Таким образом можно выделить следующие свойства коэффициента детерминации:

1. ; в силу определения

2. =0;в этом случае RSS = 0, т. е. наша регрессия не объясняет, ничего не дает по сравнению с тривиальным прогнозом. Данные позволяют сделать вывод о независимости y и x, изменение в переменной x никак не влияет на изменение среднего значения переменной y. То есть увеличивается разброс точек на корреляционном поле относительно построенной линии регрессии(или статистическая зависимость очень слабая, или уравнение регрессии подобрано неверно).

3. =1; в этом случае все точки () лежат на одной прямой (ESS = 0). Тогда на основании имеющихся данных можно сделать вывод о наличии функциональной, а именно, линейной, зависимости между переменными y и x. Изменение переменной y полностью объясняется изменением переменной x.Для парной линей регрессии коэффициент детерминации точно равен квадрату коэффициента корреляции:

Вообще говоря, значение коэффициента детерминации не говорит о том, есть ли между факторами зависимость и насколько она тесная. Оно говорит только о качестве того уравнения, которое мы построили.

Удобно сравнивать коэффициенты детерминации для нескольких разных уравнений регрессии построенных по одним и тем же данным наблюдений. Из нескольких уравнений лучше то, у которого больше коэффициент детерминации.

3. Скорректированный коэффициент детерминации

Одним из свойств коэффициента детерминации является то, что это не убывающая функция от числа факторов, входящих в модель. Это следует из определения детерминации. Действительно в равенстве

Числитель не зависит, а знаменатель зависит от числа факторов модели. Следовательно, с увеличением числа независимых переменных в модели, коэффициент детерминации никогда не уменьшается. Тогда, если сравнить две регрессионные модели с одной и тоже зависимой переменной, но разным числом факторов, то более высокий коэффициент детерминации будет получен в модели с большим числом факторов. Поэтому необходимо скорректировать коэффициент детерминации с учетом количества факторов, входящих в модель.

Скорректированный (исправленный или оцененный) коэффициент детерминации определяют следующим образом:

Свойства скорректированного коэффициента детерминации:

1. Несложно заметить что при >1 исправленный коэффициент детерминации меньше коэффициента детерминации ().

2. , но может принимать отрицательные значения. При этом, если скорректированный принимает отрицательное значение, то принимает значение близкое к нулю ().

Таким образом скорректированный коэффициент детерминации является попыткой устранить эффект, связанный с ростом R 2 при увеличении числа регрессоров. - "штраф" за увеличение числа независимых переменных.

Одним из показателей, описывающих качество построенной модели в статистике, является коэффициент детерминации (R^2), который ещё называют величиной достоверности аппроксимации. С его помощью можно определить уровень точности прогноза. Давайте узнаем, как можно произвести расчет данного показателя с помощью различных инструментов программы Excel.

В зависимости от уровня коэффициента детерминации, принято разделять модели на три группы:

  • 0,8 – 1 — модель хорошего качества;
  • 0,5 – 0,8 — модель приемлемого качества;
  • 0 – 0,5 — модель плохого качества.

В последнем случае качество модели говорит о невозможности её использования для прогноза.

Выбор способа вычисления указанного значения в Excel зависит от того, является ли регрессия линейной или нет. В первом случае можно использовать функцию КВПИРСОН , а во втором придется воспользоваться специальным инструментом из пакета анализа.

Способ 1: вычисление коэффициента детерминации при линейной функции

Прежде всего, выясним, как найти коэффициент детерминации при линейной функции. В этом случае данный показатель будет равняться квадрату коэффициента корреляции. Произведем его расчет с помощью встроенной функции Excel на примере конкретной таблицы, которая приведена ниже.


Способ 2: вычисление коэффициента детерминации в нелинейных функциях

Но указанный выше вариант расчета искомого значения можно применять только к линейным функциям. Что же делать, чтобы произвести его расчет в нелинейной функции? В Экселе имеется и такая возможность. Её можно осуществить с помощью инструмента «Регрессия» , который является составной частью пакета «Анализ данных» .

  1. Но прежде, чем воспользоваться указанным инструментом, следует активировать сам «Пакет анализа» , который по умолчанию в Экселе отключен. Перемещаемся во вкладку «Файл» , а затем переходим по пункту «Параметры» .

  2. В открывшемся окне производим перемещение в раздел «Надстройки» при помощи навигации по левому вертикальному меню. В нижней части правой области окна располагается поле «Управление» . Из списка доступных там подразделов выбираем наименование «Надстройки Excel…» , а затем щелкаем по кнопке «Перейти…» , расположенной справа от поля.

  3. Производится запуск окна надстроек. В центральной его части расположен список доступных надстроек. Устанавливаем флажок около позиции «Пакет анализа» . Вслед за этим требуется щелкнуть по кнопке «OK» в правой части интерфейса окна.

  4. Пакет инструментов «Анализ данных» в текущем экземпляре Excel будет активирован. Доступ к нему располагается на ленте во вкладке «Данные» . Перемещаемся в указанную вкладку и клацаем по кнопке «Анализ данных» в группе настроек «Анализ» .

  5. Активируется окошко «Анализ данных» со списком профильных инструментов обработки информации. Выделяем из этого перечня пункт «Регрессия» и клацаем по кнопке «OK» .

