ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

Границы участков, площади которых необходимо определить на плане или карте, могут иметь прямолинейное или произвольное очертание.

При прямолинейных очертаниях определение площади возможно двумя способами:

1. Геометрический (графический) - по расчетным формулам конкретных геометрических фигур;

2. Аналитический - по координатам вершин углов многоугольника.

Рис. 21. Геометрический способ определения площадей

В первом случае участок разбивают преимущественно на треугольники, реже на прямоугольники и трапеции (рис. 21). Измеряют линейные элементы (стороны, высоты) и по формулам геометрии вычисляют площади каждой фигуры. Для контроля площади вычисляют дважды, меняя измеряемые элементы. Например, в треугольнике 1–2–3 в одном случае измеряют основание 1–2 и высоту 3–5, в другом – основание 1–3 и высоту 2–4. Расхождение между двумя значениями площадей не должно превосходить

[га], где m – знаменатель численного масштаба. Точность определения площадей примерно измеряемой величины.

Вычисление площади аналитическим способом, по координатам вершин углов многоугольника, обеспечивает более высокую точность (до измеряемой величины).

Расчетная формула для определения площади многоугольника (в простейшем случае треугольника – рис. 22):

Произведя соответствующие алгебраические действия и преобразования, получим расчетные формулы:

;

,

где i = 1, 2, 3 ... – номера вершин полигона; – номер последующей вершины; – номер предыдущей вершины.

Рис. 22. Аналитический способ

При произвольных очертаниях границ участков определение площади возможно также двумя способами:

1. Графический (способ палеток) .

Для определения площадей небольших участков с криволинейными контурами (лес, озеро, болото и т.д.) применяют палетки (рис. 23):

– квадратная;

– линейная (параллельная);

– точечная;

– с равностоящими точками.

Палетки изготавливают из кальки размером 15*15 см, расстояние между линиями 2 мм.

Квадратная палетка. Кальку необходимо поделить на квадраты через каждые 2 мм. Квадраты получаются 2х2 мм, т.е. 4 мм 2 . Затем кальку нужно наложить на топографическую карту, и обвести контур леса. Далее на кальке необходимо сосчитать полные квадраты (например 15) и неполные (например 22, 22: 2= 11 квадратов). х 1 = 15 + 11 = 26 мм 2 .

Эту же кальку повторно накладывают на топографическую карту перевернув и обводят контур леса. Затем считают полные и неполные квадраты (х 2).

Линейная палетка (параллельная). Проводят на кальке параллельные линии через каждые 2 мм. Накладывают кальку на топографическую карту, обводят контур леса таким образом, чтобы границы леса не совпадали с параллельными линиями. Далее необходимо найти сумму внутренних линий. Площадь леса находят по формуле:

где с – средняя линия (сумма линий внутри контура леса), h – высота.

Эту же кальку повторно накладывают на топографическую карту перевернув и обводят контур леса. Затем находят сумму линий внутри контура леса и по формуле находят х 2 .

Если полученный результат больше f доп, то необходимо выполнить все измерения и расчеты заново.

Точечная палетка. Кальку необходимо поделить на квадраты через каждые 2 мм. Квадраты получаются 2х2 мм, т.е. 4 мм 2 . В точках пересечения линий обозначить нужно точки. Затем кальку нужно наложить на топографическую карту, и обвести контур леса. Далее на кальке необходимо сосчитать точки, которые находятся внутри контура леса (например 9*4=36 мм 2 , 4 – вес одной точки).

где с – вес одной точки, n – количество точек.

Эту же кальку повторно накладывают на топографическую карту перевернув и обводят контур леса. Затем считают точки и находят х 2 .

Палетка с равностоящими точками. Создается на базе квадратной палетки с добавлением еще одной точки на месте пересечения диагоналей.

где d – расстояние между соседними точками, n – количество точек.

1. Механический (с помощью планиметра) .

При механическом способе применяют планиметры различных конструкций.

