Дифференциальная форма закона Ома . Найдем связь между плотностью тока j и напряженностью поля Е в одной и той же точке проводника. В изотропном проводнике упорядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора Е . Поэтому направления векторов j и Е совпадают. Рассмотрим в однородной изотропной среде элементарный объем с образующими, параллельными вектору Е , длиной , ограниченной двумя эквипотенциальными сечениями 1 и 2 (рис. 4.3).

Обозначим их потенциалы и, а среднюю площадь сечения через. Используя закон Ома, получим для тока, или для плотности тока, следовательно

Перейдем к пределу при , тогда рассматриваемый объем можно считать цилиндрическим, а поле внутри него однородным, так что

где Е - напряженность электрического поля внутри проводника. Учитывая, что j и Е совпадают по направлению, получаем

.

Это соотношение является дифференциальной формой закона Ома для однородного участка цепи . Величина называется удельной проводимостью. На неоднородном участке цепи на носители тока действуют, кроме электростатических сил , еще и сторонние силы, следовательно, плотность тока в этих участках оказывается пропорциональной сумме напряженностей. Учет этого приводит кдифференциальной форме закон Ома для неоднородного участка цепи .

.

При прохождении электрического тока в замкнутой цепи на свободные заряды действуют силы со стороны стационарного электрического поля и сторонние силы. При этом на отдельных участках этой цепи ток создается только стационарным электрическим полем. Такие участки цепи называются однородными . На некоторых участках этой цепи, кроме сил стационарного электрического поля, действуют и сторонние силы. Участок цепи, на котором действуют сторонние силы, называют неоднородным участком цепи .

Для того чтобы выяснить, от чего зависит сила тока на этих участках, необходимо уточнить понятие напряжения.

Рассмотрим вначале однородный участок цепи (рис. 1, а). В этом случае работу по перемещению заряда совершают только силы стационарного электрического поля, и этот участок характеризуют разностью потенциалов Δφ . Разность потенциалов на концах участка Δφ =φ 1−φ 2=AKq , где A K - работа сил стационарного электрического поля. Неоднородный участок цепи (рис. 1, б) содержит в отличие от однородного участка источник ЭДС, и к работе сил электростатического поля на этом участке добавляется работа сторонних сил. По определению, Aelq =φ 1−φ 2, где q - положительный заряд, который перемещается между любыми двумя точками цепи; φ 1−φ 2 - разность потенциалов точек в начале и конце рассматриваемого участка; Astq =ε . Тогда говорят о напряжении для напряженности: E стац. э. п. = E э/стат. п. + E стор. Напряжение U на участке цепи представляет собой физическую скалярную величину, равную суммарной работе сторонних сил и сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда на этом участке:

U =AKq +Astorq =φ 1−φ 2+ε .

Из этой формулы видно, что в общем случае напряжение на данном участке цепи равно алгебраической сумме разности потенциалов и ЭДС на этом участке. Если же на участке действуют только электрические силы (ε = 0), то U =φ 1−φ 2. Таким образом, только для однородного участка цепи понятия напряжения и разности потенциалов совпадают.

Закон Ома для неоднородного участка цепи имеет вид:

I =UR =φ 1−φ 2+εR ,

где R - общее сопротивление неоднородного участка.

ЭДС ε может быть как положительной, так и отрицательной. Это связано с полярностью включения ЭДС в участок: если направление, создаваемое источником тока, совпадает с направлением тока, проходящего в участке (направление тока на участке совпадает внутри источника с направлением от отрицательного полюса к положительному), т.е. ЭДС способствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ε > 0, в противном случае, если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ε < 0.

Рис. 3 Перемещение заряда на этих участках возможно лишь с помощью сил

неэлектрического происхождения (сторонних сил): химические процессы, диффузия носителей заряда, вихревые электрические поля. Аналогия: насос, качающий воду в водонапорную башню, действует за счет негравитационных сил (электромотор).

Сторонние силы можно характеризовать работой, которую они совершают над перемещающимися зарядами.

Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой. Э.Д.С. действующей в цепи.

Ясно, что размерность Э.Д.С. совпадает с размерностью потенциала, т.е. измеряется в вольтах.

