Найдем связь между оптической характеристикой и расстояниями, определяющими положение предмета и его изображения.
Пусть предметом служит некоторая точка А, располагающаяся на оптической оси. Используя законы отражения света, построим изображение этой точки (рис. 2.13).
Обозначим
расстояние от предмета до полюса зеркала
(АО),
а от полюса до изображения
(ОА).
Рассмотрим
треугольник АРС, получаем, что
Из треугольника
АРА, получаем, что
.
Исключим из этих выражений угол
,
так как единственный который не опирается
на ОР.
,
или
(2.3)
Углы ,,опираются на ОР. Пусть рассматриваемые пучки параксиальны, тогда эти углы малы и, следовательно, их значения в радианной мере равно тангенсу этих углов:
;
;
,
гдеR=OC,
является радиусом кривизны зеркала.
Подставим полученные выражения в уравнение (2.3)
Так как мы ранее выяснили, что фокусное расстояние связано с радиусом кривизны зеркала, то
(2.4)
Выражение (2.4) называется формулой зеркала, которая используется лишь с правилом знаков:
Расстояния
,
,
считаются положительными, если они
отсчитываются по ходу луча, и отрицательными
– в противном случае.
Выпуклое зеркало .
Рассмотрим несколько примеров на построение изображений в выпуклых зеркалах.
Фокус выпуклого зеркала мнимый. Формула выпуклого зеркала
.
Правило знаков для d и f остается таким же, как и для вогнутого зеркала.
Линейное увеличение предмета определяется отношением высоты изображения к высоте самого предмета
. (2.5)
Таким образом, независимо от расположения предмета относительно выпуклого зеркала изображение оказывается всегда мнимым, прямым, уменьшенным и расположенным за зеркалом. В то время как изображения в вогнутом зеркале более разнообразны, зависят от расположения предмета относительно зеркала. Поэтому вогнутые зеркала применяются чаще.
Рассмотрев принципы построения изображений в различных зеркалах, мы подошли к пониманию действия столь различных приборов, как астрономические телескопы и увеличивающие зеркала в косметических приборах и медицинской практике, мы способны сами спроектировать некоторые приборы.
Зеркальное отражение, диффузное отражение
Плоское зеркало.
Простейшей оптической системой является плоское зеркало. Если параллельный пучок лучей, падающий на плоскую поверхность раздела двух сред, после отражения остается параллельным, то отражение называется зеркальным, а сама поверхность называется плоским зеркалом (рис. 2.16).
Если отражающая поверхность шероховата, то отражение неправильное и свет рассеивается, или диффузно отражается (рис.2.19)
Диффузное отражение гораздо более приятно для глаза, чем отражение гладкими поверхностями, называемое правильным отражением.
Линзы.
Линзы, также как и зеркала являются оптическими системами, т.е. способны изменять ход светового луча. Линзы по форме могут быть различными: сферическими, цилиндрическими. Мы остановимся только на сферических линзах.
Прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями, называется линзой .
Собирающие линзы . Фокусом собирающей линзы называется точка, в которой пересекаются параллельные оптической оси лучи после преломления в линзе. Фокус собирающей линзы – действительный. Фокус, лежащий на главной оптической оси, называется главным фокусом. Любая линза имеет два главных фокуса: передний (со стороны падающих лучей) и задний (со стороны преломленных лучей). Плоскость, в которой лежат фокусы, называется фокальной плоскостью. Фокальная плоскость всегда перпендикулярна главной оптической оси и проходит через главный фокус. Расстояние от центра линзы до главного фокуса называется главным фокусным расстоянием F (рис.2.21).
Для построения изображений какой- либо светящейся точки следует проследить ход любых двух лучей, падающих на линзу и преломленных в ней до их пересечения (или пересечения их продолжения). Изображение протяженных светящихся предметов представляет собой совокупность изображений отдельных его точек. Наиболее удобными лучами, используемыми при построении изображений в линзах, являются следующие характерные лучи:
На рисунке 2.25 продемонстрировано построение изображения точки А предмета АВ.
