Перпендикуляр и наклонная

Теорема . Если из одной точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонные, то:

1) наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2) из двух наклонных больше та, проекция которой больше;

3) равные наклонные имеют равные проекции;

4) из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной.

Теорема о трех перпендикулярах . Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной (рис.3).

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Построение.

1. На плоскости a проводим прямую а .

3. В плоскости b через точку А проведем прямую b , параллельную прямой а .

4. Построена прямая b параллельная плоскости a .

Доказательство. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая b параллельна плоскости a , так как она параллельна прямой а , принадлежащей плоскости a .

Исследование. Задача имеет бесконечное множество решений, так как прямая а в плоскости a выбирается произвольно.

Пример 2. Определите, на каком расстоянии от плоскости находится точка А , если прямая АВ пересекает плоскость под углом 45º, расстояние от точки А до точки В , принадлежащей плоскости, равно см?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5):

АС – перпендикуляр к плоскости a , АВ – наклонная, угол АВС – угол между прямой АВ и плоскостью a . Треугольник АВС – прямоугольный так как АС – перпендикуляр. Искомое расстояние от точки А до плоскости – это катет АС прямоугольного треугольника. Зная угол и гипотенузу см найдем катет АС :

Ответ: 3 см.

Пример 3. Определите, на каком расстоянии от плоскости равнобедренного треугольника находится точка, удаленная от каждой из вершин треугольника на 13 см, если основание и высота треугольника равны по 8 см?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 6). Точка S удалена от точек А , В и С на одинаковое расстояние. Значит, наклонные SA , SB и SC равные, SO – общий перпендикуляр этих наклонных. По теореме о наклонных и проекциях АО = ВО = СО.

Точка О – центр окружности описанной около треугольника АВС . Найдем ее радиус:

где ВС – основание;

AD – высота данного равнобедренного треугольника.

Находим стороны треугольника АВС из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:

Теперь находим ОВ :

Рассмотрим треугольник SOB : SB = 13 см, ОВ = = 5 см. Находим длину перпендикуляра SO по теореме Пифагора:

Ответ: 12 см.

Пример 4. Даны параллельные плоскости a и b . Через точку М , не принадлежащую ни одной из них, проведены прямые а и b , которые пересекают a в точках А 1 и В 1 , а плоскость b – в точках А 2 и В 2 . Найти А 1 В 1 , если известно, что МА 1 = 8 см, А 1 А 2 = 12 см, А 2 В 2 = 25 см.

Решение. Так как в условии не сказано, как расположена относительно обеих плоскостей точка М , то возможны два варианта: (рис. 7, а) и (рис. 7, б). Рассмотрим каждый из них. Две пересекающиеся прямые а и b задают плоскость. Эта плоскость пересекает две параллельные плоскости a и b по параллельным прямым А 1 В 1 и А 2 В 2 согласно теореме 5 о параллельных прямых и параллельных плоскостях.

Треугольники МА 1 В 1 и МА 2 В 2 подобны (углы А 2 МВ 2 и А 1 МВ 1 – вертикальные, углы МА 1 В 1 и МА 2 В 2 – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А 1 В 1 и А 2 В 2 и секущей А 1 А 2). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

Отсюда

Вариант а):

Вариант б):

Ответ: 10 см и 50 см.

Пример 5. Через точку А плоскости g проведена прямая АВ , образующая с плоскостью угол a . Через прямую АВ проведена плоскость r , образующая с плоскостью g угол b . Найти угол между проекцией прямой АВ на плоскость g и плоскостью r .

Решение. Сделаем рисунок (рис. 8). Из точки В опустим перпендикуляр на плоскость g . Линейный угол двугранного угла между плоскостями g и r – это угол Прямая AD DBC , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как и По признаку перпендикулярности плоскостей плоскость r перпендикулярна плоскости треугольника DBC , так как она проходит через прямую AD . Искомый угол построим, опустив перпендикуляр из точки С на плоскость r , обозначим его Найдем синус этого угла прямоугольного треугольника САМ . Введем вспомогательный отрезок а = ВС . Из треугольника АВС : Из треугольника ВМС найдем

Если через какую-нибудь точку, взятую вне прямой, провести прямую, перпендикулярную к ней, то отрезок от данной точки до прямой для краткости называют одним словом перпендикуляр .

Отрезок СО - перпендикуляр к прямой АВ. Точка О называется основанием перпендикуляра СО (рис).

Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает другую прямую, но не перпендикулярна к ней, то отрезок её от данной точки до точки пересечения с другой прямой называют наклонной к этой прямой.

Отрезок ВС - наклонная к прямой АО. Точка С называется основанием наклонной (рис.).

Если из концов какого-нибудь отрезка опустим перпендикуляры на произвольную прямую, то отрезок прямой, заключённый между основаниями перпендикуляров, называется проекцией отрезка на эту прямую.

Отрезок А’В’ - проекция отрезка АВ на ЕС. Отрезок ОМ’ - также называется проекцией отрезка ОМ на ЕС.