Устройство и поверки планиметра. Полярный планиметр (рис.24) состоит из трех частей: полюсного 1 и обводного 2 рычагов и каретки счетного механизма. Полюсный рычаг с одной стороны имеет груз с иглой 3; перед началом измерений иглу вдавливают в бумагу. С другой стороны полюсный рычаг заканчивается шарниром 6. На конце обводного рычага имеется обводный шпиль 7, которым обводят контур участка, удерживая рычаг за ручку 8. Для того чтобы шпиль не царапал карту, существует штифт 9. На обводном рычаге расположена каретка со счетным механизмом (рис.25). Он состоит из счетного колеса 12, счетчика целых оборотов счетного колеса 13 и верньера 14. При измерении площади участка ободок счетного колеса 15 и ролик 16 должны находиться в пределах листа карты.

Рис. 24. Полярный планиметр

Счетное колесо разделено на 100 делений, каждые 10 делений оцифрованы. Десятые доли делений счетного колеса определяются по верньеру. Делением планиметра называется одна тысячная часть окружности счетного колеса.

Отсчет по планиметру всегда состоит из четырех цифр. Первая цифра – ближайшая к указателю меньшая цифра счетчика оборотов 13, вторая и третья цифры – сотни и десятки делений на счетном колесе, предшествующих указателю верньера 14 (начальному штриху шкалы верньера, т.е. 0); четвертая цифра – номер штриха верньера, совпадающего с каким-либо штрихом счетного колеса (единицы делений). На рис. 25 отсчет по счетному механизму составляет 3578.

Измерение площадей планиметром. Необходимо знать его цену деления и постоянное значение величины q. Если эти величины неизвестны, то их можно определить.

Цена деления планиметра – это площадь, соответствующая изменению отсчета на одно деление. Геометрически ее можно представить как площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна длине обводного рычага, а другая – делению планиметра.

Цену деления можно выразить в мм 2 , гектарах. Для определения цены деления планиметра берется участок, площадь которого заранее известна, затем производится измерение указанной площади планиметром.

Обводный шпиль сначала устанавливают в центре квадрата, а полюс закрепляют в такой точке, чтобы угол между обводным и полюсным рычагом был равен примерно 90° и чтобы при обводе квадрата ни одна из опорных точек планиметра не выходила за пределы листа карты. Обводный шпиль подводят к одному из углов квадрата и снимают отсчет u 1 . Далее шпилем обводят стороны квадрата по ходу часовой стрелки. Возвратившись в исходную точку, снимают второй отсчет u 2 .

Рис. 25. Взятие отсчета по полярному планиметру

Сместив несколько обводное колесо, вторично производят обвод квадрата против часовой стрелки. При движении по ходу часовой стрелки отсчеты будут возрастать, против часовой стрелки – уменьшаться. Вычитая из большего значения меньшее, находят разности отсчетов, которые не должны отличаться более чем на 5 делений. Проведенные измерения составляют один полуприем. Второй полуприем выполняют в положении полюса с другой стороны обводного рычага и каретки счетного механизма. Расхождение в средних разностях отсчетов при двух полуприемах не должно превышать 5 делений. При наличии сходимости за окончательное значение разности отсчетов принимается среднее из двух результатов.

Цена деления планиметра вычисляется по формуле: ,

где П – площадь измеренного участка; и 2 – и 1 – средняя разность отсчетов из двух полуприемов.

Измерение площадей относительно небольших участков (в поперечнике не более 15–17 см) производится с полюсом вне контура. Так же, как и при определении с, шпиль располагают примерно в центре участка, а для полюса выбирают такое место, чтобы рычаги планиметра составляли прямой угол (рис. 26 a ). Затем производится беглый обвод контура. Угол между рычагами (рис. 26 б , в )должен составлять не менее 30° и не более 150°. Если это условие не выполняется, то подбирается другое, более благоприятное положение полюса. Возможны случаи, когда это не удается, и угол между рычагами выходит за пределы допуска при любом положении полюса. Тогда измерение площадей следует выполнять с полюсом внутри контура (рис. 18,г )или по частям.

Измерение площади участка производится полным приемом, так же как при определении цены деления планиметра.

Расхождения разностей отсчетов в полуприемах допускаются не более 3–4 делений при величине разностей до 1000 делений и 5–6 делений для участков большего размера.

