Теорема 1 . Если f (x ) = b , то f (x ) = b + a (x ), где a (x ) – б.м. при x ® a .

Доказательство. Пусть f (x ) = b . Рассмотрим функцию a (x ) = f (x ) – b и покажем, что a (x ) – б.м. при x ® +¥ .

Из определения f (x ) = b имеем, что "e > 0 $x 0 "x > x 0 |f (x ) – b | < e , но так как a (x ) = f (x ) – b , то "e > 0 $x 0 "x > x 0 |a (x )| < e , а это означает, что a (x ) – б.м. при
x ® +¥.

Итак, из равенства a (x ) = f (x ) – b имеем f (x ) = b + a (x ), где a (x ) – б.м. при x ® +¥.

Теорема 2. Если функцию f (x ) можно представить в виде: f (x ) = b + a (x ), где
b – число, a (x ) – б.м. функция при x ® a , то f (x ) = b .

Доказательство. Пусть f (x ) = b + a (x ), где a (x ) – б.м. при x ® +¥, т.е.

"e > 0 $x 0 "x > x 0 |a (x )| < e . (*)

Но a (x ) = f (x ) – b , поэтому (*) можно записать так: "e > 0 $x 0 "x > x 0 |f (x ) – b | < e , что означает: f (x ) = b .

Следующие теоремы значительно облегчают нахождение пределов.

Теорема 3 . Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если

f 1 (x ) = b 1 , f 2 (x ) = b 2 , то (f 1 (x ) + f 2 (x )) = b 1 + b 2 , (f 1 (x ) – f 2 (x )) = b 1 – b 2 .

Доказательство. На основании теоремы 1: f 1 (x ) = b 1 + a 1 (x ), f 2 (x ) = b 2 + a 2 (x ), где a 1 (x ), a 2 (x ) – б.м. при x ® a , тогда

f 1 (x ) + f 2 (x ) = (b 1 + a 1 (x )) + (b 2 + a 2 (x )) = (b 1 + b 2) + (a 1 (x ) + a 2 (x )).

Но a 1 (x ) + a 2 (x ) – б.м. функция при x ® a (как сумма двух б.м. функций), поэтому из равенства f 1 (x ) + f 2 (x ) = (b 1 + b 2) + (a 1 (x ) + a 2 (x )) по теореме 2 следует, что

(f 1 (x ) + f 2 (x )) = b 1 + b 2.

Аналогично проводится доказательство для разности.

Теорема 4 . Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т.е. если f 1 (x ) = b 1 , f 2 (x ) = b 2 , то (f 1 (x ) f 2 (x )) = b 1 × b 2 .

Доказательство. По теореме 1: f 1 (x ) = b 1 + a 1 (x ), f 2 (x ) = b 2 + a 2 (x ), где a 1 (x ), a 2 (x ) – б.м. при x ® a , тогда f 1 (x )× f 2 (x ) = b 1 × b 2 + b 1 ×a 2 (x ) + b 2 ×a 1 (x ) + a 1 (x )× a 2 (x ).

На основании следствий 2, 3, теоремы 1 (разд. 1.6) функции b 1 ×a 2 (x ), b 2 ×a 1 (x ), a 1 (x )×a 2 (x ) – б.м. при x ® a и a (x ) = b 1 ×a 2 (x ) + b 2 ×a 1 (x ) + a 1 (x )×a 2 (x ) – бесконечно малая функция при x ® a . Из равенства f 1 (x ) f 2 (x ) = b 1 b 2 + a (x ) по теореме 2 следует, что
(f 1 (x )f 2 (x )) = b 1 b 2 .

Следствие 1 . Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
(С ×f (x )) = С f (x ), где С – постоянное число.

Доказательство. С f (x ) = С f (x ) = С f (x ), так как С = С.

Следствие 2 . Если n – натуральное число, то [(f (x )) n ] = (f (x )) n .

Теорема 5 . Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если f 1 (x ) = b 1 ,
f 2 (x ) = b 2 и b 2 ¹ 0, то .