  6. Затем открывается окно инструмента «Регрессия» . Первый блок настроек – «Входные данные» . Тут в двух полях нужно указать адреса диапазонов, где находятся значения аргумента и функции. Ставим курсор в поле «Входной интервал Y» и выделяем на листе содержимое колонки «Y» . После того, как адрес массива отобразился в окне «Регрессия» , ставим курсор в поле «Входной интервал Y» и точно таким же образом выделяем ячейки столбца «X» .

    Около параметров «Метка» и «Константа-ноль» флажки не ставим. Флажок можно установить около параметра «Уровень надежности» и в поле напротив указать желаемую величину соответствующего показателя (по умолчанию 95%).

    В группе «Параметры вывода» нужно указать, в какой области будет отображаться результат вычисления. Существует три варианта:

    • Область на текущем листе;
    • Другой лист;
    • Другая книга (новый файл).

    Остановим свой выбор на первом варианте, чтобы исходные данные и результат размещались на одном рабочем листе. Ставим переключатель около параметра «Выходной интервал» . В поле напротив данного пункта ставим курсор. Щелкаем левой кнопкой мыши по пустому элементу на листе, который призван стать левой верхней ячейкой таблицы вывода итогов расчета. Адрес данного элемента должен высветиться в поле окна «Регрессия» .

    Группы параметров «Остатки» и «Нормальная вероятность» игнорируем, так как для решения поставленной задачи они не важны. После этого клацаем по кнопке «OK» , которая размещена в правом верхнем углу окна «Регрессия» .

  7. Программа производит расчет на основе ранее введенных данных и выводит результат в указанный диапазон. Как видим, данный инструмент выводит на лист довольно большое количество результатов по различным параметрам. Но в контексте текущего урока нас интересует показатель «R-квадрат» . В данном случае он равен 0,947664, что характеризует выбранную модель, как модель хорошего качества.

Способ 3: коэффициент детерминации для линии тренда

Кроме указанных выше вариантов, коэффициент детерминации можно отобразить непосредственно для линии тренда в графике, построенном на листе Excel. Выясним, как это можно сделать на конкретном примере.

  1. Мы имеем график, построенный на основе таблицы аргументов и значений функции, которая была использована для предыдущего примера. Произведем построение к нему линии тренда. Кликаем по любому месту области построения, на которой размещен график, левой кнопкой мыши. При этом на ленте появляется дополнительный набор вкладок – «Работа с диаграммами» . Переходим во вкладку «Макет» . Клацаем по кнопке «Линия тренда» , которая размещена в блоке инструментов «Анализ» . Появляется меню с выбором типа линии тренда. Останавливаем выбор на том типе, который соответствует конкретной задаче. Давайте для нашего примера выберем вариант «Экспоненциальное приближение» .

  2. Эксель строит прямо на плоскости построения графика линию тренда в виде дополнительной черной кривой.

  3. Теперь нашей задачей является отобразить собственно коэффициент детерминации. Кликаем правой кнопкой мыши по линии тренда. Активируется контекстное меню. Останавливаем выбор в нем на пункте «Формат линии тренда…» .

    Для выполнения перехода в окно формата линии тренда можно выполнить альтернативное действие. Выделяем линию тренда кликом по ней левой кнопки мыши. Перемещаемся во вкладку «Макет» . Клацаем по кнопке «Линия тренда» в блоке «Анализ» . В открывшемся списке клацаем по самому последнему пункту перечня действий – «Дополнительные параметры линии тренда…» .

  4. После любого из двух вышеуказанных действий запускается окошко формата, в котором можно произвести дополнительные настройки. В частности, для выполнения нашей задачи необходимо установить флажок напротив пункта «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)» . Он размещен в самом низу окна. То есть, таким образом мы включаем отображение коэффициента детерминации на области построения. Затем не забываем нажать на кнопку «Закрыть» внизу текущего окна.

  5. Значение достоверности аппроксимации, то есть, величина коэффициента детерминации, будет отображено на листе в области построения. В данном случае эта величина, как видим, равна 0,9242, что характеризует аппроксимацию, как модель хорошего качества.

  6. Абсолютно точно таким образом можно устанавливать показ коэффициента детерминации для любого другого типа линии тренда. Можно менять тип линии тренда, произведя переход через кнопку на ленте или контекстное меню в окно её параметров, как было показано выше. Затем уже в самом окне в группе «Построение линии тренда» можно переключиться на другой тип. Не забываем при этом контролировать, чтобы около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации» был установлен флажок. Завершив вышеуказанные действия, щелкаем по кнопке «Закрыть» в нижнем правом углу окна.

  7. При линейном типе линия тренда уже имеет значение достоверности аппроксимации равное 0,9477, что характеризует эту модель, как ещё более достоверную, чем рассматриваемую нами ранее линию тренда экспоненциального типа.

  8. Таким образом, переключаясь между разными типами линии тренда и сравнивая их значения достоверности аппроксимации (коэффициент детерминации), можно найти тот вариант, модель которого наиболее точно описывает представленный график. Вариант с самым высоким показателем коэффициента детерминации будет наиболее достоверным. На его основе можно строить самый точный прогноз.