Рис. 26. Измерение площади с помощью полярного планиметра

Площадь участка, измеренная при полюсе вне контура, вычисляется по формуле: .

Значение q планиметра, необходимое при работе с полюсом внутри контура, определяется так же, как и цена деления с ,путем обвода контура участка, площадь которого известна. Участок выбирается значительно больших размеров (квадрат 40 ´ 40 см или круг радиусом 30 см). Значение q находится с учетом ранее установленной цены деления с .

Площадь с полюсом внутри контура определяется одним приемом и к разности отсчетов добавляется q : П = с (и 2 – u 1 + q ).

Точность результатов измерений планиметром зависит от многих факторов: точности определения постоянных с и q , конфигурации участка, состояния прибора, деформации бумаги и т. д.

Ошибка определения площади находится приближенно по формуле

В настоящее время имеются и электронные планиметры с индикацией результата измерений на экране дисплея.

Планиметр роликового типа PLANIX 7 (рис.27) имеет ролики, обеспечивающие значительное горизонтальное перемещение. Цифровая клавиатура позволяет вводить пользовательский масштаб, в котором вычисляется площадь плана или рисунка.

Рис. 27. Планиметр PLANIX 7

Таблица 5

Основные характеристики планиметра PLANIX 7

Графический способ определения площадей состоит в том, что участки, изображённые на плане, разбивают на треугольники, в которых высоты по величине близки к основаниям. Зная высоту и основание, вычисляют площадь.

Для контроля и повышения точности вычислений площадь каждого треугольника определяют дважды: по двум различным основаниям и высотам. Допустимость расхождения между двумя значениями площади определяют по формуле

Р - площадь треугольника, га.

Для определения площадей небольших криволинейных участков применяют палетки.

Рисунок 4

Квадратная палетка (рисунок 4а) - это сетка квадратов со сторонами 1-2 мм. Площадь участка определяется подсчётом квадратов палетки, наложенной на фигуру. Рекомендуется при определении площадей участков не более 2 см 2 на плане.

Параллельная палетка (рисунок 4б) - это ряд параллельных линий, проведённых на расстоянии 2 мм. Палетку накладывают на участок так, чтобы крайние её точки k и l были расположены между её линиями. Измерив, средние линии трапецией ab, cd, ef в масштабе плана и умножив их сумму на расстояние между линиями палетки, получают площадь участка. Рекомендуется при определении площадей до 10 см 2 на плане.

Чтобы не выполнять вычислений строят специальную шкалу - масштабную палетку (рисунок 4в), по которой определяют площадь участка, зная сумму средних линий. Рассчитаем основание шкалы для масштаба 1:10000. При расстоянии между параллельными линиями 2 мм и при длине шкалы 1 см площадь будет равна 20 ´ 100 = 2000 м 2 = 0,20 га. Следовательно, каждому сантиметру шкалы будет соответствовать 0,20 га на местности. Левое основание шкалы делят на 10 частей. После того как сумма средних линий набрана в раствор циркуля, определяют площадь по шкале так же, как расстояние по линейному масштабу.

Точность однократного определения площадей квадратной и параллельной палетками в среднем характеризуется формулой

,

где М - знаменатель численного масштаба плана;

Р - площадь фигуры, га.

2.2.1 В соответствии с рисунком 5 определить графическим способом площадь пашни восточной части поля VII.

Рисунок 5

Площадь пашни восточной части поля VII вычислить по формуле

2.2.2 Построить параллельную и масштабную палетки для масштаба плана и, пользуясь ими, определить площади прудов в северной и южной части землепользования.

2.3 Определение площадей участков механическим способом

2.3.1. Определение цены деления планиметра

Выполнив поверку основного геометрического условия планиметра, определяем цену деления планиметра путем обвода двух квадратов координатной сетки, по два обвода при каждом положения полюса. Цену деления планиметра определяем по формуле

где S - площадь квадратов координатной сетки;

n ср - среднее значение разности отсчетов.