Стороннюю силу, действующую на заряд, можно представить в виде:

	= ∫ F ст . d l		Q ∫ Eст . d l ,
	ε 12					= ∫ Eст . d l .
Для замкнутой цепи: ε = ∑ ε i							= ∫ Eст . d l .

Циркуляция вектора напряженности сторонних сил равна Э.Д.С., действующей в замкнутой цепи (алгебраической сумме Э.Д.С.).

При этом необходимо помнить, что поле сторонних сил не является потенциальным, и к нему нельзя применять термин – разность потенциалов или напряжение.

7.5. Закон Ома для неоднородного участка цепи.

Рассмотрим неоднородный участок цепи, участок, содержащий источник Э.Д.С.

(т.е. участок, – где действуют неэлектрические силы). Напряженность E поля в любой точке цепи равна векторной сумме поля кулоновских сил и поля сторонних сил, т.е.

E = Eq + Eст . .

Величина, численно равная работе по переносу единичного положительного заряда суммарным полем кулоновских и сторонних сил на участке цепи (1 – 2), называется напряжением на этом участке U12 (Рис. 4)

	2 r r
	U 12 = ∫ E q d l +	∫ Eст . d l ;
	Eq d l = − dφ и ∫ Eq d l			= φ 1 − φ 2 ;
	U 12 = (φ 1 – φ 2 ) + ε 12
Напряжение на концах участка цепи совпадает с разностью потенциалов только в
случае, если на этом участке нет Э.Д.С., т.е. на однородном участке цепи.
	I·R12 = (φ1 – φ2 ) + ε 12

Это обобщенный закон Ома. Обобщенный закон Ома выражает закон сохранения энергии применительно к участку цепи постоянного тока. Он в равной мере справедлив как для пассивных участков (не содержащих Э.Д.С.), так и для активных.

В электротехнике часто используют термин падения напряжения – изменение напряжения вследствие переноса заряда через сопротивление

	В замкнутой цепи: φ 1 = φ 2 ;
	I RΣ = ε
				R∑

Где R Σ =R + r; r – внутреннее сопротивление активного участка цепи (Рис. 5).

Тогда закон Ома для замкнутого участка цепи, содержащего Э.Д.С. запишется в

		R + r

7.6. Закон Ома в дифференциальной форме.

Закон Ома в интегральной форме для однородного участка цепи (не содержащего Э.Д.С.)

	I = U
	Для однородного линейного проводника выразим R через ρ
	R = ρ

ρ – удельное объемное сопротивление; [ρ ] = [Ом м ].

Найдем связь между j и E в бесконечно малом объеме проводника – закон Ома в

дифференциальной форме.

В изотропном проводнике (в данном случае с постоянным сопротивлением) носители зарядов (Рис.6) движутся в направлении действия силы, т.е. плотность тока

j E , следовательно, векторы коллинеарны.

А мы знаем что: j =

E , т.е.

E j или

j = σ E

это запись закона Ома в дифференциальной форме.

Здесь σ – удельная электропроводность. Размерность j – [ Oм − 1 м − 1 ]; Плотность тока можно выразить через заряд, n и v r др . .

j = en vr др .

обозначим: b = v E др . , то v r др . = b E ;

j = enb E ,

а если σ = enb ,

где n – число пар ионов, b – расстояние. j = j E

– закон Ома в дифференциальной форме.

7.7. Работа и мощность тока. Закон Джоуля - Ленца.

Рассмотрим произвольный участок цепи, к концам которого приложено напряжение U . За время dt через каждое сечение проводника проходит заряд

Полезно вспомнить и другие формулы для мощности и работы:

	N = RI2
	A = RI2 t
	В 1841г. Английский физик Джеймс Джоуль и русский физик
	Эмилий Ленц установили закон теплового действия электрического
	ДЖОУЛЬ Джеймс Пресскотт (Рис. 6)
	(24.12.1818 – 11. 10.1889) – английский физик, один
	из первооткрывателей закона сохранения энергии.
	Первые уроки по физике ему давал Дж. Дальтон, под
	влиянием которого Джоуль начал свои эксперименты.
	Работы посвящены электромагнетизму, кинетической
	теории газов.
	ЛЕНЦ Эмилий Христианович (Рис. 7) (24.2.1804
– 10.2.1865) – русский физик. Основные работы в области
электромагнетизма. В 1833 установил правило определения
электродвижущей силы индукции (закон Ленца), а в 1842 (независимо

от Дж. Джоуля) – закон теплового действия электрического тока (закон Джоуля - Ленца). Открыл обратимость электрических машин. Изучал зависимость сопротивление металлов от температуры. Работы относятся также к геофизике.