    Например, для нашего случая опытным путем удалось установить, что самый высокий уровень достоверности имеет полиномиальный тип линии тренда второй степени. Коэффициент детерминации в данном случае равен 1. Это говорит о том, что указанная модель абсолютно достоверная, что означает полное исключение погрешностей.

    Но, в то же время, это совсем не значит, что для другого графика тоже наиболее достоверным окажется именно этот тип линии тренда. Оптимальный выбор типа линии тренда зависит от типа функции, на основании которой был построен график. Если пользователь не обладает достаточным объемом знаний, чтобы «на глаз» прикинуть наиболее качественный вариант, то единственным выходом определения лучшего прогноза является как раз сравнение коэффициентов детерминации, как было показано на примере выше.

Коэффициент детерминации.  

Анализ проводится, например, по коэффициенту детерминации  

Альтернативным показателем степени зависимости между двумя переменными является коэффициент детерминации, представляющий собой возведенный в квадрат коэффициент корреляции (г2). Коэффициент детерминации выражается в процентах и отражает величину изменения результативного показателя (у) за счет изменения другой переменной - факторного показателя (х).  

По результатам нашего примера, приведенного выше, коэффициент детерминации составил г = 0,471 б2 = 0,2224 = 22,24%. Это означает, что более 22% изменений в выручке от продаж связаны с изменениями в расходах на рекламу.  

Определите коэффициент детерминации по условию теста 1. Интерпретируйте уровень этого коэффициента.  

В случаях, когда трудно обосновать форму зависимости, решение задачи можно провести по разным моделям и сравнить полученные результаты. Адекватность разных моделей фактическим зависимостям проверяется по критерию Фишера , показателю средней ошибки аппроксимации и величине множественного коэффициента детерминации, о которых речь пойдет несколько позже (см. 7.4).  

Коэффициент детерминации модели, равный квадрату приведенного коэффициента множественной корреляции , составил 99,31% стандартная ошибка модели оказалась равна 4415 тыс. руб., / статистика Фишера - 4,415, а уровень значимости гипотезы об отсутствии связи - менее 0,01%.  

Это выражение соответствует выражению т)2 (см. формулу (8.2)). Тождество коэффициента детерминации и квадрата корреляционного отношения служит основанием для интерпретации величины г2л, как доли общей дисперсии результативного признака у, которая объясняется вариацией признака-фактора х (и связью между вариацией обоих признаков). Собственно говоря, основным показателем тесноты связи и следовало бы считать коэффициент детерминации  

Коэффициент детерминации г2 = 71,3%, т. е. вариация возраста супруга или супруги на 71% зависит от вариации возраста второй половины. Связь весьма тесная.  

Поскольку г 2 - аналог коэффициента детерминации, можно сделать вывод, что 42,2% вариации себестоимости молока в совокупности 136 предприятий были связаны с вариацией продуктивности коров (и с факторами, варьирующими согласованно с продуктивностью в соответствии с ранее сделанной оговоркой об интерпретации парных связей).  

Здесь Ry2 - коэффициент детерминации для уравнения со всеми k факторами. Числитель (8.43) и есть дополнительно объясняемая часть вариации у при включении фактора хт в уравнение после всех остальных факторов. В нашем примере, используя ранее рассчитанную величину R2 = 0,5765, при включении в анализ фактора х3 получаем  

Однако крупнейшим недостатком такого способа разложения R2 является зависимость величин р2 от принятого порядка включения факторов в уравнение регрессии . Первый включаемый фактор забирает в свою пользу львиную часть системного эффекта , а на долю последнего фактора остается ничтожная часть. Например, если переставить местами факторы дс, и хэ, а также вычислить по рекуррентной формуле двухфакторный коэффициент детерминации /Z2 x = 0,8035, то получим результаты , отличные от предыдущих  

Признаки-факторы должны находиться в причинной связи с результативным признаком (следствием). Поэтому, недопустимо, например, в модель себестоимости у вводить в качестве одного из факторов Xj коэффициент рентабельности , хотя включение такого фактора значительно повышает коэффициент детерминации.  

Принцип простоты предпочтительнее модель с меньшим числом факторов при том же коэффициенте детерминации или даже при несущественно меньшем коэффициенте.  

Предельно возможный избыток был бы в том случае, если бы не было гетерогенных сочетаний, т. е. Аб и Ба. Он составляет 140 + 80 + 230 = 450. Сам же показатель тесноты связи - отношение фактического излишка к предельному 140 450 = 0,311. Как видим, этот показатель близок к коэффициенту ассоциации, но обладает чрезвычайно логичной и ясной интерпретацией связь составляет 0,311 или 31,1%, от предельно возможной функциональной . Этот показатель - аналог не коэффициента корреляции , а коэффициента детерминации. Поэтому правомерно обозначить его как R2 или г 2. Он имеет вид  

Коэффициент детерминации г2, равен 0,88, или 88% колебаний себестоимости картофеля связаны с колебаниями урожайности. Положительны лишь три произведения отклонения мг иу, притом наименьшие.  