Цену деления p выражают четырьмя-пятью значащими цифрами в зависимости от величины первой цифры

2.3.2. Составление кальки контуров

Разделить массив пашни в северной части землепользования на участки в соответствии с рисунком 6, при этом границы между ними провести карандашом (линии NK и 23 - L параллельны линии 13 - 12), обозначить номера контуров. Вкрапленные контуры обозначить тем же номером, что и основной контур с добавлением индекса “а”, “б” и т.д.

Рисунок 6

2.3.3. Определение площадей контуров планиметром.

Определить площадь каждого контура двумя обводами планиметра при одном положении счётного механизма.

Площади вкрапленных контуров определить планиметром способом повторений (3-4 повторения), снимая отчеты перед первым обводом и после последнего; разность отчётов разделить на число обводов.

Площади участков угодий вычислить по среднему значению цены деления планиметра, округляя значения площадей до 0.01 га.

Невязку определить по формуле f p = å Р выч - Р теор и сравнить её с допустимой

где р - цена деления планиметра;

n - число контуров, площади которых определяют планиметром;

М - знаменатель численного масштаба плана;

Р - общая площадь участка.

Если невязка допустима, распределить её с обратным знаком пропорционально площадям угодий.

Результаты вычислений сводим в таблицу 2.

Таблица 2 - Ведомость вычисления площадей планиметром

Площадь участка земной поверхности, проекции на нее контура полезного ископаемого, других объектов определяют по топографическим и маркшейдерским чертежам геометрическими способами (графическими измерениями) или механическим. На местности площадь геометрически простого участка определяют по результатам измерениями его размеров. Площади земель определяют также аналитически – по координатам вершин граничного замкнутого многоугольника. Вычисления производят по компьютерным программам, в их числе основанным на ЦММ, или по программам, заложенным в процессор электронного тахеометра.

Геометрические способы определения площади применяются для небольших участков. На местности (рис. 7.13, а) сложный контур АВСDЕК разделяют на простые геометрические фигуры, вершины которых обозначают вехами. В трапеции измеряют основания и , высоту , а в треугольниках и измеряют основания и , высоты и . Площадь участка , где ;

Если в треугольнике (рис. 7.13, б) измерить две стороны и угол между ними, то .

Площадь определяется рассмотренными способами с относительной погрешностью 1 / 1000 – 1/5000.

Аналитический способ определения площади применяют для замкнутых плоских многоугольников, в которых известны координаты всех вершин (к таким многоугольникам относятся граница населенного пункта, промышленного, сельскохозяйственного или горнодобывающего предприятия, территории разработки торфяного месторождения и т.д.).

Площадь замкнутого многоугольника вычисляют по различным формулам аналитической геометрии, наиболее распространены следующие:

т.е. удвоенная площадь многоугольника равна сумме произведений каждой абсциссы на разность ординат передней и задней по ходу точек, а также сумме произведений каждой ординаты на разность абсцисс задней и передней по ходу точек. Например, для многоугольника 1-2-3-4 (рис. 7.13. г)

Площадь вычисляют отдельно по каждой формуле с промежуточным контролем разностей на условие

Определение площади полярным планиметром.

Полярный планиметр – это механическое устройство для определения площади фигур на планах и картах, а также на других чертежах. На полюсном рычаге планиметра закреплен груз с иглой, представляющей полюс (рис. 7.14, а), вторым концом полюсный рычаг шарнирно входит в гнездо корпуса счетного механизма, установленного на обводном рычаге. Обводное стекло с точкой М укреплено на обводном рычаге. Рабочий радиус R обводного рычага равен расстоянию АМ между центром шарнира и обводной точкой М. Этот радиус можно изменить перемещением корпуса счетного механизма вдоль обводного рычага, а величину радиуса отсчитать по шкале на обводном рычаге и верньеру счетного механизма. В нашем примере (рис. 7.14, б) R = 2816. Отсчет по шкалам счетного механизма содержит четыре цифры (см. рис. 7.14, б). Здесь отсчет , где 5 – число оборотов счетного колеса, отсчитанное по циферблату; 614 – отсчет по шкале счетного колеса относительно верньера (61 – номер штриха расположенного ниже нуля верньера; 4 – номер совмещенного штриха верньера).

