Ðассматривается отношение перпендикулярности плоскостей - одно из важнейших и наиболее используемых в геометрии пространства и ее приложениях.
Из всего разнообразия взаимного расположения
Двух плоскостей особого внимания и изучения заслуживает то, при котором плоскости перпендикулярны друг другу (например, плоскости смежных стен комнаты,
забора и участка земли, двери и пола и т. п. (рис. 417, а–в).
Приведенные примеры позволяют увидеть одно из основных свойств отношения, которое мы будем изучать, - симметричность расположения каждой из плоскостей относительно другой. Симметрия обеспечивается тем, что плоскости вроде бы «сотканы» из перпендикуляров. Попробуем уточнить эти наблюдения.
Пусть имеем плоскость α и прямую с на ней (рис. 418, а). Проведем через каждую точку прямой с прямые, перпендикулярные плоскости α. Все эти прямые параллельны между собой (почему?) и составляют, на основании задачи 1 § 8, некоторую плоскость β (рис. 418, б). Естественно назвать плоскость β перпендикуляр ной плоскости α.
В свою очередь, все прямые, лежащие в плоскости α и перпен- дикулярные прямой с , образуют плоскость α и перпендикулярны плоскости β (рис. 418, в). Действительно, если а - произвольная такая прямая, то она пересекает прямую с в некоторой точке М . Через точку М проходит в плоскости β перпендикулярная α пря- мая b , поэтому b а . Следовательно, а с, а b , поэтому а β. Таким образом, плоскость α перпендикулярна плоскости β, а пря- мая с является линией их пересечения.
Две плоскости называются перпендикулярными, если каждая из них образована прямыми, перпенди кулярными второй плоскости и проходящими через точки пересечения этих плоскостей.
Перпендикулярностьплоскостейαиβобоз- начается привычным уже знаком: α β.
Одну из иллюстраций этого определения можно представить, если рассмотреть фраг- мент комнаты дачного домика (рис. 419). В нем пол и стена сложены из досок, перпен- дикулярных соотвественно стене и полу. По- этому они перпендикулярны. На практике
это означает, что пол горизонтален, а стена вертикальна.
Приведенное определение трудно использовать при фактичес- кой проверке перпендикулярности плоскостей. Но если внима- тельно проанализировать рассуждения, которые привели к этому определению, то видим, что перпендикулярность плоскостей α и β обеспечило наличие в плоскости β прямой b , перпендикулярной плоскости α (рис. 418, в). Мы пришли к признаку перпендику- лярности двух плоскостей, который чаще всего применяется на практике.
406 Перпендикулярность прямых и плоскостей
Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей).
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную второй плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Пусть плоскость β проходит через прямую b , перпендику- лярную плоскости α и с - линия пересечения плоскостей α и β (рис. 420, а). Все прямые плоскости β, параллельные прямой b и пересекающие прямую с , вместе с прямой b образуют плоскость β. По теореме о двух параллельных прямых, одна из которых пер- пендикулярна плоскости (теорема 1 § 19), все они вместе с прямой b перпендикулярны плоскости α. То есть плоскость β состоит из прямых, проходящих через линию пересечения плоскостей α и β и перпендикулярных плоскости α (рис. 420, б).
Теперь в плоскости α через точку А пересечения прямых b и с проведем прямую а , перпендикулярную прямой с (рис. 420, в). Прямая а перпендикулярна плоскости β, по признаку перпен- дикулярности прямой и плоскости (а с , по построению, а b , так как b α). Повторив предыдущие рассуждения, получим, что плоскость α состоит из прямых, перпендикулярных плоскости β, проходящих через линию пересечения плоскостей. Согласно оп- ределению, плоскости α и β перпендикулярны. ■
Приведенный признак дает возможность устанавливать пер- пендикулярность плоскостей или же обеспечивать ее.
П р и м е р 1 . Прикрепить щит к столбу так, чтобы он был распо- ложен вертикально.
Если столб стоит вертикально, то достаточно приложить произвольно щит к столбу и закрепить его (рис. 421, а). Согласно рассмотренному выше признаку, плоскость щита будет перпенди- кулярна поверхности земли. В этом случае задача имеет беско- нечное множество решений.