Проекцией отрезка КР, перпендикулярного к ЕС, будет точка К’ (рис.).

2. Свойства перпендикуляра и наклонных.

Теорема 1. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Отрезок АС (рис.) является перпендикуляром к прямой ОВ, а АМ - одна из наклонных, проведённых из точки А к прямой ОВ. Требуется доказать, что АМ > АС.

В ΔМАС отрезок АМ является гипотенузой, а гипотенуза больше каждого из катетов этого треугольника. Следовательно, АМ > АС. Так как наклонная АМ взята нами произвольно, то можно утверждать, что всякая наклонная к прямой больше перпендикуляра к этой прямой (а перпендикуляр короче всякой наклонной), если они проведены к ней из одной и той же точки.

Верно и обратное утверждение, а именно: если отрезок АС (рис.) меньше всякого другого отрезка, соединяющего точку АС любой точкой прямой ОВ, то он является перпендикуляром к ОВ. В самом деле, отрезок АС не может быть наклонной к ОВ, так как тогда он не был бы самым коротким из отрезков, соединяющих точку А с точками прямой ОВ. Значит, он может быть только перпендикуляром к ОВ.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, принимается за расстояние от данной точки до этой прямой.

Теорема 2. Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть ВА и ВС - наклонные, проведённые из точки В к прямой АС (рис.), причём АВ = ВС. Нужно доказать, что равны и их проекции.

Для доказательства опустим из точки В перпендикуляр ВО на АС. Тогда АО и ОС будут проекции наклонных АВ и ВС на прямую АС. Треугольник АВС равнобедренный по условию теоремы. ВО - высота этого треугольника. Но высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является в то же время и медианой этого треугольника.

Поэтому АО = ОС.

Теорема 3 (обратная). Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой.

Пусть АС и СВ - наклонные к прямой АВ (рис.). СО ⊥ АВ и АО = ОВ.

Требуется доказать, что АС = ВС.

В прямоугольных треугольниках АОС и ВОС катеты АО и ОВ равны. СО - общий катет этих треугольников. Следовательно, ΔAOС = ΔВОС. Из равенcтва треугольников вытекает, что АС = ВС.

Теорема 4. Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.

Пусть АВ и ВС - наклонные к прямой АО; ВО ⊥ АО и АО>СО. Требуется доказать, что АВ > ВС.

1) Наклонные расположены по одну сторону перпендикуляра.

Угол АСЕ внешний по отношению к прямоугольному треугольнику СОВ (рис.), а поэтому ∠АСВ > ∠СОВ, т. е. он тупой. Отсюда следует, что АВ > СВ.

2) Наклонные расположены по обе стороны перпендикуляра. Для доказательства отложим на АО от точки О отрезок ОК = ОС и соединим точку К с точкой В (рис.). Тогда по теореме 3 имеем: ВК = ВС, но АВ > ВК, следовательно, АВ > ВС, т. е. теорема справедлива и в этом случае.

Теорема 5 (обратная). Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.

Пусть КС и ВС - наклонные к прямой КВ (рис.), СО ⊥ КВ и КС > ВС. Требуется доказать, что КО > ОВ.

Между отрезками КО и ОВ может быть только одно из трёх соотношений:

1) КО < ОВ,

2) КО = ОВ,

3) КО > ОВ.

КО не может быть меньше ОВ, так как тогда по теореме 4 наклонная КС была бы меньше наклонной ВС, а это противоречит условию теоремы.

Точно так же КО не может равняться ОВ, так как в этом случае по теореме 3 КС = ВС, что также противоречит условию теоремы.

Следовательно, остаётся верным только последнее соотношение, а именно, что КО > ОВ.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного этой точки на плоскость.

Наклонной, проведенной данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

На рисунке 136 из точки А проведены к плоскости перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В - основание перпендикуляра, точка С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной АС на плоскость а.

Так как расстояния от точек прямой до параллельной ей плоскости одинаковы, то расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой ее точки до этой плоскости.

Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (теорема о трех перпендикулярах).

На рисунке 137 к плоскости а проведены перпендикуляр АВ и наклонная АС. Прямая о, лежащая в плоскости а, перпендикулярна ВС - проекции наклонной АС на плоскость а. По Т. 2.12 прямая а перпендикулярна наклонной АС. Если было бы известно, что прямая а перпендикулярна наклонной АС, то по Т. 2.12 она была бы перпендикулярна и ее проекции - ВС.

Пример. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 16 и Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD= 35 м (рис. 138). Найти расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

Решение. Проведем . По условию DC - перпендикуляр к плоскости, т. е. DE - наклонная, СЕ - ее проекция, поэтому по теореме о трех перпендикулярах из условия следует, что

Из находим Для отыскания высоты СЕ в находим

С другой стороны, откуда

Из по теореме Пифагора

46. Перпендикулярность плоскостей.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если какая-либо плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

На рисунке 139 изображены две плоскости , которые пересекаются по прямой а. Плоскость у перпендикулярна прямой а и пересекает При этом плоскость у пересекает плоскость а по прямой с, а плоскость - по прямой d, причем т. е. по определению

Т. 2.13. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (признак перпендикулярности плоскостей).