Проведение анализа по отдельным единицам с использованием уравнения регрессии обычно основывается на разложении величины отклонения от общей средней (у, - у) на две составляющие (у, - у) и (у, - у,). Если в уравнение регрессии входят все важные и существенные факторы, от которых- зависит величина результативного признака , и коэффициент детерминации близок к единице, то остальные, не включенные в уравнение факторы, характеризуют индивидуальные, несущественные особенности, зачастую не имеющие количественного выражения. В этом случае разница (у, - у/) образуется за счет несовпадения интенсивности воздействия на у всех учтенных факторов в условиях данной /-и единицы и средней интенсивности их воздействия, выраженной в величинах коэффициентов регрессии, входящих в расчетное значение yf. Это дает право интерпретировать разницу (у, -у,) или отношение у,/у, как показатель того, как эффективность использования учтенных факторов у /-и единицы соотносится со средней эффективностью их использования. Разница (у, - у) возникает за счет различия в значениях учтенных факторов для данной /-и единицы и в среднем по совокупности. Такое разложение дает возможность выявить резервы, имеющиеся у каждой отдельной единицы, в части эффективности ис- пользования факторов и в части их уровня.  

Учитывая сравнительно низкие значения отчетного и базисного коэффициентов детерминации (/ 0 = 0,8] 54, г2, = 0,7974), разница фактической и расчетной величин (V,- V) выражает не только различия в эффективности использования учтенного фактора - мощности пласта - на данной конкретной шахте по сравнению со средней эффективностью по тресту, но и влияние неучтенных в уравнении регрессии факторов.  

I Третий способ построения многомерных средних долей не требует привлечения каких-либо субъективных экспертных оценок - используется только информация, содержащаяся в исходных долях. Более информативным, а следовательно, весомым признается тот признак, который имеет более высокий коэффициент детерминации долей со всеми остающимися признаками. Вычислив попарные и средние коэффициенты детерминации, примем меньший из них за единицу (один балл) и получим баллы для других признаков, как отношения их средних коэффициентов детерминации к меньшему (см. табл. 11.9).  

После выбора типа уравнения и расчета его параметров следует проверка выбранной функции на адекватность. Сущность этогог этапа заключается в том, адекватно ли характеризует выбранная функция развитие исследуемого экономического явления и нет ли среди факторов таких, которые можно исключить из-за незначительности в изучении данного явления. Для исследования используют коэффициент детерминации и критерий Фишера.  

Как уж ранее отмечалось, в случае линейной регрессии основными показателями качества построенного уравнения регрессии служат коэффициент детерминации и критерий Фишера. Использование этих показателей обосновывается в теории дисперсионного анализа. Здесь рассматриваются следующие суммы:

· – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS );

· – сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS );

· – сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS ).

Напомним, что для моделей, линейных относительно параметров, выполняется следующее равенство

Исходя из этого равенства, вводился коэффициент детерминации

. (6.22)

В силу определения R 2 принимает значения между 0 и 1, . Чем ближе R 2 к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные , тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если R 2 =1, то эмпирические точки (x i ,y i) лежат на линии регрессии и между переменными Y и X существует функциональная зависимость . Если R 2 =0, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтённых в модели переменных . Величина R 2 показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной .

Однако для моделей, нелинейных относительно параметров, равенство (6.21) не выполняется , т.е. . В связи с этим может получиться, что или . Это означает, что коэффициент детерминации, определяемый по формулам (6.22), может быть больше единицы или меньше нуля. Следовательно, R 2 для нелинейных моделей не является вполне адекватной характеристикой качества построенного уравнения регрессии.

На практике обычно в качестве коэффициента детерминации принимается величина

Эта величина имеет тот же самый смысл, что и для линейной модели, но при его использовании нужно учитывать все рассмотренные выше оговорки.

Замечание. Величину R 2 для нелинейных моделей иногда называют индексом детерминации , корень из данной величины R называют индексом корреляции.

Если после преобразования нелинейное уравнение регрессии принимает форму линейного парного уравнения регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции , где z – преобразованная величина независимой переменной, например z =1/x или z =lnx .



Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с результативным признаком. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям даёт лишь приближённую оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции.

Вследствие близости результатов и простоты расчётов с использованием компьютерных программ для характеристики тесноты связи по нелинейным функциям широко используется линейный коэффициент корреляции ( или ). Несмотря на близость значений R yx и или R yx и , следует помнить, что эти значения не совпадают. Это связано с тем, что для нелинейной регрессии , в отличие от линейной регрессии .

Коэффициент детерминации можно сравнивать с квадратом коэффициента корреляции для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Практически, если величина ( – ) не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В противном случае проводится оценка существенности различия этих показателей, вычисленных по одним и тем же исходным данным.

Коэффициент детерминации можно использовать при сравнении двух альтернативных уравнений регрессии. Можно выбрать наилучшую из них по максимальному значению коэффициента детерминации. При рассмотрении альтернативных моделей с одним и тем же определением зависимой переменной предложенный способ выбора достаточно проста и очевидна. Однако нельзя сравнивать, например, линейную и логарифмические модели. Значения lnY значительно меньше соответствующих значений Y , поэтому неудивительно, что остатки также значительно меньше, но это ничего не решает. Величина R 2 безразмерна, однако в двух уравнениях она относится к разным понятиям. В одном уравнении она измеряет объясненную регрессией долю дисперсии Y , а в другом – объясненную регрессией долю дисперсии lnY . Если для одной модели коэффициент R 2 значительно больше, чем для другой, то можно сделать оправданный выбор без особых раздумий, однако, если значения R 2 для двух моделей приблизительно равны, то проблема выбора существенно усложняется.

Более подробно проблемы спецификации рассматриваются в дополнении 3.

Отметим, что критерий Фишера можно применять только для нормальной линейной классической регрессионной модели . Однако в общем случае, в первую для моделей нелинейных по параметрам, критерий Фишера применять нельзя! Иногда критерий Фишера применяют для линеаризованных моделей, однако здесь следует помнить, что исходное и линеаризованное уравнения не одно и то же, т.е. здесь нужны серьезные оговорки.

Более подробно использования критерия Фишера для линеаризированных моделей смотрите в дополнении 2.

ПРИМЕРЫ

Пример 6.1. Вычислить полулогарифмическую функцию регрессии зависимости доли расходов на товары длительного пользования в общих расходах семьи (Y , %) от среднемесячного дохода семьи (X , тыс. $ ):

X
Y 13,4 15,4 16,5 18,6 19,3

Решение. Используем стандартные процедуры линейного регрессионного анализа. Для расчетов воспользуемся данными таблицы 6.1:

Табл. 6.1.

№ x u= lnx y uy u 2 y 2 A
9,88 0,12 1,241 0,0154
0,693 13,4 9,29 0,48 179,56 13,43 -0,03 0,232 0,0010
1,099 15,4 16,92 1,21 237,16 15,51 -0,11 0,718 0,0122
1,386 16,5 22,87 1,92 272,25 16,99 -0,49 2,946 0,2363
1,609 18,6 29,94 2,59 345,96 18,13 0,47 2,524 0,2203
1,792 19,1 34,22 3,21 364,81 19,07 0,03 0,180 0,0012
Итого 6,579 113,24 9,41 1499,74 7,840 0,4864
Среднее значение 3,5 1,097 15,5 18,87 1,57 249,96 1,307

В соответствии с формулами (6.103) вычисляем

, .

В результате, получим уравнение полулогарифмической регрессии:

Подставляя в уравнение (6.24) фактические значения x i , получаем теоретические значения результата . Используя программу Excel ,

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,9958
R -квадрат 0,9916
Нормированный R -квадрат 0,9896
Стандартная ошибка 0,3487
Наблюдения
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
df SS MS F Значимость F
Регрессия 57,75 57,75 474,93 0,000026
Остаток 0,49 0,12
Итого 58,24
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y -пересечение 9,8759 0,2947 33,51 0,0000047 9,0576 10,6942
Переменная lnX 5,1289 0,2353 21,79 0,0000262 4,4755 5,7823

Из этих данных видно, в частности, что все коэффициенты регрессии статистически значимы. Оценим качество уравнения регрессии. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации

,

т.е. с точки зрения этого показателя уравнение регрессии подобрано очень хорошо.

Вычислим теперь средний коэффициент эластичности

Таким образом, при возрастании среднемесячного дохода семьи на 1% доля расходов на товары длительного пользования в общих расходах семьи возрастет на 0,25% .

Коэффициент детерминации для данной модели совпадает с квадратом коэффициента корреляции . По данным таблицы 6.3 получаем

И .

Коэффициент детерминации показывает, что уравнение регрессии на 99% объясняет вариацию значений признака y , т.е. с точки зрения коэффициента детерминации построенное уравнение регрессии очень хорошо описывает исходные данные.

Для оценки качества данной модели можно использовать критерий Фишера (при предположении, что мы имеем дело с нормальной классической линейной моделью). В этом случае получаем

, .

Поскольку F набл >F крит , то гипотеза о случайной природе оцениваемых параметров отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность, т.е. построенное уравнение регрессии признается статистически значимым. â

Пример 6.2. Имеются данные о просроченной задолженности по заработной плате за 9 месяцев 2000 г. по Санкт-Петербургу.

. Оцените качество построенной регрессии. б) Оцените МНК коэффициенты обратной модели , линеаризуя модель. Оцените качество построенной регрессии. в) Оцените МНК коэффициенты обратной модели , используя численные методы (метод Маркуардта)? г) Проанализируйте полученные результаты.

Решение. а) Используя стандартные процедуры линейного регрессионного анализа (считая, как обычно, t =1 для января 2000 г.), получим:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,846
R -квадрат 0,716
Нормированный R -квадрат 0,675
Стандартная ошибка 12,233
Наблюдения
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
df SS MS F Значимость F
Регрессия 2640,07 2640,07 17,64 0,00403
Остаток 1047,58 149,65
Итого 3687,64
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 410,12 8,89 46,15 5,87E-10 389,11 431,14
Переменная X 1 -6,63 1,58 -4,20 4,03E-03 -10,37 -2,90

,

причём все коэффициенты регрессии значимы. Коэффициент детерминации равен , т.е. линейная модель удовлетворительно описывает исходные данные. На графике поле корреляции и линейное уравнение регрессии будут выглядеть следующим образом:

В соответствии с построенным уравнением просроченная задолженность по заработной плате за 9 месяцев 2000 г. ежемесячно снижалась на 6,6 млн. руб. Расчётное значение просроченной задолженности за декабрь 1999 г. составило 410,1 млн. руб. Точечный прогноз за октябрь составила: млн. руб.