Перпендикулярность плоскостей |
||
Если же столб стоит наклонно к земле, то достаточно к столбу прикрепить вертикальную рейку (рис. 421, б), а затем щит при- крепить и к рейке, и к столбу. В этом случае положение щита бу- дет вполне определённым, поскольку столб и рейка определяют единственную плоскость. ■
В предыдущем примере «техническое» задание свелось к мате- матической задаче о проведении через данную прямую плоскос- ти, перпендикулярной другой плоскости.
П р и м е р 2 . Из вершины A квадрата ABCD проведен перпен- дикулярный его плоскости отрезок AK, AB = AK = а.
1) Определить взаимное расположение плоскостей AKC и ABD ,
AKD и ABK.
2) Построить плоскость, проходящую через прямую BD перпенди- кулярно плоскости ABC.
3) Провести через середину F отрезка KC плоскость, перпендику- лярную плоскости KAC .
4) Найти площадь треугольника BDF.
Построим рисунок, соответствующий условию примера (рис. 422).
1) Плоскости AKC и ABD перпендикуляр- ны, по признаку перпендикулярности плос- костей (теорема 1): AK ABD , по условию. Плоскости AKD и ABK также перпендику-
лярны, по признаку перпендикулярности плоскостей (теорема 1). Действительно, прямая AB , через кото- рую проходит плоскость ABK , перпендикулярна плоскости AKD , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18): AВ AD , как смежные стороны квадрата; AВ AK , так как
AK ABD.
2) По признаку перпендикулярности плоскостей, для искомого построениядостаточночерезнекоторуюточкупрямойBD провести
408 Перпендикулярность прямых и плоскостей
прямую, перпендикулярную плоскости ABC. А для этого достаточ- но через эту точку провести прямую, параллельную прямой AK.
Действительно, по условию, прямая AK перпендикулярна плос- кости ABC и потому, согласно теореме о двух параллельных пря-
мых,однаизкоторыхперпендикулярнаплоскости(теорема1§19), |
|||||||||||||||||
построенная прямая будет перпендикулярна плоскости ABC. |
|||||||||||||||||
Построение. |
Через точку |
B проводим |
|||||||||||||||
ВЕ, |
параллельную |
||||||||||||||||
(рис. 423). Плоскость BDE - искомая. |
|||||||||||||||||
3) Пусть F - середина отрезка KC. Про- |
|||||||||||||||||
ведем через точку |
перпендику- |
||||||||||||||||
плоскости |
Этой прямой бу- |
||||||||||||||||
дет прямая |
FO , где |
О - центр квадрата |
|||||||||||||||
ABCD (рис. 424). Действительно, FO || AK , |
|||||||||||||||||
как средняя |
линия треугольника |
||||||||||||||||
Поскольку |
перпендикуляр- |
||||||||||||||||
на плоскости |
прямая FO |
бу- |
|||||||||||||||
дет ей перпендикулярна, по теореме о |
|||||||||||||||||
двух параллельных прямых, одна из кото- |
|||||||||||||||||
рых перпендикулярна плоскости (теорема 1 |
|||||||||||||||||
§ 19). Поэтому |
FO DB. А поскольку AC DB, то DB AOF (или |
||||||||||||||||
KAC). Плоскость |
BDF проходит через прямую, перпендикуляр- |
||||||||||||||||
ную плоскости KAC, то есть она является искомой. |
|||||||||||||||||
4) В треугольнике |
BDF отрезок FO |
Высота, проведенная к |
|||||||||||||||
стороне BD (см. рис. 424). Имеем: BD = |
2 a , как диагональ квад- |
||||||||||||||||
рата; FO = 1 |
AK = |
1 a , по свойству средней линии треугольника. |
|||||||||||||||
Таким образом, S = 2 BD FO = |
2 2 a |
2 a = |
. ■ |
||||||||||||||
Ответ: 4) |
a 2 . |
||||||||||||||||
Исследование свойств отношения перпендикуляр- |
|||||||||||||||||
ности плоскостей и его применений начнем с прос- |
|||||||||||||||||
той, но очень полезной теоремы. |
|||||||||||||||||
Теорема 2 (о перпендикуляре к линии пересечения перпенди- кулярных плоскостей).
Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, принадлежащая одной плоскости и перпендикулярная линии пересечения этих плоскостей, перпендикулярна второй плоскости.