Независимо друг от друга Джоуль и Ленц показали, что при протекании тока в проводнике выделится количество теплоты:

(7.7.7) это закон Джоуля – Ленца в интегральной форме.

Следовательно, нагревание происходит за счет работы, совершаемой силами поля над зарядом (мощность выделения тепла N = RI2 ).

Получим закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.

dQ = RI 2 dt = ρ dS dl (jdS ) 2 dt = ρj2 dldSdt = ρj2 dldSdt = ρj2 dVdt,

Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, приводящие к возникновению ЭДС (рис. 1), называется однородным.

Закон Ома для однородного участка цепи был установлен экспериментально в 1826 г. Г. Омом.

Согласно этому закону, сила тока I в однородном металлическом проводнике прямо пропорциональна напряжению U на концах этого проводника и обратно пропорциональна сопротивлению R этого проводника :

На рисунке 2 изображена схема электрической цепи, позволяющая экспериментально проверить этот закон. В участок MN цепи поочередно включают проводники, обладающие различными сопротивлениями.

Напряжение на концах проводника измеряется вольтметром и может изменяться с помощью потенциометра. Силу тока измеряют амперметром, сопротивление которого ничтожно мало (R A ≈ 0). График зависимости силы тока в проводнике от напряжения на нем - вольт-амперная характеристика проводника - приведен на рисунке 3. Угол наклона вольт-амперной характеристики зависит от электрического сопротивления проводника R (или его электропроводимости G ): .

Сила тока в замкнутой цепи, состоящей из источника тока с внутренним сопротивление и нагрузки с сопротивлением, равна отношению величины ЭДС источника к сумме внутреннего сопротивления источника и сопротивления нагрузки.

8.СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ ПРОВОДНИКОВ. ЗАВИСИМОСТЬ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДНИКОВ ОТ ФИЗИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ

При замыкании электрической цепи, на зажимах которой име­ется разность потенциалов, возникает электрический ток. Свобод­ные электроны под влиянием электрических сил поля перемещаются вдоль проводника. В своем движении свободные электроны натал­киваются на атомы проводника и отдают им запас своей кинетиче­ской энергии.

Таким образом, электроны, проходя по проводнику, встречают сопротивление своему движению. При прохождении элект­рического тока через проводник последний нагревается.

Электрическим сопротивлением проводника (оно обозначается латинской буквой r) обусловлено явление преобразования электри­ческой энергии в тепловую при прохождении электрического тока по проводнику. На схемах электрическое сопротивление обозна­чается так, как показано на рис. 18.

За единицу сопротивления принят 1 ом . Ом часто обозначается греческой прописной буквой Ω (омега). Поэтому, вместо того чтобы писать: «Сопротивление проводника равно 15 ом», можно написать просто: r = 15 Ω.

1000 ом называется 1 к и л о о м (1 ком, или 1 к Ω).

1 000 000 ом называется 1 м е г о м (1 мгом, или 1 MΩ).

Последовательное и параллельное соединения в электротехнике - два основных способа соединения элементов электрической цепи. При последовательном соединении все элементы связаны друг с другом так, что включающий их участок цепи не имеет ни одного узла. При параллельном соединении все входящие в цепь элементы объединены двумя узлами и не имеют связей с другими узлами, если это не противоречит условию.

При последовательном соединении проводников сила тока во всех проводниках одинакова.

При параллельном соединении падение напряжения между двумя узлами, объединяющими элементы цепи, одинаково для всех элементов. При этом величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно включенных проводников.