Доказательство. По теореме 1: f 1 (x ) = b 1 + a 1 (x ), f 2 (x ) = b 2 + a 2 (x ), где a 1 (x ), a 2 (x ) – б.м. при x ® a , тогда

Обозначим последнюю дробь a (x ) = , тогда + a (x ). Остается показать, что a (x ) – б.м. при x ® a . Действительно, числитель дроби
b 2 a 1 (x ) – b 1 a 2 (x ) – б.м. по свойствам бесконечно малых функций, предел
(b 2 2 + b 2 a 2 (x )) = b 2 2 ¹ 0, на основании теорем 3, 4. Поэтому – функция,ограниченная при x ® a (по теореме 3 разд. 1.6). Значит, a (x ) – б.м. при x ® a (по теореме 4 разд. 1.6). Теорема доказана.

Рассмотрим применение доказанных теорем при нахождении пределов.

Пример . Найти .

Решение. Найдем сначала предел числителя и знаменателя. По свойствам пределов3 x = 3x = 3(–2) = –6, 1 = 1, поэтому (3x – 1) = –6 – 1 = –7. Аналогично, (5 – 4x ) = 5 – 4(–2) = 13. Используя теорему 5, получим:

.

Теорема 6 . Если f (x ) существует и f (x ) ³ 0 для всех x из области определения функции, то f (x ) ³ 0.

Доказательство. Пусть . Докажем методом от противного, предполагая, что f (x ) = b < 0. Зафиксируем e = –, e > 0. По определению предела по e найдется x 0 , такое, что "x > x 0 |f (x ) – b | < e , отсюда b – e < f (x ) < b + e . Но e = –, поэтому "x > x 0 f (x ) < b – , f (x ) < , т.е. f (x ) < 0, что противоречит условию. Теорема доказана .

Теорема 7 . Если "x (f 1 (x ) ³ f 2 (x )) и f 1 (x ), f 2 (x ) существуют, то
f 1 (x ) ³ f 2 (x ).

Доказательство. Рассмотрим функцию F (x ) = f 1 (x ) – f 2 (x ), тогда "x (F (x ) ³ 0) иF (x ) существует. По теореме 6: F (x ) ³ 0, (f 1 (x ) – f 2 (x )) ³ 0, отсюда
f 1 (x ) ³ f 2 (x ). Теорема доказана .

Основные теоремы о пределах.

1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, т.е.

lim (u 1 + u 2 + … + u n) = lim u 1 + lim u 2 + … + lim u n

2. Предел произведения определенного числа переменнных равен произведению пределов этих переменных, т.е.

lim (u 1 × u 2 × … × u n) = lim u 1 × lim u 2 × … × lim u n

3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. если lim V ¹ 0 .

3. Если для соответствующих значений функций u = u(x), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства u £ z £ v и при этом u(x) и v(x) при х ® а (или х ® ¥ ) стремятся к одному и тому же пределу b , то z = z(x) при х ® а (или х ® ¥) стремится к тому же пределу.

Теорема 4 позволяет доказать справедливость важного соотношения, называемого первым замечательным пределом . (2.1)

Из (2.1) следует эквивалентность бесконечно малых х и sin x: sin x ~x.

y

y = sin x

x

y = x

Рис. 2.3

Удобно пояснить это графически. На рис. 2.3 приведены графики функций у = х и у = sinх . Легко видеть, что чем меньше х отличается от нуля, тем меньше отличие ординат (значений функций) соответствующих графиков, а при х = 0 они совпадают. (Это позволяет с высокой точностью при очень малых х определять приближенное значение sin x ).

Еще одно важное соотношение теории пределов, называемое вторым замечательным пределом имеет вид:
(2.2)

Число е – иррациональное (также как и число p ) и может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби е = 2,71828… ; играет важную роль в вычислительной математике, служа, в частности, основанием натурального логарифма, обозначаемого ln x = log e x . Функцию у = е х называют экспоненциальной функцией (иногда обозначается как ехр х ). В решении задач теории пределов могут быть полезны следующие равенства: . Можно также заменять бесконечно малые величины эквивалентными им:

Непрерывность функций. Функцию у = f(х) а если:

1.Эта функция определена в некоторой окрестности точки а и в самой точке;

2.Существует предел функции и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Можно предложить и иное определение. Пусть аргумент х 0 получит приращение Dх и примет значение х = х 0 + Dх . В общем случае функция также получит некоторое приращение Dу = f(х 0 + Dх) – f(х 0) .