Пусть перпендикулярные плоскости
α и β пересекаются по прямой с, а прямая b в плоскости β перпендикулярна прямой с и пересекает ее в точке В (рис. 425). По опре-
делению перпендикулярности плоскостей, в плоскости β через точку В проходит прямая
b 1 ,перпендикулярная плоскости α. Понятно, что она перпендикулярна прямой с . Но че-
рез точку прямой в плоскости можно провес- ти лишь одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Поэтому
прямые b и b 1 совпадают. А это означает, что прямая одной плоскос- ти, перпендикулярная линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна второй плоскости. ■
Применим рассмотренную теорему к обоснованию еще одного признака перпендикулярности плоскостей, важного с точки зре- ния последующего изучения взаимного расположения двух плос- костей.
Пустьплоскостиαиβперпендикулярны, прямая с - линия их пересечения. Через произвольную точку А прямой с проведем
в плоскостях α и β прямые а и b, перпен- дикулярные прямой с (рис. 426). По теоре-
ме 2, прямые а и b перпендикулярны соот- ветственно плоскостям β и α, поэтому они перпендикулярны между собой: а b . Пря-
мые а и b определяют некоторую плоскость γ. Линия пересечения с плоскостей α и β
перпендикулярна плоскости γ, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18): с а , с b , а γ, b γ. Если учесть произвольность выбора точки А на прямой с и тот факт, что через точку А прямой с проходит единственная плоскость, ей перпендикулярная, то можно сделать следующий вывод.
Теорема 3 (о плоскости, перпендикулярной линии пересече- ния перпендикулярных плоскостей).
Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей, пересекает эти плоскости по перпендикулярным прямым.
Таким образом, установлено еще одно свойство перпендику- лярных плоскостей. Это свойство является характеристическим, то есть если оно справедливо для некоторых двух плоскостей, то плоскости перпендикулярны между собой. Имеем еще один при- знак перпендикулярности плоскостей.
Теорема 4 (второй признак перпендикулярности плоскос- тей).
Если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной линии их пересечения, перпендикулярны, то данные плоскости тоже перпендикулярны.
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с , и плоскость γ, перпендикулярная прямой с , пересекает плоскости α и β соот-
ветственно по прямым а и b (рис. 427). По условию, а b . Поскольку γ с , то а с. А поэтому прямая а перпендикулярна плос- кости β, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18). Отсю-
да вытекает, что плоскости α и β перпенди- кулярны, по признаку перпендикулярнос- ти плоскостей (теорема 1). ■
Заслуживают внимания и теоремы о связях перпендикуляр- ности двух плоскостей третьей плоскости с их взаимным распо- ложением.
Теорема 5 (о линии пересечения двух плоскостей, перпендику- лярных третьей плоскости).
Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости.
Пусть плоскости α и β, перпендикулярные плоскости γ, пере- секаются по прямой а (a || γ), и А - точка пересечения прямой а с
Перпендикулярность плоскостей |
|
плоскостью γ (рис. 428). Точка А принадле- |
|
жит линиям пересечения плоскостей γ и α, γ |
|
и β, а, по условию, α γ и β γ. Поэтому, по |
|
определению перпендикулярности плоскос- |
|
тей, через точку А можно провести прямые, |
|
лежащие в плоскостях α |
и β и перпендику- |
лярные плоскости γ. Поскольку через точку |
|
можно провести лишь одну прямую, пер- |
|
пендикулярную плоскости, то построенные |
|
прямые совпадают и совпадают с линией |
|
пересечения плоскостей α и β. Таким образом, прямая а - линия |
|
пересечения плоскостей α и β - перпендикулярна плоскости γ. ■ |
Рассмотрим теорему, описывающую связь между параллель- ностью и перпендикулярностью плоскостей. Соответствующий ре- зультат мы уже имели для прямых и плоскостей.
Теорема 6 (о параллельных плоскостях, перпендикулярных третьей плоскости).
Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна третьей, то и вторая плоскость перпендикулярна ей.
Пусть плоскости α и β парал- лельны, а плоскость γ перпендикуляр- на плоскости α. Поскольку плоскость γ
пересекает плоскость α, то она должна пересекать и параллельную ей плос- кость β. Возьмем в плоскости α про-
извольную прямую m , перпендику- лярную плоскости γ, и проведем через нее, а также через произвольную точ- ку плоскости β, плоскость δ (рис. 429).
