этого быть не может, так как, если OA -перпендикуляр, то OB должна быть наклонной к MN, а наклонная больше перпендикуляра.
Обратная теорема. Если прямая касательна к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.
Пусть MN - касательная к окружности, A - точка касания и O - центр этой окружности.
Требуется доказать, что OA^MN.
Допустим противное, т.е. предположим, что перпендикуляром, опущенным из O на MN, будет не OA , а какая-нибудь другая прямая, например, OB.
Возьмем BС = AB и проведем OС.
Тогда OA и OС будут наклонные, одинаково удаленные от перпендикуляра OB, и следовательно, OС = OA.
Из этого следует, что окружность, учитывая наше предположение, будет иметь с прямой MN две общие точки: A и С, т.е. MN будет не касательная, а секущая, что противоречит условию.
Следствие. Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.
Теорема. Касательная, параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.
Пусть прямая AB (рис.) касается окружности в точке M и параллельна хорде СD.
Требуется доказать, что ÈCM = ÈMD.
Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EM ^ AB, и следовательно, EM ^ СВ.
Поэтому СM=MD.
Задача. Через данную точку провести касательную к данной окружности.
Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.
Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.
Пусть требуется (рис.) провести к окружности с центром O касательную через точку A.
Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.
Проведя затем хорды OB и OС, соединим точку A с точками D и E, в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью.
Прямые AD и AE - касательные к окружности O.
Действительно, из построения видно, что тр-ки AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС) с основаниями OB и OС, равными диаметру круга O.
Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB, а E - середина OС, значит AD и AE - медианы, проведенные к основаниям равнобедренных тр-ков, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE, то они - касательные.
Следствие. Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.
Так AD=AE и ÐOAD = ÐOAE (рис.), потому что прямоугольные тр-ки AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны.
Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.
Задача. Провести касательную к данной окружности O параллельно данной прямой AB (рис.).
Опускаем на AB из центра O перпендикуляр OС и через точку D, в которой этот перпендикуляр пересекается с окружностью, проводим EF || AB.
Искомая касательная будет EF.
Действительно, так как OС ^ AB и EF || AB, то EF ^ OD, а прямая, перпендикулярная к радиусу в его конце, лежащем на окружности - касательная.
Задача. К двум окружностям O и O 1 провести общую касательную (рис.).
Анализ . Предположим, что задача решена.
Пусть AB будет общая касательная, A и B - точки касания.
Очевидно, что если мы найдем одну из этих точек, например, A, то затем легко найдем и другую.
Проведем радиусы OA и O 1 B. Эти радиусы, будучи перпендикулярны к общей касательной, параллельны между собой.
Поэтому, если из O 1 проведем O 1 С || BA, то тр-к OСO 1 будет прямоугольный при вершине С.
Вследствие этого, если опишем из O, как центра, радиусом OС окружность, то она будет касаться прямой O 1 С в точке С.
Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA – СA= OA - O 1 B, т.е. он равен разности радиусов данных окружностей.
Построение. Из центра O описываем окружность радиусом, равным разности данных радиусов.
Из O 1 проводим к этой окружности касательную O 1 С (способом, указанным в предыдущей задаче).
Через точку касания С проводим радиус OС и продолжаем его до встречи с данной окружностью в точке A. Наконец из A проводим AB параллельно СO 1.
Совершенно таким же способом мы можем построить другую общую касательную A 1 B 1 (рис.). Прямые AB и A 1 B 1 называют внешними общими касательными.
Можно еще провести две внутренние касательные следующим образом:
Анализ. Предположим, что задача решена (рис.). Пусть AB - искомая касательная.
Проведем радиусы OA и O 1 B в точки касания A и B. Так как эти радиусы оба перпендикулярны к общей касательной, то они параллельны между собой.
Поэтому, если из O 1 проведем O 1 С || BA и продолжим OA до точки С, то OС будет перпендикуляр к O 1 С.
Вследствие этого окружность, описанная радиусом OС из точки O, как центра, будет касаться прямой O 1 С в точке С.
Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA+AС = OA+O 1 B, т.е. он равен сумме радиусов данных окружностей.
Построение. Из O как центра, описываем окружность радиусом, равным сумме данных радиусов.
Из O 1 проводим к этой окружности касательную O 1 С.
Точку касания С соединяем с O.
Наконец через точку A, в которой OС пересекается с данной окружностью, проводим AB = O 1 С.
Подобным же способом можем построить другую внутреннюю касательную A 1 B 1 .
Общее определение касательной
Пусть к окружности с центром (рис.) проведены через точку A касательная AT и какая-нибудь секущая AM.
Станем вращать эту секущую вокруг точки A так, чтобы другая точка пересечения B все ближе и ближе придвигалась к A.
Тогда перпендикуляр OD, опущенный из центра на секущую, будет все больше и больше приближаться к радиусу OA, и угол AOD может стать меньше всякого малого угла.
Угол MAT, образованный секущей и касательной, равен углу AOD (вследствие перпендикулярности их сторон).
Поэтому при неограниченном приближении точки B к A угол MAT также может стать как угодно мал.
Это выражают иными словами так:
касательная есть предельное положение, к которому стремится секущая, проведенная через точку касания, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается к точке касания.
Это свойство принимают за определение касательной, когда речь идет о какой угодно кривой.
Так, касательной к кривой AB (рис.) называется предельное положение MT, к которому стремится секущая MN, когда точка пересечения P неограниченно приближается к M.
Заметим,что определяемая таким образом касательная может иметь с кривой более одной общей точки (как это видно на рис).
Проведем СО и рассотрим треугольники ОAC и OBC1) В ΔОAC и ΔOBC:ОC - общая,ОA = OB, как радиусы,ОA ⊥ CA, OB ⊥ CB (т.к. AC и CB - касательные). Таким образом, ΔОAC = ΔOBC по 1-му признаку равенства треугольников. Откуда AC = CО.2) Пусть через точку C можно провести три касательных к окружности: CA, CB, CM. Тогда следует, что CA = CB = CM, откуда точки A, B, M лежат на одной окружности с центром C. Получилось, что две окружности имеют три общие очки. Противоречие. Теореме об окружности:окружности не могут пересекаться более чем в двух точках. Таким образом, через данную точку нельзя провести более двух касательных к данной окружности. Поэтому СA и СВ касательные к окружности и они равны.Из точки С проведем отрезок СО. Получим два треугольника:ΔСОА и ΔСОВВ ΔСОА и ΔСОВ:СО - общая, ОА = OВ, как радиусы, ОА ⊥ СА, OВ ⊥ СВ (т.к. СА и СВ - касательные). Таким образом, ΔСОА = ΔСОВ по 1-му признаку равенства треугольников. Откуда СА = СВ.
Похожие задачи:
1. В произвольном треугольнике проведена средняя линия, отсекающая от него меньший треугольник. Найдите отношение площади меньшего треугольника к площади данного треугольника.
2. Вокруг трапеции описана окружность, центр которой находится на ее большем основании. Найдите углы трапеции, если ее меньшее основание в два раза меньше большего основания.
3. Угол между биссектрисой и высотой, проведенной из вершины большего угла треугольника, равен 12*. Найдите углы этого треугольника, если его наибольший угол в четыре раза больше наименьшего угла.
4. О1 и О2 - центры двух касающихся внешним образом окружностей. Прямая О1О2 пересекает первую окружность (с центром в точке О1) в точке А. Найдите диаметр второй окружности, если радиус первой равен 5 см, а касательная, проведенная из точки А ко второй окружности, образует с прямой О1О2 угол в 30*.
Секущие, касательные - все это сотни раз можно было слышать на уроках геометрии. Но выпуск из школы позади, проходят года, и все эти знания забываются. Что следует вспомнить?
Сущность
Термин "касательная к окружности" знаком, наверное, всем. Но вряд ли у всех получится быстро сформулировать его определение. Между тем касательной называют такую прямую, лежащую в одной плоскости с окружностью, которая пересекает ее только в одной точке. Их может существовать огромное множество, но все они обладают одинаковыми свойствами, о которых речь пойдет ниже. Как нетрудно догадаться, точкой касания называют то место, где окружность и прямая пересекаются. В каждом конкретном случае она одна, если же их больше, то это будет уже секущая.
История открытия и изучения
Понятие касательной появилось еще в древности. Построение этих прямых сначала к окружности, а потом к эллипсам, параболам и гиперболам с помощью линейки и циркуля проводилось еще на начальных этапах развития геометрии. Разумеется, история не сохранила имя первооткрывателя, но очевидно, что еще в то время людям были вполне известны свойства касательной к окружности.
В Новое время интерес к этому явлению разгорелся вновь - начался новый виток изучения этого понятия в сочетании с открытием новых кривых. Так, Галилей ввел понятие циклоиды, а Ферма и Декарт построили к ней касательную. Что же касается окружностей, кажется, еще для древних не осталось секретов в этой области.
Свойства
Радиус, проведенный в точку пересечения, будет Это
основное, но не единственное свойство, которое имеет касательная к окружности. Еще одна важная особенность включает в себя уже две прямые. Так, через одну точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные, при этом их отрезки будут равны. Есть и еще одна теорема по этой теме, однако ее редко проходят в рамках стандартного школьного курса, хотя для решения некоторых задач она крайне удобна. Звучит она следующим образом. Из одной точки, расположенной вне окружности, проведены касательная и секущая к ней. Образуются отрезки AB, AC и AD. А - пересечение прямых, B точка касания, C и D - пересечения. В этом случае будет справедливым следующее равенство: длина касательной к окружности, возведенная в квадрат, будет равна произведению отрезков AC и AD.
Из вышесказанного есть важное следствие. Для каждой точки окружности можно построить касательную, но при этом только одну. Доказательство этого достаточно просто: теоретически опустив на нее перпендикуляр из радиуса, выясняем, что образованный треугольник существовать не может. И это значит, что касательная - единственная.
Построение
Среди прочих задач по геометрии есть особая категория, как правило, не
пользующаяся любовью учеников и студентов. Для решения заданий из этой категории нужны лишь циркуль и линейка. Это задачи на построение. Есть они и на построение касательной.
Итак, даны окружность и точка, лежащая вне ее границ. И необходимо провести через них касательную. Как же это сделать? Прежде всего, нужно провести отрезок между центром окружности О и заданной точкой. Затем с помощью циркуля следует разделить его пополам. Чтобы это сделать, необходимо задать радиус - чуть более половины расстояния между центром изначальной окружности и данной точкой. После этого нужно построить две пересекающиеся дуги. Причем радиус у циркуля менять не надо, а центром каждой части окружности будут изначальная точка и О соответственно. Места пересечений дуг нужно соединить, что разделит отрезок пополам. Задать на циркуле радиус, равный этому расстоянию. Далее с центром в точке пересечения построить еще одну окружность. На ней будет лежать как изначальная точка, так и О. При этом будет еще два пересечения с данной в задаче окружностью. Именно они и будут точками касания для изначально заданной точки.
Именно построение касательных к окружности привело к рождению
дифференциального исчисления. Первый труд по этой теме был опубликован известным немецким математиком Лейбницем. Он предусматривал возможность нахождения максимумов, минимумов и касательных вне зависимости от дробных и иррациональных величин. Что ж, теперь оно используется и для многих других вычислений.
Кроме того, касательная к окружности связана с геометрическим смыслом тангенса. Именно от этого и происходит его название. В переводе с латыни tangens - "касательная". Таким образом, это понятие связано не только с геометрией и дифференциальным исчислением, но и с тригонометрией.
Две окружности
Не всегда касательная затрагивет лишь одну фигуру. Если к одной окружности можно провести огромное множество прямых, то почему же нельзя наоборот? Можно. Вот только задача в этом случае серьезно усложняется, ведь касательная к двум окружностям может проходить не через любые точки, а взаимное расположение всех этих фигур может быть очень
разным.
Типы и разновидности
Когда речь идет о двух окружностях и одной или нескольких прямых, то даже если известно, что это касательные, не сразу становится ясно, как все эти фигуры расположены по отношению друг к другу. Исходя из этого, различают несколько разновидностей. Так, окружности могут иметь одну или две общие точки или не иметь их вовсе. В первом случае они будут пересекаться, а во втором - касаться. И вот тут различают две разновидности. Если одна окружность как бы вложена во вторую, то касание называют внутренним, если нет - то внешним. Понять взаимное расположение фигур можно не только, исходя из чертежа, но и располагая информацией о сумме их радиусов и расстоянии между их центрами. Если две эти величины равны, то окружности касаются. Если первая больше - пересекаются, а если меньше - то не имеют общих точек.
Так же и с прямыми. Для любых двух окружностей, не имеющих общих точек, можно
построить четыре касательные. Две из них будут пересекаться между фигурами, они называются внутренними. Пара других - внешние.
Если речь идет об окружностях, которые имеют одну общую точку, то задача серьезно упрощается. Дело в том, что при любом взаимном расположении в этом случае касательная у них будет только одна. И проходить она будет через точку их пересечения. Так что построение трудности не вызовет.
Если же фигуры имеют две точки пересечения, то для них может быть построена прямая, касательная к окружности как одной, так и второй, но только внешняя. Решение этой проблемы аналогично тому, что будет рассмотрено далее.
Решение задач
Как внутренняя, так и внешняя касательная к двум окружностям, в построении не так уж просты, хоть эта проблема и решаема. Дело в том, что для этого используется вспомогательная фигура, так что додуматься до такого способа самостоятельно
довольно проблематично. Итак, даны две окружности с разным радиусом и центрами О1 и О2. Для них нужно построить две пары касательных.
Прежде всего, около центра большей окружности нужно построить вспомогательную. При этом на циркуле должна быть установлена разница между радиусами двух изначальных фигур. Из центра меньшей окружности строятся касательные к вспомогательной. После этого из О1 и О2 проводятся перепендикуляры к этим прямым до пересечения с изначальными фигурами. Как следует из основного свойства касательной, искомые точки на обеих окружностях найдены. Задача решена, по крайнем мере, ее первая часть.
Для того чтобы построить внутренние касательные, придется решить практически
аналогичную задачу. Снова понадобится вспомогательная фигура, однако на этот раз ее радиус будет равен сумме изначальных. К ней строятся касательные из центра одной из данных окружностей. Дальнейший ход решения можно понять из предыдущего примера.
Касательная к окружности или даже двум и больше - не такая уж сложная задача. Конечно, математики давно перестали решать подобные проблемы вручную и доверяют вычисления специальным программам. Но не стоит думать, что теперь необязательно уметь делать это самостоятельно, ведь для правильного формулирования задания для компьютера нужно многое сделать и понять. К сожалению, есть опасения, что после окончательного перехода на тестовую форму контроля знаний задачи на построение будут вызывать у учеников все больше трудностей.
Что же касается нахождения общих касательных для большего количества окружностей, это не всегда возможно, даже если они лежат в одной плоскости. Но в некоторых случаях можно найти такую прямую.
Примеры из жизни
Общая касательная к двум окружностям нередко встречается и на практике, хоть это и не всегда заметно. Конвейеры, блочные системы, передаточные ремни шкивов, натяжение нити в швейной машинке, да даже просто велосипедная цепь - все это примеры из жизни. Так что не стоит думать, что геометрические задачи остаются лишь в теории: в инженерном деле, физике, строительстве и многих других областях они находят практическое применение.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, - радиусом окружности.
Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.
Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.
Основные термины
Касательная
Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Свойства касательной
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Хорда
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Свойства хорд
Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM MB = CM MD.
Свойства окружности
Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная ); иметь с ней две общие точки (секущая ).
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Теорема о касательной и секущей
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA MB .
Теорема о секущих
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.MA MB = MC MD.
Углы в окружности
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Свойства углов, связанных с окружностью
Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.
Длины и площади
Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:
C = 2 R .
Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:
S = R 2 .
Вписанные и описанные окружности
Окружность и
треугольник
центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:
r = ,
где S - площадь треугольника, а - полупериметр;
R = ,
R = ;
здесь a, b, c - стороны треугольника, - угол, лежащий против стороны a , S - площадь треугольника;
центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник - правильный.
Окружность и четырехугольники
около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:
180°;
в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:
a + c = b + d ;
около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция - равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции c серединным перпендикуляром к боковой стороне;
в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