Функцию f(х) называют непрерывной в точке х 0 , если она определена в этой точке и некоторой окрестности ее и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

(2.3) или (2.3`)

Приведем формулировку теоремы: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена и получим важное для решения задач теории пределов следствие. Запишем условие непрерывности в виде
или, что тоже самое, . Но и, следовательно, (2.4), т.е. для любой непрерывной функции во всех точках области определения ее справедливо соотношение (2.4) – предел функции равен функции предела (символы (и соответствующие операции) предела и функции можно поменять местами): .

Пример:

В ряде случаев удобно использовать следующее соотношение:

Говорят, что если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, b) , где a < b , то функция непрерывна на этом интервале. Точка внутри или на границе области определения, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва. Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа b 1 , b 2 и f(a) равны между собой, точка а называется точкой разрыва первого рода . Эти точки подразделяются на точки скачка , когда b 1 ¹ b 2 (скачок равен b 2 - b 1 ) и точки устранимого разрыва, когда b 1 = b 2 . Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода . В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пределов (Пример – “бесконечный” разрыв: ).

Рассмотрим некоторые свойства непрерывных функций (доказательства теорем можно найти в рекомендуемой литературе).

1. Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке , то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка х = х 1 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x 1) ³ f(x) , где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х 2 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x 2) ≤ f(x) .

y 1

y 2

y 3

x

a

m

M

в

Рис. 2.4

f(x) на этом отрезке. Поясним с помощью рис. 2.4, на котором представлены графики трех непрерывных на функций у 1 , у 2 и у 3 . Легко видеть, что на интервале функция у 1 один раз достигает наибольшего М и наименьшего m значений. Функция у 2 во всех точках имеет одно и то же значение – оно одновременно и наибольшее и наименьшее. Функция у 3 на дважды принимает наибольшее М и наименьшее m значения. Но хоть один раз наибольшее и наименьшее значения принимает каждая из них!

(Отметим, что на интервале (а, b) утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример: у = х – функция не имеет на интервале (а, b) наибольшего и наименьшего значений, т.к. не достигает значений а и b !)

у

у 2

а

в

х

у 1

Рис. 2.5

х

2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то между точками a и b найдется по крайней мере одна точка х = с , в которой функция обращается в нуль. (Это значит, что график функции хотя бы раз пересечет ось Ох в пределах этого отрезка; х = с – как раз такая точка). На рис. 2.5: графики функций у 1 и у 2 таковы, что на концах интервала их ординаты (значения функций) различны. При этом график у 1 пересекает ось Ох один раз, а график у 2 – три раза, но хоть один раз – каждый из них.

3. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a) = A и f(b) = B то, каково бы ни было число m , заключенное между числами А и В , найдется такая точка х = с , заключенная между a и b , что f(c) = m (легко видеть, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3).

Пусть f(x) и j (x) – функции, для которых существуют пределы при х ® х 0 (¥):

,

Тогда имеют место следующие теоремы о пределах:

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций:

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю):

(B ¹ 0)

Пример. Вычислить предел .

◄ Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, получаем:

Пример. Вычислить .

◄ Теорему о переделе частного здесь применять нельзя, т.к. числитель и знаменатель конечного предела не имеют. Имеем неопределенность . В подобных случаях для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу:

.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел :

Второй замечательный предел :

,

где –число Эйлера, которое является основанием для натуральных логарифмов. Последний предел можно записать в других формах:

,

.

Пример. Вычислить .

◄ Для раскрытия подобных неопределенностей используется первый замечательный предел:

Непрерывность функции.

Функция f (x ) называется непрерывной в точке х 0 , если она удовлетворяет следующим условиям:

1) она определена в точке ,т.е. существует f(х 0);

2) она имеет конечный предел функции при х ® х 0 ;

3) этот предел равен значению функции в точке х 0 ,

т.е.

Например, в точке х = 0 функция не является непрерывной (нарушено 1-е условие).

Функция, заданная выражением:

в точке х = 0 не является непрерывной из-за отсутствия предела при х ® 0, хотя существуют пределы слева и справа (см. рис.).

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Существует две разновидности точек разрыва.

Точка разрыва 1-го рода : существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х ® х 0 , не равные друг другу.

х = 0 для рассмотренной выше функции .

Точка разрыва 2-го рода : хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

В качестве примера можно указать точку х = 0 для функции .

