Старт в науке

Осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определённый угол фигура совмещается сама с собой .

Наименьший угол поворота, приводящий фигуру к самосовмещению, называется элементарным углом поворота оси . Элементарный угол поворота оси  содержится целое число раз в 360 :

где n – целое число.

Число n, показывающее сколько раз элементарный угол поворота оси содержится в 360 0 , называется порядком оси.

В геометрических фигурах могут присутствовать оси любых порядков, начиная от оси первого порядка и кончая осью бесконечного порядка.

Элементарный угол поворота оси первого порядка (n = 1) равен 360 0 . Так как каждая фигура, будучи повернута вокруг любого направления на 360 0 , совмещается сама с собой, то всякая фигура обладает бесконечным количеством осей первого порядка. Такие оси не являются характерными, поэтому они обычно не упоминаются.

Ось бесконечного порядка отвечает бесконечно малому элементарному углу поворота. Эта ось присутствует во всех фигурах вращения в качестве оси вращения.

Примерами осей третьего, четвертого, пятого, шестого и т. д. порядков являются перпендикуляры к плоскости рисунка, проходящие через центры правильных многоугольников, треугольников, квадратов, пятиугольников и т.п.

Таким образом, в геометрии существует бесконечный ряд осей различных порядков.

В кристаллических же многогранниках возможны не любые оси симметрии, а только оси первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядка.

Оси симметрии пятого и выше шестого порядка в кристаллах невозможны. Это положение является одним из основных законов кристаллографии и называется законом симметрии кристаллов.

Как и др. геометрические законы кристаллографии, закон симметрии кристаллов объясняется решетчатым строением кристаллического вещества. Действительно, раз симметрия кристалла есть проявление симметрии его внутреннего строения, то в кристаллах возможны только такие элементы симметрии, которые не противоречат свойствам пространственной решетки.

Докажем, что ось пятого порядка не удовлетворяет законам пространственной решетки и тем самым докажем ее невозможность в кристаллических многогранниках.

Предположим, что ось пятого порядка в пространственной решетке возможна. Пусть эта ось будет перпендикулярна плоскости чертежа, пересекая ее в точке О (рис.2.9). В частном случае точка О может совпадать с одним из узлов решетки.

Рис. 2.9. Ось симметрии пятого порядка невозможна в пространственных решетках

Возьмем ближайший от оси узел решетки А 1 , лежащий в плоскости чертежа. Так как вокруг оси пятого порядка все повторяется пять раз, то ближайших к ней узлов в плоскости чертежа должно быть всего пять А 1 ,А 2 ,А 3 ,А 4 ,А 5 . Располагаясь на одинаковых расстояниях от точки О в вершинах правильного пятиугольника, они совмещаются друг с другом при повороте вокруг О на 360/5=72°.

Эти пять узлов, лежащие в одной плоскости, образуют плоскую сетку пространственной решетки и поэтому к ним приложимы все основные свойства решетки. Если узлы А 1 и А 2 принадлежат ряду плоской сетки с промежутком А 1 А 2 , то через любой узел решетки можно провести ряд, параллельный ряду А 1 А 2 . Проведем такой ряд через узел А 3 . Этот ряд, проходящий и через узел А 5 , должен иметь промежуток, равный А 1 А 2 , т. к. в пространственной решетке все параллельные ряды обладают одинаковой плотностью.

Следовательно, на расстоянии А 3 А x = А 1 А 2 от узла А 3 должен находиться еще один узел А x . Однако дополнительный узел А x оказывается лежащим ближе к точке О, чем узел А 1 , взятый по условию ближайшим к оси пятого порядка.

Таким образом, сделанное нами допущение о возможности оси пятого порядка в пространственных решетках привело нас к явному абсурду и поэтому является ошибочным.

Поскольку существование оси пятого порядка несовместимо с основными свойствами пространственной решетки, то такая ось невозможна и в кристаллах.

Аналогичным образом доказывается невозможность существования в кристаллах осей симметрии выше шестого порядка и, наоборот, возможность в кристаллах осей второго, третьего, четвертого и шестого порядка, присутствие которых не противоречит свойствам пространственных решеток.

Для обозначения осей симметрии употребляется буква L, а порядок оси указывается маленькой цифрой, располагаемой справа от буквы (например, L 4 - ось четвертого порядка).

В кристаллических многогранниках оси симметрии могут проходить через центры противоположных граней перпендикулярно к ним, через середины противоположных ребер перпендикулярно к ним (только L 2) и через вершины многогранника. В последнем случае симметричные грани и ребра одинаково наклонены к данной оси.

Кристалл может иметь несколько осей симметрии одного порядка, количества которых указывается коэффициентом перед буквой. Например, в прямоугольном параллелепипеде присутствует 3L 2 , т. е. три оси симметрии второго порядка; в кубе имеются 3L 4 , 4L 3 и 6L 2 , т. е. три оси симметрии четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка и т. д.

Рассмотрим теперь оси симметрии сторон треугольника. Напомним, что осью симметрии отрезка является перпендикуляр, восставленный к отрезку в его середине.

Любая точка такого перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка. Пусть теперь - перпендикуляры, проведенные через середины сторон ВС и АС треугольника ABC (рис. 220) к этим сторонам, т. е. оси симметрии этих двух сторон. Точка их пересечения Q одинаково удалена от вершин В и С треугольника, так как лежит на оси симметрии стороны ВС, точно так же она и одинаково удалена от вершин А и С. Следовательно, она одинаково удалена от всех трех вершин треугольника, в том числе от вершин А и В. Значит, она лежит на оси симметрии третьей стороны АВ треугольника. Итак, оси симметрии трех сторон треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка одинаково удалена от вершин треугольника. Следовательно, если провести окружность радиусом, равным расстоянию этой точки от вершин треугольника, с центром в найденной точке, то она пройдет через все три вершины треугольника. Такая окружность (рис. 220) называется описанной окружностью. Обратно, если представить себе окружность, проходящую через три вершины треугольника, то ее центр обязан находиться на равных расстояниях от вершин треугольника и потому принадлежит каждой из осей симметрии сторон треугольника.

Поэтому у треугольника имеется только одна описанная окружность: вокруг данного треугольника можно описать окружность, и притом только одну; центр ее лежит в точке пересечения трех перпендикуляров, восставленных к сторонам треугольника в их серединах.

На рис. 221 показаны окружности, описанные вокруг остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников; центр описанной окружности лежит в первом случае внутри треугольника, во втором - на середине гипотенузы треугольника, в третьем - вне треугольника. Это проще всего следует из свойств углов, опирающихся на дугу окружности (см. п. 210).

Так как любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно считать вершинами треугольника, то можно утверждать, что через три любые точки, не принадлежащие прямой, проходит единственная окружность. Поэтому две окружности имеют не более двух общих точек.

I . Симметрия в математике :

Основные понятия и определения.

Осевая симметрия (определения, план построения, примеры)

Центральная симметрия (определения, план построения, при ­меры)

Обобщающая таблица (все свойства, особенности)

II . Применения симметрии:

1) в математике

2) в химии

3) в биологии, ботанике и зоологии

4) в искусстве, литературе и архитектуре

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Основные понятия симметрии и ее виды.

Понятие симметрии пр оходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого ор­ганизма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”. Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие ве­ликие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия по­нятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любо­вался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, живот­ными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Герман Вейль сказал: “Симмет­рия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким обра­зом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.

2. Осевая симметрия.

2.1 Основные определения

Определение. Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендику­лярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симмет­рии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

2.2 План построения

И так, для построения симметричной фигуры относительно прямой от каждой точки проводим перпендикуляр к данной прямой и продлеваем его на такое же рас­стояние, отмечаем полученную точку. Так поступаем с каждой точкой, получаем симметричные вершины новой фигуры. Затем последовательно их соединяем и по­лучаем симметричную фигуру данной относительной оси.

2.3 Примеры фигур, обладающих осевой симметрией.

3. Центральная симметрия

3.1 Основные определения

Определение . Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА 1 . Точка О считается симметричной са­мой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

3.2 План построения

Построение треугольника симметричного данному относительно цен­тра О.

Чтобы построить точку, симметричную точке А относи­тельно точки О , достаточно провести прямую ОА (рис. 46) и по другую сторону от точки О от­ложить отрезок, равный отрезку ОА . Иными словами, точки А и ; В и ; С и симметричны относительно некоторой точки О. На рис. 46 по­строен треугольник, симметричный треуголь­нику ABC относительно точки О. Эти треугольники равны.

Построение симметричных точек относительно центра.

На рисунке точки М и М 1 , N и N 1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Вообще фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

3.3 Примеры

Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и паралле­лограмм.

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма- точка пересечения его диаго­налей.

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окруж­ности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рисунке) у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является её центром симметрии.

На рисунках показан угол симметричный относительно вершины, отрезок сим­метричный другому отрезку относительно центра А и четырехугольник симметрич­ный относительно своей вершины М.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

4. Итог урока

Обобщим полученные знания. Сегодня на уроке мы познакомились с двумя основ­ными видами симметрии: центральная и осевая. Посмотрим на экран и системати­зируем полученные знания.

Обобщающая таблица

	Осевая симметрия	Центральная симметрия
Особенность	Все точки фигуры должны быть симметричны относительно какой-нибудь прямой.	Все точки фигуры должны, сим­метричны относительно точки, вы­бранной в качестве центра симмет­рии.
Свойства	1. Симметричные точки лежат на перпендикулярах к прямой. 3. Прямые переходят в прямые, углы в равные углы. 4. Сохраняются размеры и формы фигур.	1. Симметричные точки лежат на прямой, проходящей через центр и данную точку фигуры. 2. Расстояние от точки до прямой равно расстоянию от прямой до симметричной точки. 3. Сохраняются размеры и формы фигур.

II. Применение симметрии

© Сухачева Елена Владимировна, 2008-2009гг.

В широком смысле симметрией именуется сохранение чего-либо неизменным при каких-то преобразованиях. Обладают таким свойством и некоторые геометрические фигуры.

Геометрическая симметрия

Применительно к геометрической фигуре означает, что если данную фигуру преобразовать – например, повернуть – некоторые ее свойства останутся прежними.

Возможность таких преобразований различается от фигуры к фигуре. Например, круг можно сколько угодно вращать вокруг точки, расположенной в его центре, он так и останется кругом, ничто для него не изменится.

Понятие симметрии можно объяснить, не прибегая к вращению. Достаточно провести через центр круга прямую и построить в любом месте фигуры перпендикулярный ей отрезок, соединяющий две точки на окружности. Точка пересечения с прямой будет делить на две части, которые будут равны друг другу.

Иными словами, прямая разделила фигуру на две равные части. Точки частей фигуры, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, находятся на равном расстоянии от нее. Вот эта пряма и будет называться осью симметрии. Симметрия такого рода – – называется осевой симметрией.

Количество осей симметрии

У количество будет различным. Например, у круга и шара таких осей множество. У равностороннего треугольника осью симметрии будет перпендикуляр, опущенный на каждую из сторон, следовательно, у него три оси. У квадрата и прямоугольника можно провести четыре оси симметрии. Две из них перпендикулярны сторонам четырехугольников, а две другие являются диагоналями. А вот у равнобедренного треугольника ось симметрии только одна, располагающаяся меду равными его сторонами.

Осевая симметрия встречается и в природе. Ее можно наблюдать в двух вариантах.

Первый вид – радиальная симметрия, предполагающая наличие нескольких осей. Она характерна, например, для морских звезд. Более высокоразвитым организмам присуща билатеральная, или двусторонняя симметрия с единственной осью, делящей тело на две части.

Человеческому телу тоже присуща билатеральная симметрия, но идеальной ее назвать нельзя. Симметрично расположены ноги, руки, глаза, легкие, но не сердце, печень или селезенка. Отклонения от билатеральной симметрии заметны даже внешне. Например, крайне редко бывает так, чтобы у человека на обеих щеках были одинаковые родинки.

«Симметрия » в переводе с греческого означает «соразмерность» (повторяемость). Симметричные тела и предметы состоят из равнозначных, правильно повторяющихся в пространстве частей. Особенно разнообразна симметрия кристаллов. Различные кристаллы отличаются большей или меньшей симметричностью. Она является их важнейшим и специфическим свойством, отражающим закономерность внутреннего строения.

По более точному определению симметрия – это закономерная повторяемость элементов (или частей) фигуры или какого-либо тела, при которой фигура совмещается сама с собой при некоторых преобразованиях (вращение вокруг оси, отражение в плоскости). Подавляющее большинство кристаллов обладает симметрией.

Понятие симметрии включает в себя составные части – элементы симметрии. Сюда относятся плоскость симметрии , ось симметрии , центр симметрии , или центр инверсии .

Плоскость симметрии делит кристалл на две зеркально равные части. Обозначается она буквой Р. Части, на которые плоскость симметрии рассекает многогранник, относятся одна к другой, как предмет к своему изображению в зеркале разные кристаллы имеют различное количество плоскостей симметрии, которое ставится перед буквой Р. Наибольшее количество таких плоскостей у природных кристаллов – девять 9Р. В кристалле серы насчитывается 3Р, а у гипса только одна. Значит, в одном кристалле может быть несколько плоскостей симметрии. В некоторых кристаллах плоскость симметрии отсутствует.

Относительно элементов ограничения плоскость симметрии может занимать следующее положение:

1. проходит через ребра;
2. лежать перпендикулярно к ребрам в их серединах;
3. проходить через грань перпендикулярно к ней;
4. пересекать гранные углы в их вершинах.

В кристаллах возможны следующие количества плоскостей симметрии: 9Р, 7Р, 6Р, 5Р, 4Р, 3Р, 2Р, Р, отсутствие плоскости симметрии.

Ось симметрии

Ось симметрии – воображаемая ось, при повороте вокруг которой на некоторый угол фигура совмещается сама с собой в пространстве. Она обозначается буквой L. У кристаллов при вращении вокруг оси симметрии на полный оборот одинаковые элементы ограничения (грани, ребра, углы) могут повторяться только 2, 3, 4, 6 раз. Соответственно этому оси будут называться осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядка и обозначаться: L2, L3, L4 и L6.Порядок оси определяется числом совмещений при повороте на 360⁰С.

Ось симметрии первого порядка не принимается во внимание, так как ею обладают вообще не фигуры, в том числе и несимметричные. Количество осей одного и того же порядка пишут перед буквой L: 6L6, 3L4 и т.п.

Центр симметрии

Центр симметрии – это точка внутри кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам линии, соединяющие одинаковые элементы ограничения кристалла (грани, ребра, углы). Обозначается она буквой С. Практически присутствие центра симметрии будет сказываться в том, что каждое ребро многогранника имеет параллельное себе ребро, каждая грань – такую же параллельную себе зеркально-обратную грань. Если же в многограннике присутствуют грани, не имеющие себе параллельных, то такой многогранник не обладает центром симметрии.

Достаточно поставить многогранник гранью на стол, чтобы заметить, имеется ли сверху такая же параллельная ей зеркально-обратная грань. Конечно, на параллельность нужно проверить все типы граней.

Существует ряд простых закономерностей, по которым сочетаются друг с другом элементы симметрии. Значение этих правил облегчает их нахождение.

1. Линия пересечения двух или нескольких плоскостей является осью симметрии. Порядок такой оси равен числу пересекающихся в ней плоскостей.
2. L6 может присутствовать в кристалле только в единственном числе.
3. С L6 не могут комбинироваться ни L4, ни L3, но может сочетаться L2 причем L6 и L2 должны быть перпендикулярны; в таком случае присутствует 6L2.
4. L4 может встречаться в единственном числе или трех взаимно перпендикулярных осей.
5. L3 может встречаться в единственном числе или с 4L3.

Степенью симметрии называется совокупность всех элементов симметрии, которыми обладает данный кристалл.

Кристалл, имеющий форму куба, обладает высокой степенью симметрии. В нем присутствуют три оси симметрии четвертого порядка (3L4), проходящие через середины граней куба, четыре оси симметрии третьего порядка (4L3), проходящие через вершины трехгранных углов, и шесть осей второго порядка (6L2), проходящих через середины ребер. В точке пересечения осей симметрии располагается центр симметрии куба (С). Кроме того, в кубе можно провести девять плоскостей симметрии (9Р). Элементы симметрии кристалла можно изобразить кристаллографической формулой.

Для куба формула имеет вид: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

Русский ученый А.В. Гадолин в 1869 г. показал, что у кристаллов возможны 32 различных сочетания элементов симметрии, составляющих классы (виды) симметрии. Таким образом, класс объединяет группу кристаллов с одинаковой степенью симметрии.