Как определить общее сопротивление цепи, если все включенные в нее последовательно сопротивления мы уже знаем? Используя положение, что напряжение U на зажимах источника тока равно сумме падений напряжений на участках цепи, мы можем написать:

U = U1 + U2 + U3

U1 = IR1 U2 = IR2 и U3 = IR3

IR = IR1 + IR2 + IR3

Вынеся в правой части равенства I за скобки, получим IR = I(R1 + R2 + R3).

Поделив теперь обе части равенства на I, будем окончательно иметь R = R1 + R2 + R3

Таким образом, мы пришли к выводу, что при последовательном соединении сопротивлений общее сопротивление всей цепи равно сумме сопротивлений отдельных участков.

Условия существования постоянного электрического тока.

Условия существования постоянного тока. Электродвижущая сила. Закон Ома для замкнутой цепи и для активного участка цепи.

Электрический ток - упорядоченное движение заряженных частиц под действием сил электрического поля или сторонних сил. За направление тока выбрано направление движения положительно заряженных частиц.

Электрический ток называют постоянным, если сила тока и его направление не меняются с течением времени.

Для существования постоянного электрического тока необходимо наличие свободных заряженных частиц и наличие источника тока. в котором осуществляется преобразование какого-либо вида энергии в энергию электрического поля.

Электродвижущей силой источника тока называют отношение работы сторонних сил к величине положительного заряда, переносимого от отрицательного полюса источника тока к положительному.

Сила тока в однородном участке цепи прямо пропорциональна напряжению при постоянном сопротивлении участка и обратно пропорциональна сопротивлению участка при постоянном напряжении.

Где U - напряжение на участке, R - сопротивление участка.

Закон Ома для произвольного участка цепи, содержащего источник постоянного тока.

где φ1 - φ2 + ε = U напряжение на заданном участке цепи, R - электрическое сопротивление заданного участка цепи.

Закон Ома для полной цепи.

Сила тока в полной цепи равна отношению электродвижущей силы источника к сумме сопротивлений внешнего и внутреннего участка цепи.

где R - электрическое сопротивление внешнего участка цепи, r - электрическое сопротивление внутреннего участка цепи.

Закон сохранения заряда и правило Кирхгофа (вывод).

Закон сохранения электрического заряда гласит, что алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой системы сохраняется.

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвленных цепей.

В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ii на сопротивления Ri соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. Ek , встречающихся в этом контуре.

Собственно, применяем чистую математику. Возьмем, например, контур, изображенный на рис. 1. Контур состоит из трех участков. Для каждого участка можно записать свою формулу, исходя из закона Ома, но надо учитывать один важный момент.

Во-первых, требуется записывать эти формулы не как независимые, а как систему уравнений, т. к. участки цепи являются составляющими частями контура.

Во-вторых, что бы определится со знаками необходимо учитывать направление токов и ЭДС источников. Для этого нужно выбрать направление обхода контура. Все токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода - отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура.

В-третьих, направление обхода контура выбирается произвольно. Мы возьмем направление по часовой стрелке.

Исходя из вышесказанного записываем систему уравнений. Начинаем с участка AB, затем BC и CA.

Теперь остается сложить почленно эти уравнения:

Посмотрим, что у нас получилось. Слева в нашем уравнении сумма произведений токов на сопротивление соответствующих участков, справа - сумма всех ЭДС в контуре. Если мы возьмем любой контур с любым количеством участков и источников, то все равно мы получим, в итоге, уравнение, где слева будет сумма произведений токов на сопротивление соответствующих участков, а справа - сумма всех ЭДС в контуре. Таким образом можно записать наши рассуждения в следующем виде: ------à

Последнее уравнение выражает второе правило Кирхгофа.

Электродвижущая сила.

Закон Ома для замкнутой цепи и неоднородного участка цепи.

Закон ома для замкнутой цепи говорит о том что. Величина тока в замкнутой цепи, которая состоит из источника тока обладающего внутренним сопротивлением, а также внешним нагрузочным сопротивлением. Будет равна отношению электродвижущей силы источника к сумме внешнего и внутреннего сопротивлений.