На рисунке 140 плоскость проходит через прямую а т. е. по плоскости перпендикулярны.

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§8. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ. ПРОЕКЦИЯ НАКЛОННОЙ НА ПЛОСКОСТЬ.

2. Свойства перпендикуляра и наклонной.

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1) Перпендикуляр, опущенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к плоскости.

На рисунке 411: АН АК.

2) Если две наклонные, проведенные из данной точки к плоскости, равны, то равны их проекции.

K 1 и перпендикуляр АН и АК = АК 1 . Тогда по свойству: НК = НК 1 .

3) Если две наклонные, проведенные из данной точки к данной плоскости, имеют равные проекции, то они равны между собой.

На рисунке 412 из точки А к плоскости а проведены две наклонные АК и А K 1 и перпендикуляр АН, причем КН = К 1 Н. Тогда по свойству: АК = АК 1 .

4) Если из данной точки проведены к плоскости две наклонные, то большая наклонная имеет большую проекцию.

L и перпендикуляр АН, A К > AL . Тогда по свойству: H К > HL .

5) Если из данной точки проведены к плоскости две наклонные, то большей из них является та, которая имеет большую проекцию на данную плоскость.

На рисунке 413 из точки А к плоскости а проведены две наклонные АК и А L и перпендикуляр АН, НК > Н L . Тогда по свойству: АК > А L .

Пример 1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, длины которых 41 см и 50 см. Найти проекции наклонных, если они относятся, как 3: 10, и расстояние от точки до плоскости.

Решения. 1) А L = 41 см; АК = 50 см (рис. 413). По свойством имеем Н L НК. Обозначим Н L = 3 х см, НК = 10 х см, АН = h см. АН - расстояние от точки А до плоскости α .

4) Приравнивая, получаем 41 2 - 9х 2 = 50 2 - 100 х 2 ; х 2 = 9; х = 3 (учитывая х > 0). Итак, Н L = 3 ∙ 3 = 9 (см), НК = 10 ∙ 3 = 30 (см).

Пример 2. С данной точки к плоскости проведены две наклонные, каждая по см. Угол между наклонными равен 60°, а угол между их проекциями - прямой. Найти расстояние от точки до плоскости.

Свойства наклонных, выходящих из одной точки. 1. Перпендикуляр всегда короче наклонной, если они проведены из одной точки. 2. Если наклонные равны, то равны и их проекции, и наоборот. 3. Большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

Слайд 10 из презентации «Перпендикуляр и наклонная к плоскости» . Размер архива с презентацией 327 КБ.

Геометрия 10 класс

краткое содержание других презентаций

«Задачи на параллелограмм» - Геометрия. Точки. Высота параллелограмма. Площадь. Доказательство. Касательная к окружности. Признаки параллелограмма. Периметр параллелограмма. Окружность. Часть. Средняя линяя. Центры окружностей. Углы. Параллелограмм. Найдите площадь параллелограмма. Две окружности. Свойства параллелограмма. Острый угол. Площадь параллелограмма. Диагонали параллелограмма. Диагональ. Четырехугольник. Треугольники.

«Методы построения сечений» - Формирование умений и навыков построения сечений. Рассмотрим четыре случая построения сечений параллелепипеда. Построить сечения тетраэдра. Метод внутреннего проектирования. Работа с дисками. Параллелепипед имеет шесть граней. Секущая плоскость. Построение сечений многогранников. Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Метод следов. Памятка.

««Правильные многогранники» 10 класс» - Прогнозируемый результат. Тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. Центр О, ось а и плоскость. Грани многогранника. Радиолария. Содержание. Правильные многогранники. Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Феодария. Правильные многогранники встречаются в живой природе. Ход урока. Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью). Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником.

«Определение двугранных углов» - Точка К удалена от каждой стороны. Точки М и К лежат в разных гранях. Градусная мера угла. Свойство трёхгранного угла. Замечания к решению задач. В одной из граней двугранного угла, равного 30, расположена точка М. Построение линейного угла. Провести перпендикуляр. Прямая, проведенная в данной плоскости. Двугранные углы в пирамидах. Решение задач. Точка К. Данная пирамида. Точка на ребре может быть произвольная.

«Методы построения сечений многогранников» - Любая плоскость. Художники. Законы геометрии. Блиц-опрос. Взаимное расположение плоскости и многогранника. Построить сечение многогранника. Многоугольники. Аксиоматический метод. Задачи. Корабль. Задача. Аксиомы. Построение сечений многогранников. Сечения различными плоскостями. Древняя китайская пословица. Самостоятельная работа. Диагональные сечения. Закрепление полученных знаний. Секущая плоскость.

«Равносторонние многоугольники» - Гексаэдр (Куб) Куб составлен из шести квадратов. Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Существует 5 видов правильных многогранников. Правильные Многоугольники. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Тетраэдр Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников.