Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.

  • Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата, а не в виде кривой, которая обозначает непрямые углы.

Обозначьте стороны треугольника. Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты – стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу – как «с» (гипотенуза – самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла).

  • Определите, какую сторону треугольника требуется найти. Теорема Пифагора позволяет найти любую сторону прямоугольного треугольника (если известны две другие стороны). Определите, какую сторону (a, b, c) необходимо найти.

    • Например, дана гипотенуза, равная 5, и дан катет, равный 3. В этом случае необходимо найти второй катет. Мы вернемся к этому примеру позднее.
    • Если две другие стороны неизвестны, необходимо найти длину одной из неизвестных сторон, чтобы иметь возможность применить теорему Пифагора. Для этого используйте основные тригонометрические функции (если вам дано значение одного из непрямых углов).

  • Подставьте в формулу a 2 + b 2 = c 2 данные вам значения (или найденные вами значения). Помните, что a и b – это катеты, а с – это гипотенуза.

    • В нашем примере напишите: 3² + b² = 5².

  • Возведите в квадрат каждую известную сторону. Или же оставьте степени – вы можете возвести числа в квадрат позже.

    • В нашем примере напишите: 9 + b² = 25.

  • Обособьте неизвестную сторону на одной стороне уравнения. Для этого перенесите известные значения на другую сторону уравнения. Если вы находите гипотенузу, то в теореме Пифагора она уже обособлена на одной стороне уравнения (поэтому делать ничего не нужно).

    • В нашем примере перенесите 9 на правую сторону уравнения, чтобы обособить неизвестное b². Вы получите b² = 16.

  • Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения после того, как на одной стороне уравнения присутствует неизвестное (в квадрате), а на другой стороне – свободный член (число).

    • В нашем примере b² = 16. Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения и получите b = 4. Таким образом, второй катет равен 4.

  • Используйте теорему Пифагора в повседневной жизни, так как ее можно применять в большом числе практических ситуаций. Для этого научитесь распознавать прямоугольные треугольники в повседневной жизни – в любой ситуации, в которой два предмета (или линии) пересекаются под прямым углом, а третий предмет (или линия) соединяет (по диагонали) верхушки двух первых предметов (или линий), вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти неизвестную сторону (если две другие стороны известны).

    • Пример: дана лестница, прислоненная к зданию. Нижняя часть лестницы находится в 5 метрах от основания стены. Верхняя часть лестницы находится в 20 метрах от земли (вверх по стене). Какова длина лестницы?
      • «в 5 метрах от основания стены» означает, что а = 5; «находится в 20 метрах от земли» означает, что b = 20 (то есть вам даны два катета прямоугольного треугольника, так как стена здания и поверхность Земли пересекаются под прямым углом). Длина лестницы есть длина гипотенузы, которая неизвестна.
        • a² + b² = c²
        • (5)² + (20)² = c²
        • 25 + 400 = c²
        • 425 = c²
        • с = √425
        • с = 20,6. Таким образом, приблизительная длина лестницы равна 20,6 метров.

    • Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение

    между сторонами прямоугольного треугольника .

    Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

    Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

    Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

    В прямоугольном треугольнике площадь квадрата , построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов ,

    построенных на катетах.

    Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

    В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

    То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c , а длины катетов через a и b :

    Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

    требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

    измерив только длины сторон прямоугольного треугольника .

    Обратная теорема Пифагора.

    Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то

    треугольник прямоугольный.

    Или, иными словами:

    Для всякой тройки положительных чисел a , b и c , такой, что

    существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

    Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.

    Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.

    Доказательства теоремы Пифагора.

    На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

    Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

    можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

    Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

    доказательства методом площадей , аксиоматические и экзотические доказательства (например,

    с помощью дифференциальных уравнений ).

    1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

    Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

    напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

    Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим

    её основание через H .

    Треугольник ACH подобен треугольнику AB C по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .

    Введя обозначения:

    получаем:

    ,

    что соответствует -

    Сложив a 2 и b 2 , получаем:

    или , что и требовалось доказать.

    2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

    Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

    используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

    • Доказательство через равнодополняемость.

    Расположим четыре равных прямоугольных

    треугольника так, как показано на рисунке

    справа.

    Четырёхугольник со сторонами c - квадратом,

    так как сумма двух острых углов 90°, а

    развёрнутый угол — 180°.

    Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

    площади квадрата со стороной (a+b ), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

    Что и требовалось доказать.

    3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

    ​


    Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

    наблюдая изменение стороны a , мы можем

    записать следующее соотношение для бесконечно

    малых приращений сторон с и a (используя подобие

    треугольников):

    Используя метод разделения переменных, находим:

    Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

    Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

    Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

    Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

    пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

    вкладами от приращения разных катетов.

    Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

    (в данном случае катет b ). Тогда для константы интегрирования получим:


    Теорема Пифагора

    Своеобразна судьба иных теорем и задач... Как объяснить, например, столь исключительное внимание со стороны математиков и любителей математики к теореме Пифагора? Почему многие из них не довольствовались уже известными доказательствами, а находили свои, доведя за двадцать пять сравнительно обозримых столетий количество доказательств до нескольких сотен?
    Когда речь идет о теореме Пифагора, необычное начинается уже с ее названия. Считается, что сформулировал ее впервые отнюдь не Пифагор. Сомнительным полагают и то, что он дал ее доказательство. Если Пифагор - реальное лицо (некоторые сомневаются даже в этом!), то жил он, скорее всего, в VI-V в. до н. э. Сам он ничего не писал, называл себя философом, что значило, в его понимании, «стремящийся к мудрости», основал пифагорейский союз, члены которого занимались музыкой, гимнастикой, математикой, физикой и астрономией. По-видимому, был он и великолепным оратором, о чем свидетельствует следующая легенда, относящаяся к пребыванию его в городе Кротоне: «Первое появление Пифагора пред народом в Кротоне началось речью к юношам, в которой он так строго, но вместе с тем и так увлекательно изложил обязанности юношей, что старейшие в городе просили не оставить и их без поучения. В этой второй речи он указывал на законность и на чистоту нравов, как на основы семейства; в следующих двух он обратился к детям и женщинам. Последствием последней речи, в которой он особенно порицал роскошь, было то, что в храм Геры доставлены были тысячи драгоценных платьев, ибо ни одна женщина не решалась более показываться в них на улице...» Тем не менее еще во втором столетии нашей эры, т. е. спустя 700 лет, жили и творили вполне реальные люди, незаурядные ученые, находившиеся явно под влиянием пифагорейского союза и относящиеся с большим уважением к тому, что согласно легенде создал Пифагор.
    Несомненно также, что интерес к теореме вызывается и тем, что она занимает в математике одно из центральных мест, и удовлетворением авторов доказательств, преодолевших трудности, о которых хорошо сказал живший до нашей эры римский поэт Квинт Гораций Флакк: «Трудно хорошо выразить общеизвестные факты».
    Первоначально теорема устанавливала соотношение между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника:
    .
    Алгебраическая формулировка:
    В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
    То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: a 2 +b 2 =c 2 . Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
    Обратная теорема Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что
    a 2 + b 2 = c 2 , существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

    Доказательства

    На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
    Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).

    Через подобные треугольники

    Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.
    Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам.
    Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

    получаем

    Что эквивалентно

    Сложив, получаем

    или

    Доказательства методом площадей

    Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

    Доказательство через равнодополняемость

    1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
    2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол - 180°.
    3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата.



    Что и требовалось доказать.

    Доказательства через равносоставленность

    Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах.

    Доказательство Евклида

    Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны. Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника - BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах. Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, - это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно - AB=AK,AD=AC - равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата - 90°). Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично. Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах.

    Доказательство Леонардо да Винчи

    Главные элементы доказательства - симметрия и движение.

    Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.

      Никак не забываемая теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. Другими словами в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

      Обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

      Гипотенуза - это одна из сторон прямоугольного треугольника. Также в этом треугольнике имеются два катета .

      При этом, гипотенуза - это сторона, которая находится напротив прямого угла. А катеты - это стороны, которые образуют данный угол.

      В соответствие с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы будет равен сумме квадратов катетов .

      То есть, AB = AC + BC.

      Также верно и обратное утверждение - если выполняется это равенство в треугольнике, то этот треугольник является прямоугольным.

      Это свойство помогает решать немало геометрических задач.

      Существует и несколько другая формулировка этой теоремы: площадь квадрата, который построен на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

      Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов...со школы наизусть. Это одно из тех правил, которые запомнились навсегда.)))

      Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

      Это точно, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Безусловно это нам преподавали и что это теорема Пифагора не оставляет сомнения, так приятно среди обычной рутины вспомнить то что учили совсем давно.