Оценим точность прогноза. В соответствии с линейным регрессионным анализом, находим предельную ошибку индивидуального прогноза (на уровне значимости a=0,05):

.

Точность прогноза составила .

б) Линеаризуем модель, полагая v =1/y . Составляем расчётную таблицу.

Месяцы t y v= 1/y tv t 2 v 2
Январь 387,6 0,00258 0,0026 0,0000067 0,00247 0,0001134 0,00000001286
Февраль 399,9 0,00250 0,0050 0,0000063 0,00252 -0,0000145 0,00000000021
Март 404,0 0,00248 0,0074 0,0000061 0,00256 -0,0000885 0,00000000783
Апрель 383,1 0,00261 0,0104 0,0000068 0,00261 -0,0000020 0,00000000000
Май 376,9 0,00265 0,0133 0,0000070 0,00266 -0,0000076 0,00000000006
Июнь 377,7 0,00265 0,0159 0,0000070 0,00271 -0,0000618 0,00000000382
Июль 358,1 0,00279 0,0195 0,0000078 0,00276 0,0000345 0,00000000119
Август 371,9 0,00269 0,0215 0,0000072 0,00281 -0,0001177 0,00000001385
Сентябрь 333,4 0,00300 0,0270 0,0000090 0,00286 0,0001442 0,00000002081
Итого: 3392,6 0,02395 0,1227 0,0000639 0,02395 0,00000006063
Среднее 376,96 0,002661 0,0136 31,67 0,0000071

Вычисляем

В результате, получим уравнение обратной регрессии:

.

Используя программу Excel получим следующие данные (на уровне значимости a=0,05):

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
df SS MS F Значимость F
Регрессия 1,41557E-07 1,41557E-07 16,34 0,00492
Остаток 6,06323E-08 8,66176E-09
Итого 2,02189E-07
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y -пересечение 0,002418 6,76E-05 35,76 3,47E-09 0,00226 0,00258
Переменная lnX 0,0000486 1,20E-05 4,04 0,00492 2,02E-05 7,70E-05

R 2 =0,7). Этот вывод подтверждается и с точки зрения критерия Фишера (отметим, что для линеаризованных моделей, при определённых оговорках, можно применить критерий Фишера). Однако в рассматриваемом случае МНК применялся не к y , а к обратным значениям 1/y

t y A
387,6 405,42 -17,821 317,58 113,30 810,26 4,60
399,9 397,59 2,309 5,33 526,45 425,83 0,58
404,0 390,06 13,942 194,37 731,40 171,68 3,45
383,1 382,81 0,294 0,09 37,75 34,22 0,08
376,9 375,82 1,082 1,17 0,00 1,29 0,29
377,7 369,08 8,620 74,30 0,55 62,02 2,28
358,1 362,58 -4,480 20,07 355,53 206,64 1,25
371,9 356,31 15,595 243,19 25,56 426,43 4,19
333,4 350,24 -16,844 283,71 1897,09 713,52 5,05
3392,6 2,696 1139,81 3687,64 2851,90 21,77
376,96 2,42

.

Отметим, что для нелинейных моделей, оцененных МНК, эта сумма всегда равна нулю. Следовательно, оценки исходной нелинейной модели будут смещёнными .

Отсюда, в частности, следует, что равенство не выполняется. Действительно,

В связи с этим, для коэффициента детерминации можно получить два разных значения:

, или .

Это означает, что коэффициент детерминации для нелинейных моделей не всегда является адекватной характеристикой. Отметим, что в компьютерных программах для вычисления коэффициента детерминации в основном используют второе равенство.

Сделаем прогноз по полученному уравнению обратной модели и оценим его точность. Точечный прогноз за октябрь составит:

Млн. руб.

Оценим точность прогноза. В соответствии с линейным регрессионным анализом, находим предельную ошибку индивидуального прогноза по линеаризированному уравнению (на уровне значимости a=0,05):

В результате, доверительный интервал для прогнозного значения будет иметь вид

Точность прогноза для преобразованной переменной v составляет 9,4%. Однако мы имеем дело нес обратными величинами v =1/y , а с y . Переходя к исходной переменной, получим следующий доверительный интервал

.

Точность прогноза для непреобразованной переменной y составляет уже 18,9%. Этот результат показывает, что исходное и преобразованное уравнения дают, вообще говоря, разный результат.

в) Оценим МНК коэффициенты обратной модели

,

используя численные методы (метод Левенберга-Маркуардта). Для этого воспользуемся программой STATISTIKA. Программа выдаёт следующие результаты.

Уравнение регрессии имеет вид

с коэффициентом детерминации R 2 =0,6947. Для сравнений приведем результаты вычислений.

Видно, что численные методы дают вполне удовлетворительный результат. Более того, они позволяют провести также и некоторый статистический анализ полученной модели (хотя и не такой полный по-сравнению с линейными моделями). Таким образом, как показывает данный пример, линеаризация не всегда даёт более лучший результат по-сравнению с численными методами.