Плоскости δ и β пересекаются по прямой п, а поскольку α ║ β, то т ║ п (теорема 2 §18). Из теоремы 1 вытекает, что п γ, а потому перпендикулярной плоскости γ будет и плоскость β, проходящая через прямую п. ■
Доказанная теорема дает еще один признак перпендикуляр- ности плоскостей.
Через заданную точку провести плоскость, перпендикулярную данной, можно с помощью признака перпендикулярности плоскос- тей (теорема 1). Достаточно через эту точку провести прямую, пер- пендикулярную данной плоскости (см. задачу 1 § 19). А затем через построеннуюпрямуюпровестиплоскость.Онабудетперпендикуляр- ной данной плоскости по указанному признаку. Понятно, что таких плоскостей можно провести бесконечное множество.
Более содержательной является задача о построении плоскос- ти, перпендикулярной данной, при условии, что она проходит че- рез данную прямую. Понятно, что если данная прямая перпенди- кулярна данной плоскости, то таких плоскостей можно построить бесконечное множество. Осталось рассмотреть случай, когда дан- ная прямая не перпендикулярна данной плоскости. Возможность такого построения обоснована на уровне физических моделей прямых и плоскостей в примере 1.
З а д а ч а 1 . Доказать, что через произвольную прямую, не пер- пендикулярную плоскости, можно провести плоскость, перпенди- кулярную данной плоскости.
Пусть даны плоскость α и прямая l , l B\ a. Возьмём на прямой l произвольную точку М и проведем через нее прямую т, перпен- дикулярную плоскости α (рис. 430, а). Поскольку, по условию, l не перпендикулярна α, то прямые l и т пересекаются. Через эти прямые можно провести плоскость β (рис. 430, б), которая, соглас- но признаку перпендикулярности плоскостей (теорема 1), будет перпендикулярной плоскости α. ■
П р и м е р 3 . Через вершину А правильной пирамиды SABC с основанием ABC провести прямую, перпендикулярную плоскости боковой грани SBC.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о пер- пендикуляре к линии пересечения перпендикулярных плоскостей
(теорема 2). Пусть K - середина ребра BC (рис. 431). Плоскости AKS и BCS перпенди- кулярны, по признаку перпендикулярнос- ти плоскостей (теорема 1). Действительно, ВС SK и ВС АK , как медианы, проведен- ные к основаниям в равнобедренных тре угольниках. Поэтому, по признаку перпенди- кулярности прямой и плоскости (теорема 1 §18), прямая ВС перпендикулярна плоскости AKS. Плоскость BCS проходит через прямую, перпендикулярную плоскости AKS.
Построение. Проведем в плоскости AKS из точки A прямую AL , перпендикулярную прямой KS - линии пересечения плоскостей AKS и BCS (рис. 432). По теореме о перпен- дикуляре к линии пересечения перпендику- лярных плоскостей (теорема 2), прямая AL перпендикулярна плоскости BCS. ■
На рис. 433 изображен квадрат ABCD , |
|||||
прямая MD перпендикулярна плоскости |
|||||
ABCD. Какие из пар плоскостей не явля- |
|||||
ются перпендикулярными: |
|||||
MAD и MDC; |
МВС и МАВ; |
||||
ABC и MDC; |
MAD и МАВ ? |
2. На рис. 434 изображена правиль - ная четырехугольная пирамида
SABCD, точки P, M, N - середи -
ны рёбер AB, BC, BS, O - центр основания ABCD. Какие из пар плос - костей перпендикулярны:
1) ACS и BDS; 2) MOS и POS;
3) COS и MNP; 4) MNP и SOB;
5) CND и ABS?
Перпендикулярность прямых и плоскостей |
||
3. На рис. 435 |
изображен прямоугольный |
|
треугольник |
с прямым углом C и |
|
прямая BP , перпендикулярная плоскос- |
||
ти ABC . Какие из следующих пар плос- |
||
костей перпендикулярны: |
||
1) CBP и ABC; |
2) ABP и ABC; |
3) PAC и PBC; 4) PAC и PAB?
4. Две плоскости перпендикулярны. Можно ли через произвольную точку одной из них провести прямую в этой плоскости, второй плоскости?
5. В плоскости α нельзя провести прямую, плоскости β. Могут ли эти плоскости быть ми?