Свойства функций непрерывных в точке:

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частные () являются функциями, непрерывными в точке .

2. Если функция y = f (x ) непрерывна в точке х 0 и f(x 0) > 0, то существует такая окрестность точки x 0 , в которой и f(x) > 0.

3. Если функция y = f (u ) непрерывна в точке u 0 и f(x 0) > 0, а функция непрерывна в точке х 0 , то сложная функция y = f [j (х )] непрерывна в точке х 0 .

Функция y = f (x ) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], то она ограничена на этом отрезке.

2. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.

3. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ] и ее значения на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка x Î (a, b ) такая, что f (x)=0.

Лекция 2.7.2 «Производная. Дифференциал»

Учебные вопросы:

1. Производная

2. Дифференциал

Производная

Производной от функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

Другие обозначения производной: .

Дифференцирование функции – это нахождение производной этой функции. Если функция имеет в точке x производную (конечную), то она называется дифференцируемой в этой точке.

Геометрический смысл производной: производная равна тангенсу угла между осью Ox и касательной, проведенной к графику функции в точке (см. рис.).

Механический смысл: производная пути по времени есть скорость точки в момент т.е. .

Производительность труда в момент есть производная объема произведенной продукции по времени .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. непрерывная функция может быть не дифференцируемой в точке , например, функция в точке .

Правила дифференцирования

1. Производная константы равна нулю, т.е. , где С - const.

2. Производная аргумента равна 1, т.е. .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX

§ 212. Основные теоремы о пределах функций

Прежде всего заметим, что не для всякой функции у = f (х ) существует предел f (х ). Так, например, при x -> π / 2 значения функции у = tg х (рис. 303) или неограниченно растут (при х < π / 2), или неограниченно убывают (при х > π / 2).

Поэтому нельзя указать никакого числа b , к которому стремились бы значения этой функции.

Другой пример. Пусть

График этой функции представлен на рисунке 304.

Когда значений аргумента х приближаются к 0, оставаясь отрицательными, соответствующие значения функции стремятся к 1. Когда значения аргумента х приближаются к 0, оставаясь положительными, соответствующие значения функции стремятся к -2. В самой же точке х = 0 функция обращается в 0. Очевидно, что указать одно какое-нибудь число, к которому стремились бы все значения у при приближении х к 0, нельзя. Поэтому данная функция не имеет предела при х -> 0.

Говоря в дальнейшем о пределе функции, мы всегда будем предполагать, что этот предел существует.

Предположение о существовании предела f (х ) еще не означает, что этот предел совпадает со значением функции f (х ) в точке х = а . Для примера рассмотрим функцию, график которой представлен на рисунке 305.

Очевидно, что предел f (х ) существует и равен 1. Но в самой точке х = 0 функция принимает значение, равное 2. Поэтому в данном случае

f (х ) =/= f (0).

Если функция у = f (х ) удовлетвoряет условию

f (х ) = f (a ),

то она называется непрерывной в точке х = а . Если же указанное условие не выполняется, то функция f (х ) называется разрывной в точке х = а ."

Все элементарные функции (например, у = х п , у = sin х , у = tg х , у = tg 2 х + tg х и т. д.) непрерывны в каждой точке, в которой они определены.

Функция у = f (х ) называется непрерывной в интервале [а, b ], если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Например, функция у = tg x непрерывна в интервале[- π / 4 , π / 4 ], функции у = sin x и y = cos x непрерывны в любом интервале и т. д.

Приведем без доказательства основные теоремы о пределах функций. Эти теоремы вполне аналогичны тем, которые мы рассматривали (также без доказательства) ранее при изучении пределов числовых последовательностей.

1. Предел константы равен самой этой константе:

с = с .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

[ k f (х )] = k f (х ).

3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

[ f (х ) ± g (х )] = f (х ) ± g (x ).

4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

[ f (х ) g (х )] = f (х ) g (x ).

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций.

Пример 1. Найти

При х -> 3 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе частного здесь невозможно. Однако данную дробь можно сократить:

(Обратите внимание на следующую важную особенность, характерную для рассмотренного примера. Когда мы говорим о пределе f (х ), то обычно предполагаем, что функция f (х ) определена во в с е х точках, достаточно близких к точке х = а . Однако функция определена лишь для положительных значений х . Поэтому, рассматривая предел этой функции, мы фактически предполагаем, что х -> 0, оставаясь все время положительным. В подобных случаях говорят не просто о пределе, а об одностороннем пределе. С аналогичными примерами мы еще встретимся при выполнении упражнений к этому параграфу.)

Основные теоремы о пределах .

Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны:

f(x)=g(x) => .

Теорема (о предельном переходе в неравенствах) . Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство f(x)≤ g(x), то верно и неравенство: .

Теорема . Предел постоянной равен самой постоянной: .

Док-во. Проводится на основании определения, где в качестве можно взять любое положительное число. Тогда при .▲

Теорема (о единственности предела). Функция не может иметь более одного предела в данной точке.

Док-во. Предположим противное. Пусть и , . Тогда по теореме о связи предела и БМ:

- БМ при ,

- БМ при . Вычитая эти равенства, получим:

На основании свойства 1 БМФ это есть БМ. Переходя в этом равенстве к пределу, получим:

,

Получено противоречие, доказывающее теорему.▲

Необходимые условия существования конечного предела функции.

Теорема (о локальной ограниченности) . Для существования конечного предела функции в точке необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) функция была ограничена.

Теорема (о локальном повторении функцией свойств предела). Для существования в точке конечного предела необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) .

Достаточные условия существования конечного предела функции.

Теорема (об арифметике) . Если для и существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем:

Если , то существует конечный предел частного:

Док-во. Докажем, например, второе равенство.

Пусть существуют конечные пределы и . Докажем, что существует конечный предел .

Итак, мы должны доказать, что:

Возьмем произвольное . Найдем из условия , т.е. для этого : .

Найдем из условия , т.е. для этого :

Т.к. для по условию существует конечный предел в т. , то эта функция будет ограниченной в некоторой окрестности т. (по теореме о локальной ограниченности), т.е. - некоторой константы.

Положим . Проверим, что это - искомое. Действительно,

Теорема (о промежуточной функции) . Пусть для функций и существуют конечные пределы в т., равные друг другу, и в некоторой окрестности т. , за исключением самой этой точки, выполняется условие:

. Тогда для тоже существует конечный предел в т. , равный значению пределов функций и .

Теорема (о пределе монотонной ограниченной функции) . Если функция монотонно возрастает (убывает) в некоторой окрестности т. и ограничена сверху (снизу), то она имеет в этой точке соответствующий односторонний предел.

Вычисление пределов функций .

Теорема об арифметике позволяет не только устанавливать факт существования конечного предела, но и вычислять его.

Пример. .

Однако, в ряде случаев теорема об арифметике не может быть применена.

, . Теорему применять нельзя, хотя

В этих случаях говорят, что имеет место неопределенность. Для вычисления предела необходимо преобразовать функцию тождественным образом так, чтобы теорема об арифметике стала применима (т.е. раскрыть неопределенность).

К неопределенностям относят следующие ситуации:

Замечательные пределы .

Теорема 1 (первый замечательный предел) . Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Док-во. Рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О. Пусть сначала . Из рисунка видно, что.

;

;

Таким образом,

Разделив обе части этого выражения на

>0, получим:

или .

Переходя в этом неравенстве к пределу при , получим: .

По теореме о промежуточной функции .

При полученные выводы также будут справедливы (доказать самостоятельно).▲

Следствия. ; ; .

Теорема 2 (второй замечательный предел) . Числовая последовательность имеет конечный предел, равный числу е:

, ()

Следствия. ; .

К числу е приводят многие задачи из области физики, биологии, ядерной физики, демографии и т.п. Рассмотрим применение второго замечательного предела в экономических расчетах.

Задача о непрерывном начислении процентов .

1. Простые проценты . В банк под проценты положена денежная сумма . Ежегодная процентная ставка составляет р %. Каков будет размер вклада Q через t лет?

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.

Через год сумма составит ,

Через два года: ;

Через t лет:

- формула простых процентов.

2. Сложные проценты . При использовании сложных процентов начисляются «проценты на проценты», т.е. размер вклада увеличивается ежегодно в одно и то же число раз:

- формула сложных процентов.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов не применяется, но используется в демографических, инвестиционных и др. расчетах.