Для измерения площади план кладут на расположенную горизонтально чертежную доску с гладкой поверхностью. Полюс полярного планиметра можно закреплять на плане в положении вне контура или в положении внутри контура, предпочтительное положение полюса – вне контура. Выбирают положение полюса так, чтобы при обводе контура угол β между рычагами (см. рис. 7.14, а) не был меньше 30 и больше 150°. Обводную точку М совмещают с какой-либо точкой К контура. По счетному механизму берут отсчет (см. рис. 7.14, б, а также табл. 7.6), затем контур плавно обводят точкой М и завершают обвод в точке К и берут отсчет (желательно обводить против часовой стрелки, в этом случае последовательные значения отсчетов уменьшаются и это удобно для вычислений). Разность отсчетов представляет площадь в делениях планиметра.

В этом способе площади земельных участков вычисляются:

· по результатам измерения углов и линий на планах или картах

· с помощью палетки (квадратной или параллельной).

1). Площадь участка разбивают на ряд простейших геометрических фигур (треугольник, прямоугольник, трапеция) и вычисляют искомую площадь как сумму площадей элементарных геометрических фигур. Максимальная точность определения площадей получается при делении общей площади на треугольники. Запишем формулу вычисления площади треугольника:

Для контроля и повышения точности вычислений площадь каждого треугольника определяется дважды: по двум различным основаниям и высотам, затем берется среднее значение, если расхождение между двумя определениями допустимое. Допустимое расхождение определяется по формуле:

где М - знаменатель численного масштаба плана или карты.

Таблица 6.

Ведомость определения площадей графическим способом

№ треугольника	№ измерения	Результаты измерений	Результаты вычислений
Основания, b, м		удвоенной площади 2P, га	Среднего значения площади 2Р, га	Д P доп., га
II полигон
2P=1,63845 га
I полигон
2P=1,410725 га
III полигон

2). Палетка представляет собой сетку квадратов, нанесенную с высокой точностью на целлулоиде, прозрачном пластике или же на кальке. Размеры сторон квадратов составляют 1 - 5 мм.

Площадь участка с учетом масштаба можно вычислить по формуле:

где М - знаменатель масштаба плана или карты;

n - число клеток, занимаемых участком;

c - площадь одной клетки в сантиметрах квадратных.

Площадь неполных клеток определяется на глаз.

Линейная (или параллельная) палетка представляет собой ряд параллельных

линий, проведенных на прозрачной основе через 1-2 мм. При использовании

линейной палетки измеряемый контур располагается таким образом, чтобы

крайние точки участка располагались на линиях палетки.

Общая площадь участка определяется как сумма площадей трапеций с одинаковой высотой:

Точность однократного определения площадей квадратной или линейной палеткой вычисляют по формуле:

где М - знаменатель масштаба плана или карты.

> Механический способ определения площадей

Для определения площадей механическим способом применяют специальный прибор - планиметр. Основными частями полярного планиметра являются: обводной рычаг, полюсный рычаг и отсчетное устройство. При определении площади планиметром угол между обводным и полюсным рычагом должен быть не менее 30 и не более 150. При измерении небольших участков полюс располагается вне измеряемого контура. При измерении площадей больших участков - внутри фигуры. Обводной индекс совмещается с начальной точкой контура и по отсчетному устройству снимается отсчет m 1 .

Площадь фигуры определяется по формуле:

P = c (m 2 - m 1 ),

где c - цена деления планиметра.

Цена деления планиметра определяется заранее путем измерения известной площади, обычно за такую площадь принимают квадрат координатной сетки на карте (или плане). Цена деления определяется по формуле:

С = P известная / (m 2 - m 1)

Для повышения точности и исключения грубых ошибок измерений определение цены деления и площадей выполняют дважды с установкой полюса справа и слева от измеряемого участка. Расхождение разности отсчетов не должно превышать трех делений планиметра. Площади участков менее 2 кв. см. измерять планиметром не рекомендуется. Точность определения площадей планиметром можно вычислить по формуле (для площадей 200 см 2 на плане или карте):

где С - цена деления планиметра; M - знаменатель масштаба карты или