6. Через некоторую точку плоскости α проходит щая в этой плоскости и перпендикулярная плоскости ли, что плоскости α и β перпендикулярны?
Секция забора прикреплена к вертикальному столбу ли утверждать, что плоскость забора вертикальна?
Как к рейке, параллельной поверхности земли, прикрепить вертикально щит?
Почему поверхность дверей, независимо от того, закрыты они или открыты, располагается вертикально к полу?
Почему отвес плотно прилегает к вертикальной стене, а к на- клонной - не обязательно?
Можно ли к наклонному столбу прикрепить щит так, чтобы он был перпендикулярен поверхности земли?
Как на практике установить, перпендикулярна ли плоскость
стены плоскости пола? перпендикулярнуюперпендикулярнуюперпендикулярны - прямая, лежа - β. Верно 7. . Можно 8.9.10.11.12.
Графические упражнения
1. На рис. 436 изображен куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
1) Укажите плоскости, перпендикулярные плоскости ВDD 1 .
2) Как расположены плоскости и
A1 B1 CAB 1 C 1
Перпендикулярность плоскостей |
|||||||
437 плоскости квадратов ABCD и |
|||||||
ABC1 D1 |
перпендикулярны. Расстояние |
СC1 |
|||||
равно b . Найдите длину отрезка: |
|||||||
АВ; |
D1 C; |
||||||
D1 D; |
C1 D. |
дан- |
|||||
Постройте рисунок по приведенным |
|||||||
1) Плоскости равносторонних треугольников |
|||||||
АВС и АВK перпендикулярны. |
|||||||
Плоскость АВС перпендикулярна плоскостям BDC и BEA. |
|||||||
Плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ и пересе- |
|||||||
каются по прямой а, линиями их пересечения с плоскостью γ |
|||||||
являются прямые b и с. |
|||||||
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плос- |
|||||||
кости АВ 1 С 1 и ВСА 1 перпендикулярны. |
421. Отрезок OS проведен из центра О квадрата ABCD перпен- дикулярно его плоскости.
1°) Определите взаимное расположение плоскостей ACS
и АВС.
2°) Определите взаимное расположение плоскостей ACS
и BDS .
3) Постройте плоскость, проходящую через прямую OS пер- пендикулярно плоскости ABS.
4) Постройте плоскость, перпендикулярную плоскости АВС и проходящую через середины сторон AD и CD.
422. Из точки пересечения O диагоналей ромба ABCD проведен перпендикулярный плоскости ромба отрезок OS ; AB = DB =
1°) Определите взаимное расположение плоскостей SDB и
ABC, SDB и ACS.
2°) Постройте плоскость, проходящую через прямую BC пер- пендикулярно плоскости ABD.
3) Проведите через середину F отрезка CS плоскость, пер- пендикулярную плоскости АВС.
4) Найдите площадь треугольника BDF.
423. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 .
1°) Определите взаимное расположение плоскостей АВ 1 С 1
и CDD1 .
2°) Определите взаимное расположение плоскостей АВ 1 С 1
и CD1 A1 .
3°) Постройте плоскость, проходящую через точку А перпен- дикулярно плоскости BB 1 D 1 .
4) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через се- редины рёбер А 1 D 1 и B 1 C 1 перпендикулярно плоскости АВС. 5)ОпределитевзаимноерасположениеплоскостиАА 1 В иплос- кости, проходящей через середины рёбер А 1 В 1 , C 1 D 1 , CD.
6) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через ребро ВВ 1 и середину ребра A 1 D 1 (ВВ 1 = а ).
7) Постройте точку, симметричную точке А относительно плоскости A 1 B 1 C.
424. В правильном тетраэдре АBCD с ребром 2 см точка М - се- редина DВ , а точка N - середина АС.
1°) Докажите, что прямая DВ перпендикулярна плоскости
2°) Докажите, что плоскость ВDМ перпендикулярна плос- кости АМС.
3) Через точку О пересечения медиан треугольника АDС проведите прямую, перпендикулярную плоскости АМС.
4) Найдите длину отрезка этой прямой внутри тетраэдра. 5) В каком отношении плоскость АМС делит этот отрезок?
425. Два равносторонних треугольника АВС и ADC лежат в пер- пендикулярных плоскостях.
1°) Найдите длину отрезка BD, если AC = 1 см.