Кроме перечисленных лучей при построении изображений в тонких линзах используют лучи, параллельные какой-либо побочной оптической оси. Следует иметь в виду, что лучи, падающие на собирающую линзу пучком, параллельным побочной оптической оси, пересекают заднюю фокальную поверхность в той же точке, что и побочная ось.
Формула тонкой линзы:
, (2.6)
где F - фокусное расстояние линзы; D - оптическая сила линзы; d - расстояние от предмета до центра линзы; f - расстояние от центра линзы до изображения. Правило знаков будет таким же, как и для зеркала: все расстояния до действительных точек считаются положительными, все расстояния до мнимых точек считаются отрицательными.
Линейное увеличение, даваемое линзой,
, (2.7)
где H - высота изображения; h - высота предмета.
Рассеивающие линзы . Лучи, падающие на рассеивающую линзу параллельным пучком, расходятся так, что их продолжения пересекаются в точке, называемоймнимым фокусом.
Правила хода лучей в рассеивающей линзе:
2)луч, идущий вдоль оптической оси, не меняет своего направления.
Формула рассеивающей линзы:
(правило знаков остается прежним).
На рисунке 2.27 приведен пример построения изображений в рассеивающих линзах.
Если отражающая поверхность зеркала является плоской, то оно относится к типу плоских зеркал. Свет всегда отражается от плоского зеркала без рассеяния по законам геометрической оптики:
- Угол падения равен углу отражения.
- Падающий луч, отраженный луч и нормаль к поверхности зеркала в точке падения лежат в одной плоскости.
Следует помнить, что у стеклянного зеркала отражающая поверхность (обычно тонкий слой алюминия или серебра) помещается на его задней стороне. Ее покрывают защитным слоем. Это означает, что хотя основное отраженное изображение формируется на этой поверхности, свет будет также отражаться и от передней поверхности стекла. Образуется вторичное изображение, которое гораздо слабее основного. Оно, как правило, невидимо в повседневной жизни, но создает серьезные проблемы в области астрономии. По этой причине все астрономические зеркала имеют отражающую поверхность, нанесенную на переднюю сторону стекла.
Типы изображений
Существует два типа изображений: действительное и мнимое.
Действительное формируется на пленке видеокамеры, фотоаппарата или на сетчатке глаза. Световые лучи проходят через линзу или объектив, сходятся, падая на поверхность, и на своем пересечении образуют изображение.
Мнимое (виртуальное) получается, когда лучи, отражаясь от поверхности, образуют расходящуюся систему. Если достроить продолжение лучей в противоположную сторону, то они обязательно пересекутся в определенной (мнимой) точке. Именно из таких точек формируется мнимое изображение, которое невозможно зарегистрировать без использования плоского зеркала или других оптических приборов (лупы, микроскопа или бинокля).
Изображение в плоском зеркале: свойства и алгоритм построения
Для реального объекта, изображение, полученное с помощью плоского зеркала, является:
- мнимым;
- прямым (не перевернутым);
- размеры изображения равны размерам объекта;
- изображение находится на таком же расстоянии за зеркалом, как объект перед ним.
Построим изображение некоторого объекта в плоском зеркале.
Воспользуемся свойствами мнимого изображения в плоском зеркале. Нарисуем изображение красной стрелки с другой стороны зеркала. Расстояние А равно расстоянию В, а изображение имеет тот же размер, что и объект.
Мнимое изображение получается на пересечении продолжения отраженных лучей. Изобразим световые лучи, идущие от мнимой красной стрелки к глазу. Покажем, что лучи мнимые, нарисовав их пунктиром. Непрерывные линии, идущие от поверхности зеркала, показывают путь отраженных лучей.
Проведем от объекта прямые линии в точки отражения лучей на поверхности зеркала. Учитываем, что угол падения равен углу отражения.