Закон Ома для неоднородного участка цепи

При прохождении электрического тока в замкнутой цепи на свободные заряды действуют силы со стороны стационарного электрического поля и сторонние силы. При этом на отдельных участках этой цепи ток создается только стационарным электрическим полем. Такие участки цепи называются однородными. На некоторых участках этой цепи, кроме сил стационарного электрического поля, действуют и сторонние силы. Участок цепи, на котором действуют сторонние силы, называют неоднородным участком цепи.

Для того чтобы выяснить, от чего зависит сила тока на этих участках, необходимо уточнить понятие напряжения.

Рис. 1

Рассмотрим вначале однородный участок цепи (рис. 1, а). В этом случае работу по перемещению заряда совершают только силы стационарного электрического поля, и этот участок характеризуют разностью потенциалов Δφ. Разность потенциалов на концах участка , где AK — работа сил стационарного электрического поля. Неоднородный участок цепи (рис. 1, б) содержит в отличие от однородного участка источник ЭДС, и к работе сил электростатического поля на этом участке добавляется работа сторонних сил. По определению, , где q — положительный заряд, который перемещается между любыми двумя точками цепи; — разность потенциалов точек в начале и конце рассматриваемого участка; . Тогда говорят о напряжении для напряженности: Eстац. э. п. = Eэ/стат. п. + Eстор. Напряжение U на участке цепи представляет собой физическую скалярную величину, равную суммарной работе сторонних сил и сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда на этом участке:

Из этой формулы видно, что в общем случае напряжение на данном участке цепи равно алгебраической сумме разности потенциалов и ЭДС на этом участке. Если же на участке действуют только электрические силы (ε = 0), то. Таким образом, только для однородного участка цепи понятия напряжения и разности потенциалов совпадают.

Закон Ома для неоднородного участка цепи имеет вид:

где R — общее сопротивление неоднородного участка.

ЭДС ε может быть как положительной, так и отрицательной. Это связано с полярностью включения ЭДС в участок: если направление, создаваемое источником тока, совпадает с направлением тока, проходящего в участке (направление тока на участке совпадает внутри источника с направлением от отрицательного полюса к положительному), т.е. ЭДС способствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ε > 0, в противном случае, если ЭДС препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ε < 0.

Правила Кихгофа.

Работа и мощность тока. Тепловое действие тока. Закон Джоуля-Ленца.

При протекании тока по однородному участку цепи электрическое поле совершает работу. За время Δ t по цепи протекает заряд Δ q = I Δ t . Электрическое поле на выделенном учестке совершает работу

Мощность электрического тока равна отношению работы тока Δ A к интервалу времени Δ t , за которое эта работа была совершена:

Работа электрического тока в СИ выражается в джоулях (Дж), мощность – в ваттах (Вт).

Рассмотрим теперь полную цепь постоянного тока, состоящую из источника с электродвижущей силой и внутренним сопротивлением r и внешнего однородного участка с сопротивлением R . Закон Ома для полной цепи записывается в виде

Первый член в левой части Δ Q = R I 2 Δ t – тепло, выделяющееся на внешнем участке цепи за время Δ t , второй член Δ Q ист = r I 2 Δ t – тепло, выделяющееся внутри источника за то же время.

Выражение I Δ t равно работе сторонних сил Δ A ст, действующих внутри источника.

При протекании электрического тока по замкнутой цепи работа сторонних сил Δ A ст преобразуется в тепло, выделяющееся во внешней цепи (Δ Q ) и внутри источника (Δ Q ист) .

Δ Q + Δ Q ист = Δ A ст = I Δ t .

Следует обратить внимание, что в это соотношение не входит работа электрического поля. При протекании тока по замкнутой цепи электрическое поле работы не совершает; поэтому тепло производится одними только сторонними силами , действующими внутри источника. Роль электрического поля сводится к перераспределению тепла между различными участками цепи.

Внешняя цепь может представлять собой не только проводник с сопротивлением R , но и какое-либо устройство, потребляющее мощность, например, электродвигатель постоянного тока. В этом случае под R нужно понимать эквивалентное сопротивление нагрузки . Энергия, выделяемая во внешней цепи, может частично или полностью преобразовываться не только в тепло, но и в другие виды энергии, например, в механическую работу, совершаемую электродвигателем. Поэтому вопрос об использовании энергии источника тока имеет большое практическое значение.