2) Докажите, что плоскость BKD (K лежит на прямой AC ) перпендикулярна плоскости каждого из треугольников тог- да и только тогда, когда K является серединой стороны AC.
426. Прямоугольник ABCD, стороны которого 3 см и 4 см, пере- гнули по диагонали AC так, что треугольники ABC и ADC расположились в перпендикулярных плоскостях. Опреде- лите расстояние между точками B и D после того, как пере- гнули прямоугольник ABCD.
427. Через данную точку проведите плоскость, перпендикуляр- ную каждой из двух данных плоскостей.
428°. Докажите, что плоскости смежных граней куба перпендику- лярны.
429. Плоскости α и β перпендикулярны между собой. Из точки А плоскости α проведена перпендикулярная плоскости β пря- мая АВ. Докажите, что прямая АВ лежит в плоскости α.
430. Докажите, что если плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой.
431. Через точки А и В , лежащие на линии пересечения р пер- пендикулярных между собой плоскостей α и β, проведены перпендикулярные р прямые: АА 1 в α, ВВ 1 в β. Точка X ле- жит на прямой АА 1 , а точка Y - на ВB 1 . Докажите, что пря- мая ВB 1 перпендикулярна прямой ВХ , а прямая АA 1 пер- пендикулярна прямой АY.
432*. Через середину каждой стороны треугольника проведена плоскость, перпендикулярная этой стороне. Докажите, что все три проведенные плоскости пересекаются по одной пря- мой, перпендикулярной плоскости треугольника.
Упражнения для повторения
433. В равностороннем треугольнике со стороной b определите: 1) высоту; 2) радиусы вписанной и описанной окружностей.
434. Из одной точки проведен к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Определите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную прямую относятся, как 3: 10.
435. Определите катеты прямоугольного треугольника, если бис - сектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 15 см и
Основное определение
Две плоскости называ-
ются перпендикуляр ными, если каждая из них образована прямы - ми, перпендикулярны - ми второй плоскости и проходящими через точки пересечения этих плоскостей.
Основные утверждения |
||||
Признак перпенди |
Если одна |
|||
кулярности |
плоскостей |
прохо- |
||
плоскостей |
дит через |
|||
перпендикулярную |
||||
второй плоскости, то |
b α, b β α β |
|||
эти плоскости пер- |
||||
пендикулярны. |
перпен- |
две плоскости |
||||
дикуляре |
перпендикулярны, то |
||||
пересеченияперпен |
прямая, принадлежа- |
||||
дикулярных |
плос- |
щая одной плоскости |
|||
и перпендикулярная |
|||||
пересечения |
|||||
этих плоскостей, пер- |
α β, b β, c = α ∩β, |
||||
пендикулярна второй |
b c b α |
||||
плоскости. |
Любая плоскость, перпендикулярная к прямой пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Признак перпендикулярности плоскостей
Теорема 1. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (см. рисунок).Теорема 2. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и ко второй плоскости (см. рисунок).
Пример применения теоремы 2
Пусть есть две перпендикулярные плоскости и , которые пересекаются по прямой a (см. рисунок). Найти расстояние от точки A , которая лежит в плоскости и не лежит в плоскости , плоскости .
В плоскости строим перпендикуляр к a через точку A . Пусть он пересекает a в точке B . AB - искомое расстояние.
Обратите внимание на такое.
1. Через точку вне плоскости можно провести множество плоскостей, перпендикулярных к этой плоскости (см. рисунок). (Но все они пройдут через перпендикулярную к этой плоскости прямую, которая проходит через данную точку.)
2. Если плоскость перпендикулярна к данной плоскости, то это не значит, что она перпендикулярна и к произвольной прямой, параллельной этой плоскости.
Например, на рисунке ниже , и пересекаются по прямой b , причем a входит в одной из плоскостей и . Следовательно, прямая a в то же время параллельная двум перпендикулярным плоскостям.
Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей
Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро).
Рис. 1
Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.
Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.
Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.
Рис. 2
На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.
Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.
Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Доказать:
Рис. 3
Доказательство:
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.
Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.
Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла.
Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).
Доказать:
Рис. 4
Доказательство:
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.
Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей
Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро).
Рис. 1
Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.
Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.
Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.
Рис. 2
На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.
Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.
Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Доказать:
Рис. 3
Доказательство:
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.
Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.
Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла.
Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).
Доказать:
Рис. 4
Доказательство:
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.
Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.