Плоские зеркала используются во многих оптических приборах. Например, в перископе, плоском телескопе, графопроекторе, секстанте и калейдоскопе. Стоматологическое зеркало для осмотра полости рта тоже плоское.
Построение изображений в зеркалах и их характеристика.
Изображение какой-либо точки A предмета в сферическом зеркале можно построить с помощью любой пары стандартных лучей: Для построения изображения какой – либо точки А предмета необходимо найти точку пересечения двух любых отраженных лучей или их продолжений, наиболее удобны лучи, идущие, как показано на рисунках 2.6 – 2.9
2) луч, проходящий через фокус, после отражения пойдет параллельно оптической оси, на которой лежит этот фокус;
4) луч, падающий в полюс зеркала, после отражения от зеркала идет симметрично главной оптической оси (АВ=ВМ)
Рассмотрим несколько примеров на построение изображений в вогнутых зеркалах:
2) Предмет расположен на расстоянии, которое равно радиусу кривизны зеркала. Изображение – действительное, равно по величине размерам предмета, перевернутое, располагается строго под предметом (рис.2.11).
Рис. 2.12
|
3) Предмет расположен между фокусом и полюсом зеркала. Изображение – мнимое, увеличенное, прямое (рис.2.12)
Формула зеркала
Найдем связь между оптической характеристикой и расстояниями, определяющими положение предмета и его изображения.
Пусть предметом служит некоторая точка А, располагающаяся на оптической оси. Используя законы отражения света, построим изображение этой точки (рис. 2.13).
Обозначим расстояние от предмета до полюса зеркала (АО), а от полюса до изображения (ОА¢).
Рассмотрим треугольник АРС, получаем, что
Из треугольника АРА¢, получаем, что 
. Исключим из этих выражений угол , так как единственный который не опирается на ОР.
, 
или
(2.3)
Углы b, q, g опираются на ОР. Пусть рассматриваемые пучки параксиальны, тогда эти углы малы и, следовательно, их значения в радианной мере равно тангенсу этих углов:
; ; 
, где R=OC, является радиусом кривизны зеркала.
Подставим полученные выражения в уравнение (2.3)
Так как мы ранее выяснили, что фокусное расстояние связано с радиусом кривизны зеркала, то
(2.4)
Выражение (2.4) называется формулой зеркала, которая используется лишь с правилом знаков:
Расстояния , , считаются положительными, если они отсчитываются по ходу луча, и отрицательными – в противном случае.
Выпуклое зеркало .
Рассмотрим несколько примеров на построение изображений в выпуклых зеркалах.
2) Предмет расположен на расстоянии равном радиусу кривизны. Изображение мнимое, уменьшенное, прямое (рис.2.15)
Фокус выпуклого зеркала мнимый. Формула выпуклого зеркала
.
Правило знаков для d и f остается таким же, как и для вогнутого зеркала.
Линейное увеличение предмета определяется отношением высоты изображения к высоте самого предмета
. (2.5)
Таким образом, независимо от расположения предмета относительно выпуклого зеркала изображение оказывается всегда мнимым, прямым, уменьшенным и расположенным за зеркалом. В то время как изображения в вогнутом зеркале более разнообразны, зависят от расположения предмета относительно зеркала. Поэтому вогнутые зеркала применяются чаще.
Рассмотрев принципы построения изображений в различных зеркалах, мы подошли к пониманию действия столь различных приборов, как астрономические телескопы и увеличивающие зеркала в косметических приборах и медицинской практике, мы способны сами спроектировать некоторые приборы.
При построении изображения любой точки источника нет надобности рассматривать много лучей. Для этого достаточно построить два луча; точка их пересечения определит местоположение изображения. Удобнее всего построить те лучи, ход которых легко проследить. Ход этих лучей в случае отражения от зеркала изображен на рис. 213.