      Это зависит от длины этой гИпотенузы. Если она равна одному метру, то е квадрат - один квадратный метр. А если она, к примеру, равна 39,37 дюйма, то е квадрат равен 1550 квадратных дюймов, тут уж ничего не поделаешь.

      Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов - теорема Пифагора (кстати, самый легкий параграф в учебнике геометрии)

      Да, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Вроде так нас учили в школе. Сколько лет прошло, а мы до сих пор помним эту, любимую нами, теорему. Наверное, напрячься и доказать смогу, как по школьной программе.

      Еще говорили считалочку Пифагоровы штаны, во все стороны равны

      Нам учительница говорила, что если вы спите и вдруг пожар - Вы должны знать теорему Пифагора))) Равен сумме квадратов катетов

      Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (катетов).

      Это можно запомнить, а можно раз и навсегда понять, почему это так.

      для начала рассмотрим прямоугольный треугольник с одинаковыми катетами и расположим его внутри квадрата со стороной, равной гипотенузе.

      Площадь большого квадрата будет равна площади четырех одинаковых треугольников внутри него.

      Быстро все посчитаем и получим нужный нам результат.

      В случае, если катеты не одинаковые, тоже все довольно просто:

      площадь большого квадрата равна сумме площадей четырех одинаковых треугольников плюс площадь квадрата посредине.

      Как ни крути - всегда получаем равенство

      сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

      Одна из самых известных в геометрии, теорема Пифагора гласит:

      Эта теорема касается прямоугольного треугольника, то есть такого, один из углов которого равен 90 градусам. Стороны прямого угла называются катетами, а косой - гипотенузой. Так вот, если нарисовать три квадрата с основанием у каждой из сторон треугольника, то площади двух квадратов возле катета равняется площади квадрату возле гипотенузы.

    Геометрия – наука не простая. Она может пригодиться как для школьной программы, так и в реальной жизни. Знание многих формул и теорем упростит геометрические вычисления. Одна из наиболее простых фигур в геометрии – это треугольник. Один из разновидностей треугольников, равносторонний, имеет свои особенности.

    Особенности равностороннего треугольника

    Согласно определению, треугольник – это многогранник, который имеет три угла и три стороны. Это плоская двумерная фигура, ее свойства изучаются в средней школе. По типу угла различают остроугольные, тупоугольные и прямоугольные треугольники. Прямоугольный треугольник – такая геометрическая фигура, где один из углов равен 90º. Такой треугольник имеет два катета (они создают прямой угол), и одну гипотенузу (она находится напротив прямого угла). В зависимости от того, какие величины известны, существует три простых способа вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника.

    Первый способ найти гипотенузу прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора

    Теорема Пифагора – древнейший способ вычислить любую из сторон прямоугольного треугольника. Звучит она так: “В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Таким образом, чтобы вычислить гипотенузу, следует вывести квадратный корень из сумы двух катетов в квадрате. Для наглядности приведены формулы и схема.

    Второй способ. Вычисление гипотенузы с помощью 2-х известных величин: катета и прилегающего угла

    Одно из свойств прямоугольного треугольника гласит, что отношение длины катета к длине гипотенузы, равносильно косинусу угла между этиv катетом и гипотенузой. Назовем известный нам угол α. Теперь, благодаря известному определению, можно легко сформулировать формулу для вычисления гипотенузы: Гипотенуза = катет/cos(α)


    Третий способ. Вычисление гипотенузы с помощью 2х известных величин: катета и противолежащего угла

    Если известен противолежащий угол, возможно снова воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника. Отношение длины катета и гипотенузы равносильно синусу противолежащего угла. Снова назовем известный угол α. Теперь для вычислений применим немного другую формулу:
    Гипотенуза = катет/sin (α)


    Примеры, которые помогут разобраться с формулами

    Для более глубокого понимания каждой из формул, следует рассмотреть наглядные примеры. Итак, предположим, дан прямоугольный треугольник, где есть такие данные:

    • Катет – 8 см.
    • Прилегающий угол cosα1 – 0.8.
    • Противолежащий угол sinα2 – 0.8.

    По теореме Пифагора: Гипотенуза = корень квадратный из (36+64) = 10 см.
    По величине катета и прилежащего угла: 8/0.8 = 10 см.
    По величине катета и противолежащего угла: 8/0.8 = 10 см.

    Разобравшись в формуле, можно с легкостью вычислить гипотенузу с любыми данными.

    Видео: Теорема Пифагора