г) Сделаем некоторые выводы. Отметим, что коэффициенты детерминации для обеих моделей (линейной и обратной) практически не отличаются друг от друга: R 2 =0,716 для линейной модели и R 2 =0,691 для обратной модели. Поэтому обе модели с точки зрения коэффициента детерминации равноценны. Однако при оценке точности прогноза лучше использовать, как мы видели, линейную модель. Таким образом, использование обратной модели для интерпретации имеющихся результатов не совсем оправдано. С точки зрения статистических свойств в данном случае лучше использовать линейную модель. â

Пример 6.3. Имеются данные о зависимости расхода топлива (Y , г /на т·км ) от мощности двигателя грузовых автомобилей общего назначения (X , л.с. ):

X
Y

а) Оцените МНК коэффициенты линейной модели . Оцените качество построенной регрессии. б) Оцените МНК коэффициенты степенной модели , линеаризуя модель. Оцените качество построенной регрессии.

Решение. а) Используя стандартные процедуры линейного регрессионного анализа, получим:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,8378
R -квадрат 0,7019
Нормированный R -квадрат 0,6688
Стандартная ошибка 12,8383
Наблюдения
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
df SS MS F Значимость F
Регрессия 3493,3 3493,3 21,19 0,001284
Остаток 1483,4 164,8
Итого 4976,7
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 103,866 9,993 10,39 0,0000 81,261 126,471
Переменная X -0,3388 0,0736 -4,60 0,0013 -0,5053 -0,1723

Таким образом, линейное уравнение регрессии будет иметь вид

,

причём все коэффициенты регрессии значимы. Коэффициент детерминации равен , т.е. линейная модель удовлетворительно описывает исходные данные.

На графике поле корреляции и линейное уравнение регрессии будут выглядеть следующим образом:

4,248 4,477 19,022 18,050 20,047 4,4714 0,0059 0,00003 4,248 4,431 18,824 18,050 19,632 4,4714 -0,0406 0,00165 4,317 4,477 19,331 18,641 20,047 4,4119 0,0655 0,00429 4,443 4,331 19,240 19,737 18,755 4,3038 0,0270 0,00073 4,575 4,263 19,501 20,928 18,170 4,1897 0,0730 0,00533 4,745 3,951 18,748 22,514 15,612 4,0427 -0,0914 0,00836 4,787 3,951 18,917 22,920 15,612 4,0059 -0,0547 0,00299 5,011 3,829 19,184 25,106 14,658 3,8132 0,0154 0,00024 5,165 4,143 21,398 26,675 17,166

Используя программу Excel получим следующие данные (на уровне значимости a=0,05):

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,8233
R -квадрат 0,6778
Нормированный R -квадрат 0,6420
Стандартная ошибка 0,2653
Наблюдения
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
df SS MS F Значимость F
Регрессия 1,3327 1,3327 18,93 0,001847
Остаток 0,6336 0,0704
Итого 1,9663
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y -пересечение 8,141 0,946 8,609 0,0000123 6,002 10,280
Переменная lnX -0,864 0,198 -4,351 0,0018473 -1,313 -0,415

Качество линеаризованного уравнения довольно высокое (R 2 =0,678). Этот вывод подтверждается и с точки зрения критерия Фишера (напомним, что для линеаризованных моделей, при определённых оговорках, можно применить критерий Фишера). Однако в рассматриваемом случае МНК применялся не к y , а к их логарифмам lny , а это существенная разница. Проанализируем исходную, нелинеаризированную, модель.

45,295 -0,705 0,50 89,39 261,13 1,56 39,649 -23,351 545,29 89,39 475,50 58,90 38,696 17,696 313,13 1636,57 517,97 45,73 30,182 -4,818 23,21 699,84 977,95 15,96 -12,909 988,03 5038,18 4267,39 157,85 125,18 61,45 14,35

Из таблицы видно, что для данной модели

.

Следовательно, оценки исходной нелинейной модели будут смещёнными.

Для коэффициента детерминации можно получить два разных значения:

, или .

Это означает, что полученное уравнение достаточно хорошо описывает исходные данные и этот коэффициент выше, чем для коэффициента детерминации линейной регрессии. Хотя средний коэффициент аппроксимации не очень низкий .

Сделаем прогноз по полученному уравнению степенной модели и оценим его точность. При мощности двигателя x =70 л.с. расход топлива на 1 т-км составит

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии используют обычно коэффициент детерминации, называемый также квадратом коэффициента множественной корреляции. Для случая парной регрессии это квадрат коэффициента корреляции переменных и.

Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

сумма квадратов остатков регрессии

Фактические и расчетные значения объясняемой переменной.

Общая сумма квадратов.

Он характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменой, объясненной с помощью данного уравнения. В качестве меры разброса зависимой переменной обычно используется ее дисперсия, а остаточная вариация может быть измерена как дисперсия отклонений вокруг линии регрессии. Если числитель и знаменатель вычитаемой из единицы дроби разделить на число наблюдений n, то получим, соответственно, выборочные оценки остаточной дисперсии и дисперсии зависимой переменной. Отношение остаточной и общей дисперсии представляют собой долю необъясненной дисперсии. Если же эту долю вычесть из единицы, то получим долю дисперсии зависимой переменной. Объясненной с помощью регрессии. Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок дисперсии в числителе и знаменателе вычитаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы: тогда

Или, для парной регрессии, где число независимым переменных равно 1,

В числителе дроби, которая вычитается из единицы, стоит сумма квадратов отклонений наблюдений от линии регрессии, в знаменателе - от среднего значения переменной. Таким образом, дробь это мала (а коэффициент, очевидно, близок к единице), если разброс точек вокруг линии регрессии значительно меньше, чем вокруг среднего значения.

Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет найти прямую, для которой сумма минимальна, а представляет собой одну из возможных линий, для которых выполняется условие. Поэтому величина в числителе вычитаемой из единицы дроби меньше, чем величина в ее знаменателе, - иначе выбираемой по МНК линией регрессии была бы прямая.

Таким образом, коэффициент детерминации является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная регрессионная прямая дает лучший результат для объяснения поведения зависимой переменной, чем просто горизонтальная прямая.

Смысл коэффициента детерминации может быть пояснен и немного иначе. Можно показать, что

где - отклонение -й точки на линии регрессии от.

В данной формуле величина в левой части может интерпретироваться как мера общего разброса (вариации) переменной, первое слагаемое в правой части - как мера остаточного, необъясненного разброса (разброса точек вокруг линии регрессии). Если разделить эту формулу на ее левую часть и перегруппировать члены, то

То есть коэффициент детерминации есть доля объясненной части разброса зависимой переменной (или доля объясненной дисперсии, если разделить числитель и знаменатель на и ().

Часто коэффициент детерминации иллюстрируют следующим образом (рис. 1)

Рисунок 1 Иллюстрированный коэффициент детерминации

Здесь TSS (Total Sum of Squares) - общий разброс переменной, ESS (Explained Sum of Squares) - разброс, объясненный с помощью регрессии, USS (Unexplained Sum of Squares) - разброс, необъясненный с помощью регрессии. Из рисунка видно, что с увеличением объясненной доли разброса коэффициент приближается к единице. Кроме того, из рисунка видно, что с добавлением еще одной переменной обычно увеличивается, однако если объясняющие переменные и сильно коррелируют между собой, то они объясняют одну и ту же часть разброса переменной, и в этом случае трудно идентифицировать вклад каждой из переменных в объяснение поведения.

Если существует статистически значимая линейная связь величин и, то коэффициент близок к единице.

Однако он может быть близким к единице просто в силу того, что обе эти величины имеют выраженный временный тренд, не связанный с их причинно-следственной взаимозависимостью.

В экономике обычно объемные показатели (доход, потребление, инвестиции) имеют такой тренд, а темповые и относительные (производительности, темпы роста, доли, отношения) - не всегда. Поэтому при оценивании линейных регрессий по временным рядам объемных показателей (например, зависимости выпуска от затрат ресурсов или объема потребления от величины дохода) величина обычно очень близка к единице. Это говорит о том, что зависимую переменную нельзя описать просто как равную своему среднему значению, но это и заранее очевидно, раз она имеет временный тренд.

Если имеются не временные ряды, а перекрестная выборка, то есть данные об однотипных объектах в один и тот же момент времени, то для оцененного по ним уравнения линейной регрессии величина не превышает обычно уровня 0,6 - 0,7.

То же самое обычно имеет место и для регрессии по временных рядам, если они не имеют выраженного тренда. В макроэкономике примерами таких зависимостей являются связи относительных, удельных, темповых показателей: зависимость темпа инфляции от уровня безработицы, нормы накопления от величины процентной ставки, темпа прироста выпуска от темпов прироста затрат ресурсов.

Таким образом, при построении макроэкономических моделей, особенно - по временных рядам данных, нужно учитывать, являются входящие в них переменных объемными или относительными, имеют ли они временной тренд.

Точную границу приемлемости показателя указать сразу для всех случаев невозможно. Нужно принимать во внимание и число степеней свободы уравнения, и наличие трендов переменных, и содержательную интерпретацию уравнения. Показатель может оказаться даже отрицательным. Как правило, это случается в уравнении без свободного члена

Оценивание такого уравнения производится, как и в общем случае, по методу наименьших квадратов. Однако множество выбора при этом существенно сужается: рассматриваются не все возможные прямые или гиперплоскости, а только проходящие через начало координат. Величина получается отрицательной в том случае, если разброс значений зависимой переменной вокруг прямой (гиперплоскости) меньше, чем вокруг даже наилучшей прямой (гиперплоскости) из проходящих через начало координат. Отрицательная величина в уравнении говорит о целесообразности введения в него свободного члена. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 2.

Рисунок 2 Иллюстрация введения свободного члена в уравнение

Линия 1 на нем- график уравнения регрессии без свободного члена (он проходит через начало координат), линия 2- со свободным членом (он равен), линия 3 - . Горизонтальная линия 3 дает гораздо меньшую сумму квадратов отклонений, чем линия 1, и поэтому для последней коэффициент детерминации будет отрицательным.

Поправка на число степеней свободы всегда уменьшает значение, поскольку. В результате также может стать отрицательной. Но это означает, что она была близкой к нулю до такой поправки, и объясненная с помощью уравнения регрессии доля дисперсии зависимой переменной очень мала.