Рис. 213. Различные приемы построения изображения в вогнутом сферическом зеркале
Луч 1 проходит через центр зеркала и поэтому нормален к поверхности зеркала. Этот луч возвращается после отражения точно назад вдоль побочной или главной оптической оси.
Луч 2 параллелен главной оптической оси зеркала. Этот луч после отражения проходит через фокус зеркала.
Луч 3, который от точки объекта проходит через фокус зеркала. После отражения от зеркала он идет параллельно главной оптической оси.
Луч 4, падающий на зеркало в его полюсе, отразится назад симметрично по отношению к главной оптической оси. Для построения изображения можно воспользоваться любой парой этих лучей.
Построив изображения достаточного числа точек протяженного объекта, можно составить представление о положении изображения всего объекта. В случае простой формы объекта, указанной на рис. 213 (отрезок прямой, перпендикулярный к главной оси), достаточно построить всего одну точку изображения . Несколько более сложные случаи рассмотрены в упражнениях.
На рис. 210 были даны геометрические построения изображений для разных положений объекта перед зеркалом. Рис. 210, в - объект помещен между зеркалом и фокусом - иллюстрирует построение мнимого изображения при помощи продолжения лучей за зеркало.
Рис. 214. Построение изображения в выпуклом сферическом зеркале.
На рис. 214 дан пример построения изображения в выпуклом зеркале. Как было указано ранее, в этом случае получаются всегда мнимые изображения.
Для построения изображения в линзе любой точки объекта, так же как и при построении изображения в зеркале, достаточно найти точку пересечения каких-либо двух лучей, исходящих из этой точки. Наиболее простое построение выполняется при помощи лучей, указанных на рис. 215.
Рис. 215. Различные приемы построения изображения в линзе
Луч 1 идет вдоль побочной оптической оси без изменения направления.
Луч 2 падает на линзу параллельно главной оптической оси; преломляясь, этот луч проходит через задний фокус .
Луч 3 проходит через передний фокус ; преломляясь, этот луч идет параллельно главной оптической оси.
Построение этих лучей выполняется без всяких затруднений. Всякий другой луч, идущий из точки , построить было бы значительно труднее - пришлось бы непосредственно использовать закон преломления. Но в этом и нет необходимости, так как после выполнения построения любой преломленный луч пройдет через точку .
Следует отметить, что при решении задачи о построении изображения внеосевых точек вовсе не необходимо, чтобы выбранные простейшие пары лучей действительно проходили через линзу (или зеркало). Во многих случаях, например при фотографировании, предмет значительно больше линзы, и лучи 2 и 3 (рис. 216) не проходят через линзу. Тем не менее эти лучи могут быть использованы для построения изображения. Реальные луч и, участвующие в образовании изображения, ограничены оправой линзы (заштрихованные конусы), но сходятся, конечно, в той же точке , поскольку доказано, что при преломлении в линзе изображением точечного источника является снова точка.
Рис. 216. Построение изображения в случае, когда предмет значительно больше линзы
Рассмотрим несколько типичных случаев изображения в линзе. Линзу будем считать собирающей.
1. Предмет находится от линзы, на расстоянии, большем двойного фокусного расстояния. Таково обычно положение предмета при фотографировании.
Рис. 217. Построение изображение в линзе в случае, когда предмет находится за двойным фокусным расстоянием
Построение изображения дано на рис. 217. Поскольку , то по формуле линзы (89.6)
,
т. е. изображение лежит между задним фокусом и тонкой, находящейся на двойном фокусном расстоянии от оптического центра линзы. Изображение - перевернутое (обратное) и уменьшенное, так как по формуле увеличения
2. Отметим важный частный случай, когда на линзу падает пучок лучей, параллельных какой-либо побочной оптической оси. Подобный случай имеет место, например, при фотографировании очень удаленных протяженных предметов. Построение изображения дано на рис. 218.
В этом случае изображение лежит на соответствующей побочной оптической оси, в месте ее пересечения с задней фокальной плоскостью (так называется плоскость, перпендикулярная к главной оси и проходящая через задний фокус линзы).
Рис. 218. Построение изображения в случае, когда на линзу падает пучок лучей, параллельных побочной оптической оси
Точки фокальной плоскости нередко называют фокусами соответствующих побочных осей, оставляя название главный фокус за точкой , соответствующей главной оси.
Расстояние фокуса от главной оптической оси линзы и угол между рассматриваемой побочной осью и главной осью связаны, очевидно, формулой (рис. 218)
3. Предмет лежит между точкой на двойном фокусном расстоянии и передним фокусом - обычное положение предмета при проецировании проекционным фонарем. Для исследования этого случая достаточно воспользоваться свойством обратимости изображения в линзе. Будем считать источником (см. рис. 217), тогда будет являться изображением. Легко видеть, что в рассматриваемом случае изображение - обратное, увеличенное и лежит от линзы на расстоянии, большем двойного фокусного расстояния.
Полезно отметить частный случай, когда предмет находится от линзы на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию, т. е. . Тогда по формуле линзы
,
т. е. изображение лежит от линзы также на двойном фокусном расстоянии. Изображение в этом случае перевернутое. Для увеличения находим
т. е. изображение имеет те же размеры, что и предмет.
4. Большое значение имеет частный случай, когда источник находится в плоскости, перпендикулярной к главной оси линзы и проходящей через передний фокус.
Эта плоскость также является фокальной плоскостью; ее называют передней фокальной плоскостью. Если точечный источник находится в какой-либо из точек фокальной плоскости, т. е. в одном из передних фокусов, то из линзы выходит параллельный пучок лучей, направленный вдоль соответствующей оптической оси (рис. 219). Угол между этой осью и главной осью и расстояние от источника до оси связаны формулой
5. Предмет лежит между передним фокусом и линзой, т. е. . В этом случае изображение-прямое и мнимое.
Построение изображения в этом случае дано на рис. 220. Так как , то для увеличения имеем
т. е. изображение увеличенное. Мы вернемся к данному случаю при рассмотрении лупы.
Рис. 219. Источники и лежат в передней фокальной плоскости. (Из линзы выходят пучки лучей, параллельные побочным осям, проходящим через точки источника)
Рис. 220. Построение изображения в случае, когда предмет лежит между передним фокусом и линзой
6. Построение изображения для рассеивающей линзы (рис. 221).
Изображение в рассеивающей линзе всегда мнимое и прямое. Наконец, поскольку , то изображение всегда уменьшенное.
Рис. 221. Построение изображения в рассеивающей линзе
Отметим, что при всех построениях лучей, проходящих через тонкую линзу, мы можем не рассматривать ход их внутри самой линзы. Важно лишь знать расположение оптического центра и главных фокусов. Таким образом, тонкая линза может быть изображена плоскостью, проходящей через оптический центр перпендикулярно к главной оптической оси, на которой должны быть отмечены положения главных фокусов. Эта плоскость называется главной плоскостью. Очевидно, что луч, входящий в линзу и выходящий из нее, проходит через одну а ту же точку главной плоскости (рис. 222, а). Если мы сохраняем на рисунках очертания линзы, то только для наглядного различия собирающей и рассеивающей линз; для всех же построений эти очертания излишни. Иногда для большей простоты чертежа вместо очертаний линзы применяют символическое изображение, показанное на рис. 222, б.
Рис. 222. а) Замена линзы главной плоскостью ; б) символическое изображение собирающей (слева) и рассеивающей (справа) линз; в) замена зеркала главной плоскостью
Аналогично, сферическое зеркало можно изображать главной плоскостью, которая касается поверхности сферы в полюсе зеркала, с указанием на главной оси положения центра сферы и главного фокуса . Положение указывает, имеем ли мы дело с вогнутым (собирающим) или с выпуклым (рассеивающим) зеркалом (рис. 222, в).
